2020届湖北省荆门市高三上学期元月调考数学（理）试题（解析版）

2020届湖北省荆门市高三上学期元月调考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据指对数的单调性求解集合,再判定即可.

【详解】

,.所以.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了集合的基本运算与指对数函数的不等式求解.属于基础题.

2．设是虚数单位，则等于

A．0 B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：因为，所以故答案为D．

【考点】复数的运算．

3．下列各式中错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】构造基本初等函数，结合函数的单调性判断.

【详解】

函数为增函数，所以，故选项A正确；

函数为增函数，所以，故选项B正确；

函数为减函数，所以，故选项C正确；

函数为减函数，所以，故选项D错误.

故选D.

【点睛】

本题主要考查指数式和对数式的大小比较，构造合适的函数是求解的主要策略，结合函数的单调性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.

4．设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据双曲线与抛物线的基本量求解即可.

【详解】

抛物线的焦点为,故双曲线.又渐近线为,即,

故,故 ,故双曲线方程为.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了双曲线与抛物线中的基本量求解,属于基础题.

5．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到，将点代入结合，可得，将点代入可得的值，进而可求得结果.

【详解】

由函数图象可得，所以，又，所以，

结合图象可得，因为，所以，

又因为，即，结合图得，

又因为，所以，故

所以，故选C.

【点睛】

本题给出了函数的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数的图象与性质的知识点，属于中档题．

6．已知则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据同角三角函数的关系化简成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与诱导公式化简求解即可.

【详解】

由题, 则,

故.

所以.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.

7．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据线性规划的方法,分析目标函数直线方程与阴影部分相切时的临界条件即可.

【详解】

作直线,当直线上移与圆相切时, 取最大值；

此时圆心到的距离为1,即,即最大值.

当直线下移与圆相切时, 取最小值；

此时圆心到的距离为2,即,即最小值

故的取值范围是

故选：C

【点睛】

本题主要考查了线性规划与直线与圆相切的问题综合运用,需要根据题意分析出临界条件,再根据圆与直线相切利用公式求解即可.属于中档题.

8．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（  ）

A．36种 B．42种 C．48种 D．54种

【答案】B

【解析】分两种情况讨论：一是甲排在第一位，二是甲排在第二位，然后利用排列组合思想求出这两种情况各自的排法种数，利用分类计数原理可得出结果.

【详解】

分以下两种情况讨论：

一是甲排在第一位，丙排在最后一位，则乙可在中间四个位置任选一个来放置，有种；

二是甲排在第二位，丙排在最后一位，则乙可在中间三个位置任选一个来放置，有种.

综上所述，由分类计数原理可知，共有种编排方案，故选：B.

【点睛】

本题考查分类计数原理，考查排列组合综合问题，本题一些元素有限制条件，要利用有限制条件的元素优先排列的原则来进行，考查计算能力，属于中等题.

9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色.春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；

丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【解析】根据四句话中的提及到同一人的中奖情况进行突破口分析即可.

【详解】

由甲说：“我或乙能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；且只有一位同学的预测结果正确可知,乙没有中奖.又甲说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”.故甲丁两人中必有一人预测正确.故乙,丙预测不正确.故乙,丙,丁均未中奖.故甲为中奖者.

故选：A

【点睛】

遇到逻辑推理的问题一般是找语句中均谈到的同一个人中奖情况进行分析,从而进行排除分析.属于基础题.

10．函数的大致图象为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析：考查函数的符号和函数的奇偶性排除错误选项即可求得最终结果.

详解：利用排除法：

当时，，，则函数，据此可排除AB选项；

且：，即函数的图象不关于坐标原点对称，排除D选项.

本题选择C选项.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

11．已知二面角为动点P、Q分别在、内，P到的距离为，Q到的距离为， 则PQ两点之间距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】画图分析,根据三角形中的边角关系求得对应的线段长度,再分析最值即可.

【详解】

如图,分别作于,于,于,于,

连则,,,

∴

又∵.

当且仅当,即点与点重合时取最小值。

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了立体几何中线段的最值运用,属于中档题.

12．设函数，，，若存在实数，使得集合中恰好有7个元素，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题,集合中的极大值或极小值,一定在直线上,代入集合得,进而可得在椭圆中存在七个极值点,利用周期列式分析即可.

【详解】

由题意有的极大值或极小值一定在直线上,又在集合中.

当时,,得,故区间长度为8.又集合中恰好有7个元素,

所以存在实数,使得椭圆内包含的七个极值点.数形结合可知周期满足,解得,

故选：B

【点睛】

本题主要考查了根据三角函数的周期满足的条件求解三角函数参数范围的问题,需要根据题中与椭圆的位置关系分析椭圆中包含的极值点个数,并利用周期列式.属于难题.

二、填空题

13．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取名学生进行调查，若一班有名学生，将每一学生编号从到，请从随机数表的第行第、列（下表为随机数表的前行）开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为_________.

【答案】43

【解析】根据随机数表的方法分析即可.

【详解】

由题意得第行第、列为“65”,不满足.后依次为“14”,“08”,“02” ,“07” ,“43”.

故答案为：43

【点睛】

本题主要考查了随机数表的用法,属于基础题.

14．已知向量满足且，则的夹角为________.

【答案】

【解析】根据向量的数量积公式运算即可.

【详解】

设的夹角为,则,

解得,又,故.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的运算,属于基础题.

15．对任意不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】参变分离可得,再求导分析的最大值即可.

【详解】

即,故.

设,则,解可得,

故在上, ,单调递增；在上, ,单调递减.

故.所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了参变分离求解恒成立的问题,属于中档题.

16．已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为，PA平面ABC，，，则三棱锥体积的最大值为______.

【答案】

【解析】根据三棱锥的外接球的表面积可求得底面的外接圆面积,进而利用正弦定理与求得长度,再根据余弦定理与面积公式求解底面的最大值即可.

【详解】

由题,设底面外接圆直径为,则因为平面且,

故.

在底面中利用正弦定理有,解得.

在中用余弦定理有,化简得

,即,

根据基本不等式有,解得.故三棱锥体积.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了三棱锥外接球的问题,需要根据题意建立三棱锥高与底面外接圆半径以及三角形的关系,并利用基本不等式求最值.属于中档题.

三、解答题

17．已知在等比数列中，，且，，成等差数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为,再根据,,成等差数列求解即可.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入有，再分组利用等比和等差数列的求和公式求解即可.

【详解】

（Ⅰ）设等比数列的公比为,

∵,,成等差数列,

,

（Ⅱ）,

    .

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量求解以及等差等比数列求和公式，属于基础题.

18．如图所示，在四棱锥中，平面平面，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）证明,即可证明平面,从而得出.

（Ⅱ）根据二面角为可知,,继而证得平面,并判断出是直线与平面所成的角,再根据三角形中的关系求解正弦即可.

【详解】

（Ⅰ）证明：在中,,

所以,故.

因为平面平面,平面平面,,

所以平面.

又因为平面,所以.

（Ⅱ）因为平面,平面,所以.

又,平面平面,

所以是平面与平面所成的二面角的平面角,即.

因为 ,所以平面.

所以是直线与平面所成的角.

因为在中,,

所以在中,.

【点睛】

本题主要考查了线线垂直的证明以及线面角的求解与证明.属于中档题.

19．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），制作了频率分布直方图，

（Ⅰ）用该样本估计总体：

（1）估计该市居民月均用水量的平均数；

（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？

（Ⅱ）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量，其中月均用水量不超过2.5吨的人数为X，求X的分布列和均值.

【答案】（Ⅰ）（1）1.875（2）2.7吨（Ⅱ）分布列见解析，均值为

【解析】（Ⅰ）

(1)将每个区间内的中点作为平均值,再乘以对应的频率求和即可.

(2)利用右边的区域面积之和为求解即可.

（Ⅱ）先求出居民月均用水量不超过吨的概率是,再根据二项分布的特点求解即可.

【详解】

（Ⅰ）(1)月均用水量

（2）由直方图易知：,由吨

故月均用水量的最低标准定为吨

（Ⅱ）依题意可知,居民月均用水量不超过吨的概率是,则

,

,

故的分布列为:

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图中的计算以及分布列与数学期望的求解,需要根据题意判定分布列满足二项分布,再根据二项分布的特点写出分布列并求解数学期望等.属于中档题.

20．已知椭圆的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）为椭圆上不同的三点，为坐标原点，若，试问：的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）是定值，定值为

【解析】（Ⅰ）根据题意利用圆心到直线的距离与半径相等列出关于的关系,再根据一个焦点与上下顶点构成直角三角形可得,再联立求解即可.

（Ⅱ）分当斜率不存在与存在两种情况.当斜率存在时设直线,再联立方程写出韦达定理,再根据得出关于,的关系,代入化简可得，再求出面积的表达式,代入化简证明即可.

【详解】

（Ⅰ）由题意知,

解得.则椭圆C的方程是：

（Ⅱ）①当斜率不存在时,不妨设,,

②设由

设,,则,.

由 ,代入有,化简可得

原点到的距离,

故

综上：的面积为定值

【点睛】

本题主要考查了椭圆基本量的求法以及联立直线与椭圆的方法求解,并利用韦达定理代入所给的向量表达式求得直线中参数的关系,再代入所求的面积表达式化简证明定值的方法.属于难题.

21．已知函数在定义域内有两个不同的极值点.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）若有两个不同的极值点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）求导得,再转化为与的图像在上有两个不同的交点,再分析的函数单调性与最值,进而数形结合求解即可.

（Ⅱ）设是的两个根,代入相减可得,再对两边取对数,化简即证,再构造,分析函数的单调性证明最值,从而求得取值范围即可.

【详解】

（Ⅰ）由题意, 有两个不同的根,

故方程在上有两个不同的根,转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点.

,故 时,. 时, ,

故在上单调递增,在上单调递减.

所以

又,故时, ,时,

由图象可得：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：设是的两个根,

故,,相减可得.

故

,又,故上式即为

令,则对恒成立.

设,则,

①若,当时, ,时,

故在上单调递减,故当时,不合题意；

②若,则,故在上单调递增.

故时, ,即恒成立.

综上：

【点睛】

本题主要考查了参变分离根据函数的图形解决函数零点个数的问题.同时也考查了根据极值点满足的关系式构造函数证明不等式求解参数范围的问题.属于难题.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：．

（Ⅰ）求直线与曲线公共点的极坐标；

（Ⅱ）设过点的直线交曲线于，两点，求的值．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）1

【解析】（Ⅰ）根据曲线为圆的参数方程,分析圆心与半径直接求解,再根据极坐标的意义化简成直角坐标,再联立求解交点坐标即可.

（Ⅱ）设直线的参数方程,联立与圆的方程,再根据直线参数方程的几何意义求解即可.

【详解】

（Ⅰ）易得曲线为圆心是,半径为1圆,故的普通方程为,直线 的普通方程为,联立方程 ,解得或,

所以直线与曲线公共点的极坐标为与．

（Ⅱ）依题意,设直线的参数方程为(为倾斜角,为参数),

代入,整理得．

设对应的参数分别为则.

【点睛】

本题主要考查了参数方程和极坐标与直角坐标的互化,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中档题.

23．设不等式的解集是，，．

（Ⅰ）试比较与的大小；

（Ⅱ）设表示数集中的最大数，，求的最小值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）先解得,再利用作差法判定即可.

（Ⅱ）由,故再利用基本不等式求解即可.

【详解】

由得,解得,． 

（Ⅰ）由,得,

所以,故

（Ⅱ）由,得,,,

,故.

当且仅当,即时等号成立.

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的求解以及作差法判别大小关系的方法,同时也考查了根据基本不等式求解函数的最值问题.属于中档题.