2020届湖北省高三元月调考数学（理）试题（解析版）
展开2020届湖北省高三元月调考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】可以求出集合、，然后进行交集的运算即可．
【详解】
解：，或，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．复数的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】D
【解析】 由，所以复数的虚部为，故选D．
3．若直线平分圆，则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【解析】将圆的圆心代入直线方程即可.
【详解】
解：因为直线平分圆，
又圆的标准方程为，
所以直线经过圆心，
所以，
故选：A．
【点睛】
本题考查直线和圆的位置问题，是基础题。
4．已知向量，，若，则（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】通过向量的数量积求解，并求出向量的坐标，然后利用向量模的坐标运算求出．
【详解】
解：向量，，若，可得，解得，
所以，则．
故选：A．
【点睛】
本题考查向量的数量积的运算，向量的模的求法，是基本知识的考查．
5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”又称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若，，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求得，在中，运用余弦定理，求得AB，以及DE，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解．
【详解】
解：，
在中，可得，
即为，解得，
，．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．若x、y满足约束条件，则z=3x-2y的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】
由题意，画出约束条件，所表示的平面区域，如图所示，
化目标函数为，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，
联立，解得A（-1，1），
可得目标的最小值为，故选：C．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
7．将甲、乙、丙、丁四人分配到、、三所学校任教，每所学校至少安排人，则甲不去学校的不同分配方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，分两种情况讨论，
①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有种情况，
②没有人与甲在同一个学校，则有种情况；
则若甲要求不到学校，则不同的分配方案有种；
故选：B．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．
8．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】通过举反例得到“”推不出“”；再由“”“”能求出结果．
【详解】
解：实数，，当，时，，
“”推不出“”；
反之，实数，，由基本不等式可得，
由不等式的基本性质得，整理得，，
由基本不等式得，即“”“”．
实数，，则“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
9．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象．若，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．
【详解】
解：函数的图象向左平移个单位，得到的图象，再向上平移1个单位，得到的图象，
由于若，且，，
所以函数在和时，函数都取得最大值．
所以，解得，
由于且，，所以，同理，所以．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题．
10．关于函数有下列结论：
①图象关于y轴对称；②图象关于原点对称；③在上单调递增；④恒大于0．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．①③④
【答案】D
【解析】利用函数的奇偶性、单调性直接求解．
【详解】
解：函数，
在①中，．
函数是偶函数，图象关于轴对称，故①正确；
在②中，函数是偶函数，图象关于轴对称，故②错误；
在③中，任取，
则，
，，，，，
，同理，即，
，，，即，
所以，函数在区间上为减函数，则该函数在区间上为增函数，
故③正确；
在④中，当时，，，，
当时，，，，恒大于0，故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
11．已知抛物线C：的焦点为F，定点，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点点B在F，M中间，且与抛物线C的准线交于点N，若，则AF的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】由题意画出图形，求出AB的斜率，得到AB的方程，求得p，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A的坐标，再由抛物线定义求解AF的长．
【详解】
解：如图，过B作垂直于准线，垂足为，则，
由，得，可得，
，，
又，的方程为，
取，得，即，则，抛物线方程为．
联立，解得．．
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
12．如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解析】设，则，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【详解】
解：设，则．
，，，，
，同理，
其中，
，当时，，．
故选：C．
【点睛】
本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
二、填空题
13．在，，三个数中，则最大的数为______．
【答案】
【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【详解】
解：，，
，，
，，最大，
故答案为：．
【点睛】
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
14．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为______．
【答案】
【解析】由题意画出图形，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，再由三角形面积公式求解．
【详解】
解：如图，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点．
由双曲线方程可得，，，则，
则以O为圆心，以2为半径的圆的方程为．
联立，解得，．
故答案为：．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．设数列满足，，若数列的前2019项的乘积为3，则______．
【答案】2
【解析】本题先根据递推式的特点可知，然后将递推式可转化为再根据逐步代入前几项即可发现数列是以最小正周期为4的周期数列．再算出一个周期内的乘积为1，即可根据前2019项的乘积为3求出a的值．
【详解】
解：由题意，根据递推式，，故递推式可转化为．
，，，，
．
数列是以最小正周期为4的周期数列，．
，，
解得．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查周期数列的判定以及周期数列的性质应用，本题属中档题．
16．已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】求导可知函数在上为增函数，进而原问题等价于对于任意的，均有，构造函数，则函数在上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．
【详解】
解：，
任意的，恒成立，所以单调递增，
不妨设，则，又，
故等价于，
即，
设，
易知函数在上为减函数，
故在上恒成立，即在上恒成立，
设，
则，
故函数在上为减函数，则，故．
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．
三、解答题
17．已知函数．
求的值；
求的最小正周期及单调增区间．
【答案】（1） ；（2）最小正周期为，的单调增区间为.
【解析】（1）结合和差角公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后直接代入即可求解；
（2）结合正弦函数的性质即可求解．
【详解】
解：1因为，
所以；
（2）的最小正周期．
令，解得，
所以的单调增区间为．
【点睛】
本题主要考查和差角公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，考查了正弦函数的性质的应用，属于中等题.
18．已知数列满足，，，2，.
求数列的通项；
设，求．
【答案】； .
【解析】利用数列的递推关系式推出，通过当n为奇数，当n为偶数，，分别求解通项公式；
化简，然后求解数列的和即可．
【详解】
解：，，2，，
，，3，
得，，
当n为奇数，，当n为偶数，
所以；
，
．
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法以及数列求和的方法，是中档题．
19．已知a为实数．
当，时，求在上的最大值；
当时，若在R上单调递增，求a的取值范围．
【答案】 ； .
【解析】求导后，列表得x，，的变化情况，进而求得最大值；
依题意，恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解．
【详解】
解：当，时，，
，
则x，，的变化情况如下：
x | |||
0 | |||
增函数 | 极大值 | 减函数 |
；
在R上单调递增，
则对恒成立，
得，
设，，
则在上恒成立，则有，得．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及换元思想，属于基础题．
20．已知椭圆：的离心率为，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点的直线l与椭圆交于B，C两点，当轴时，三角形ABC的面积为18．
求椭圆的方程；
如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．
【答案】 ； 存在，P或.
【解析】由离心率及三角形ABC的面积和a，b，c之间的关系求出椭圆方程；
由知A的坐标，设直线BC的方程，及B，C的坐标，进而写直线AB，AC的方程，与直线联立求出M，N的坐标，假设存在P点，是，使，求出P点坐标．
【详解】
解：由已知条件得，解得；
所以椭圆的方程为；
设动直线BC的方程为，，，
则直线AB、AC的方程分别为和，
所以点M、N的坐标分别为，
联立得，
所以；
于是，
假设存在点满足，则，所以或5，
所以当点P为或时，有．
【点睛】
考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的综合应用，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查计算能力，属于中难题．
21．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况单位：百元，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
组别 | |||||
频数 | 10 | 390 | 400 | 188 | 12 |
求所得样本的中位数精确到百元；
根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；
若年旅游消费支出在百元以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考数据：，；
【答案】百元；万；分布列见解析，．
【解析】设样本的中位数为x，可得，解得x；
，，，旅游费用支出在7500元以上的概率为，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7500元以上；
由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，X可能取值为3，4，5，6，利用二项分布列即可得出．
【详解】
解：设样本的中位数为x，则，
解得，所得样本中位数为百元；
，，，
旅游费用支出在7500元以上的概率为，，估计有万市民旅游费用支出在7500元以上；
由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，X可能取值为3，4，5，6．
，，，，
故其分布列为：
X | 3 | 4 | 5 | 6 |
P |
．
【点睛】
本题考查了二项分布列、互斥事件与对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．已知函数，其中a为非零常数．
讨论的极值点个数，并说明理由；
若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，
转化为证明只有一个零点，结合函数与导数知识可证；
由题意可得，，代入可得，，结合函数的性质可证．
【详解】
解：解：由已知，的定义域为，
，
①当时，，从而，
所以在内单调递减，无极值点；
②当时，令，
则由于在上单调递减，，，
所以存在唯一的，使得，
所以当时，，即；当时，，即，
所以当时，在上有且仅有一个极值点.
综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数只有一个极值点；
证明：由知．
令，由得，
所以在内有唯一解，从而在内有唯一解，
不妨设为，则在上单调递增，在上单调递减，
所以是的唯一极值点．
令，则当时，，
故在内单调递减，
从而当时，，所以．
从而当时，，且
又因为，故在内有唯一的零点．
由题意，即，
从而，即．
因为当时，，又，
故，即，
两边取对数，得，
于是，整理得．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综合应用，属于难题．
