2020届湖北省荆门市高三元月调考数学（理）试题

荆门市2020年高三年级元月调考试卷

数学（理科）

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。

1．已知集合，，则

A.    B．    C.    D．

2．设是虚数单位，则等于

A．            B．          C．             D．

3．下列各式中错误的是

A．  B.    C.    D.

4．设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为

A．  B．   C．    D．

5．已知函数（，，）

的部分图象如图所示，则

A．       B．       C．        D．

6．已知则

A．       B．        C．        D．

7．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是

A．   B．   C．    D．

8．某班元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有

A．36种    B．42种     C．48种    D．54种

9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；

丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，

则中奖的同学是

A．甲            B．乙             C．丙            D．丁

10．函数的大致图象为

11．已知二面角为动点P、Q分别在、内，P到的距离为,Q到的距离为, 则PQ两点之间距离的最小值为

A.           B．             C．           D．

12．设函数，，，若存在实数，使得集合中恰好有7个元素，则的取值范围是

A．  B．      C．        D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取名学生进行调查，若一班有名学生，将每一学生编号从到，请从随机数表的第行第、列（下表为随机数表的前行）开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为▲ .

14．已知向量满足且，则的夹角为▲ .

15．对任意不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是▲ .

16. 已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为，PA平面ABC，,,则三棱锥体积的最大值为▲ .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知在等比数列中，，且，，成等差数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．

18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，平面平面，

.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若二面角为，求直线与平面

所成的角的正弦值．

19.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，制作了频率分布直方图，

（Ⅰ）用该样本估计总体：

（1）估计该市居民月均用水量的平均数；

（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？

（Ⅱ）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量，其中月均用水量不超过2.5吨的人数为X，求X的分布列和均值.

20.（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）为椭圆上不同的三点，为坐标原点，若，试问：的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

21.（本小题满分12分）已知函数在定义域内有两个不同的极值点.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）若有两个不同的极值点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，曲线的参数方程为:（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为:．

（Ⅰ）求直线与曲线公共点的极坐标；

（Ⅱ）设过点的直线交曲线于，两点，求的值．

23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设不等式的解集是，，．

（Ⅰ）试比较与的大小；

（Ⅱ）设表示数集中的最大数．，求的最小值．

荆门市2020年高三年级元月调考试卷

数学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题：每小题5分，共60分.

1-5 DBDBC   6-10 DCBAC   11-12 AB

12.的极大值或极小值，一定在直线上，又在集合中．

当时，，得，，，，故选B．

二、填空题：每小题5分，共20分．

13. 43  14.  15.    16.  

三、解答题：

17.解：（1）设等比数列的公比为，

∵，，成等差数列，∴，………3分

∴．         ………………………………………6分

（2）∵，……………………………………8分

∴    ………………………10分

．    …………………………12分

18.解：（Ⅰ）证明：在中，，

所以, 所以．  …………………………………………2分

因为平面平面,平面平面,,

所以平面．  ………………………………………………………………4分

又因为平面，所以．  ………………………………………6分

（Ⅱ）因为平面，平面，所以．

又,平面平面,

所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即．

……………………………………………8分

因为,所以平面．

所以是直线与平面所成的角．…………10分

因为在中，，

所以在中，． …………12分

（Ⅱ）另解：因为平面，平面，所以．

又,平面平面,

所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即．

……………………………………………………………8分

即为等腰，过E作则O为BC中点，取AB中点F，连接OF

则如图建系则

设平面EAC的一个法向量为,

,

由

………………………………10分

又,直线AB与平面ACE所成的角为

则…………………………………………………12分

19．解：（Ⅰ）(1)月均用水量

………………………………………………3分

（2）由直方图易知：

故月均用水量a的最低标准定为2.7吨…………………………………………………6分

（Ⅱ）依题意可知，居民月均用水量不超过2.5吨的概率是，则

……………………………10分

故X的分布列为:

           ……………………………………………………………12分

20.解：（Ⅰ）由题意知，，           ………………………………………2分

解得     则椭圆C的方程是： …………………………4分

（Ⅱ）①当AB斜率不存在时，

   ……………………………………………………………5分

②设由

设则…………7分

……………………………9分

原点O到AB的距离

……………………………………………………………11分

故

综上：的面积为定值  .……………………………………………………12分

21.解：（Ⅰ）由题意，方程在有两个不同根,即方程有两个不同根；

解法1：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，

令,……………………………………………………………1分

故在处的切线方程为： …………………3分

代入点有：

由图象可得： ……………………………………………………5分

解法2：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点．      …………………………………………………………………………………………1分

，故时，时，

……………………3分

又

由图象可得：……………………………………………………5分

解法3：…………………………………………………………………1分

①

最多只有一个实根，不合题意； …………………………………2分

②

故

故 ………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

……………………6分

   ……………………8分

①

故，不合题意；…………10分

②

，即

……………………………………………………………………………12分

22.（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为，………………2分

联立方程，解得或，        ……………………………4分

所以，直线与曲线公共点的极坐标为，．……………………………5分

（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），

代入，整理得．…………………………………7分

设对应的参数分别为则 ……………………………………10分

另解：设为的一条切线，由切割线定理：

23. 由得，解得，∴．  …………………2分

（1）由，，得，，

∴，故． ………………………………5分

（2）由，得，，，  …………7分

∴，故．  ………………………………9分

当且仅当  ………………………………10分