2020届黑龙江省大庆市高三上学期第一次教学质量检测数学（文）试题（解析版）

2020届黑龙江省大庆市高三上学期第一次教学质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（　　）

A． B． C．0， D．

【答案】C

【解析】首先简化集合B，然后根据并集的定义得结果.

【详解】

B={x∈N|x＜1}={0}，

A∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}．

故选：C．

【点睛】

此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

2．已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由复数的运算法则，化简复数，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．

【详解】

由题意，复数满足，即，

所以复数的共轭复数等于，故选A．

【点睛】

本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

3．已知，=（，6），且，则 （  ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】根据向量平行有公式，代入数据得到答案.

【详解】

，=（，6），且

则即

故答案选A

【点睛】

本题考查了向量平行的计算，属于简单题.

4．在平面直角坐标系中，现有，，，，共五个点，从中任取两个点，则这两个点恰有一个在圆内部的概率是(   )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意首先确定所给的点与圆的位置关系，然后结合古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.

【详解】

由题意可知点在圆内，其余所给的点不在圆内，

结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将问题转化为等差数列问题，通过，，，构造方程组解出公差，从而得到结果.

【详解】

设每天所织布的尺数为，则数列为等差数列

设公差为

由题意可知：，，

则，解得：

即每天比前一天少织尺的布

本题正确选项：

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列基本量求解的问题.

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用指数和对数函数的单调性分别判断出所处的大致范围，从而得到结果.

【详解】

且

即

本题正确选项：

【点睛】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性判断大小的问题，属于基础题.

7．曲线在点处的切线方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果.

【详解】

由可得，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为：，

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.

8．设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是(   )

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

【答案】D

【解析】利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可.

【详解】

逐一考查所给的选项：

由线面垂直的性质定理推论可知：若，，则，选项A正确；

由线面垂直的性质定理推论可知：若，，则，选项B正确；

由线面垂直的性质定理推论可知：若，，则平面内存在直线，满足，则，然后利用面面垂直的判定定理可得，选项C正确；

在如图所示的正方体中，取平面分别为平面，直线为棱，

满足，，但是不满足，选项D错误；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的性质定理及其推论，线面关系命题的判定，属于中等题.

9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是(   )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【答案】B

【解析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.

【详解】

结合题意分类讨论：

若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；

若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；

若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；

若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；

综上可得，获奖人为乙.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.

10．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为                                                       （　　）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】利用，得出异面直线与所成的角为，然后在中利用锐角三角函数求出.

【详解】

如下图所示，设正方体的棱长为，

四边形为正方形，所以，，

所以，异面直线与所成的角为，

在正方体中，平面，平面，，

，，，

在中，，，

因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选：D.

【点睛】

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题。

11．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可。

【详解】

因为为奇函数，∴；

又

，，又

∴，

故选C。

【点睛】

本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数。

12．已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据条件构造函数g（x），求函数导数，判断函数单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可．

【详解】

设g（x），则g′（x）＝，

∵当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）>0，

∴当x＞0时，g′（x）>0，此时函数g（x）为增函数，

∵f（x）是奇函数，∴g（x）是偶函数，

即当x＜0时，g（x）为减函数．

∵f（﹣1）＝0，∴g（﹣1）＝g（1）＝0，

当x＞0时，f（x）>0等价为g（x）>0，即g（x）>g（1），此时x＞1，

当x＜0时，f（x）>0等价为g（x）<0，即g（x）<g（﹣1），此时﹣1＜x＜0，

综上不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），

故选：A．

【点睛】

本题考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，以及将不等式进行转化是解决本题的关键．

二、填空题

13．已知等比数列的前项和为，公比为，且，则__________.

【答案】2

【解析】由题意结合数列前n项和的定义和通项公式即可求得的值.

【详解】

由题意结合前n项和的定义可得：，即，

结合等比数列通项公式可得：.

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查等比数列通项公式的应用，数列前n项和的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．若实数，满足不等式组，则的最大值为____________.

【答案】5

【解析】由题意首先画出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最大值即可.

【详解】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C处取得最大值，

联立直线方程：，可得点的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：.

故答案为：5．

【点睛】

求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

15．若，则 ______．

【答案】

【解析】利用角的关系，建立函数值的关系求解。

【详解】

已知，且，则，故．

【点睛】

给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值。

16．已知，是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，且，则的离心率是_________.

【答案】

【解析】由题意利用几何关系得到关于a,c的方程，然后结合二次齐次方程即可确定双曲线的离心率.

【详解】

如图所示，由题意，可设，

由双曲线的定义可得：，

在中，由勾股定理可得：，据此可得：，

在中，，

由勾股定理可得：，据此可得：.

故答案为：．

【点睛】

双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

三、解答题

17．在中，角、、所对的边分别为，，，已知.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，，求的面积的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】(Ⅰ)利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理确定的值即可求得∠A的大小；

(Ⅱ)由题意，首先利用正弦定理求得边c的长度，然后利用面积公式计算△ABC的面积即可.

【详解】

(Ⅰ)∵由正弦定理，

∴有，，，

则可化为，

即，即，

又∵余弦定理，

∴，

由，得；

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，则，，

∵，，

∴，

∴，

由正弦定理得，，

∴.

【点睛】

在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

18．在四棱锥中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】(Ⅰ)首先结合面面垂直的性质定理证明线线垂直，然后结合几何关系和线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)首先求得四棱锥的体积，然后利用等体积法即可求得点到平面的距离.

【详解】

(Ⅰ)连接，在中，，是的中点，

∴得，

∵平面平面，平面平面，

∴平面，

∴，

又∵四边形是边长为2的菱形，，

∴为等边三角形，

∴，

又∵，面，面，

∴平面；

(Ⅱ)在中，，，则，

在中，，，，则，

由面，，得，

由，设点到平面的距离为，

则，则，

即点到平面的距离为.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，等体积法求解点面距离的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组，，，，，，并整理得到频率分布直方图：

（Ⅰ）求图中的值；

（Ⅱ）求被调查人员的年龄的中位数和平均数；

（Ⅲ）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，在抽取的8人中随机抽取2人，则这2人都来自于第三组的概率是多少？

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）中位数46.250；平均数47；（Ⅲ）.

【解析】(Ⅰ)由题意得到关于a的方程，解方程即可确定实数a的值；

(Ⅱ)利用中位数将频率分布直方图分为左右两侧面积相等的两部分可得中位数的值，然后利用平均数公式计算年龄的平均数即可；

(Ⅲ)由题意首先确定每组所抽取的人数，然后列出所有可能的事件，最后利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值.

【详解】

(Ⅰ)由频率分布直方图的性质可得，

解得.

(Ⅱ)中位数为，

平均数为；

(Ⅲ)第二组、第三组、第四组的频率比为，共抽取8人，所以三个组依次抽取的人数为2，4，2.

记第二组2人分别为，，第三组4人分别为，，，，第四组2人分别为，

从8人中抽取两人共包含：

，，，，，，，

，，，，，，

，，，，，

，，，，

，，，

，，，共28个基本事件,

而两人都来自于第三组的基本事件包括：

，，，，，，共6个.

设这2人都来自于第三组为事件，则所求概率

【点睛】

利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为2，离心率等于.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】(Ⅰ)利用短轴长度求得b的值，然后由离心率求得a的值即可确定椭圆方程；

(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和向量的坐标运算即可证得题中的结论.

【详解】

(Ⅰ)设椭圆的方程为，则由题意知，所以，

，解得，

所以椭圆的方程为；

(Ⅱ)设、、的点的坐标分别为，，，点的坐标为，

显然直线的斜率存在，设直线的方程是，

联立，消去并整理得，

∴，，

又由，，得，，

∴.

【点睛】

解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21．已知函数，.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.

【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）1.

【解析】(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；

(Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.

【详解】

(Ⅰ)设，

∴，

令，则；，则；

∴在上单调递增，上单调递减，

∴，无极小值.

(Ⅱ)由，即在上恒成立，

∴在上恒成立，

设，则，

显然，

设，则，故在上单调递减

由，，

由零点定理得，使得，即

且时，，则，

时，. 则

∴在上单调递增，在上单调递减

∴，

又由，，则

∴由恒成立，且为整数，可得的最小值为1.

【点睛】

本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

22．在平面直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切。

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）在圆上取两点，使得，点与直角坐标原点构成，求面积的最大值．

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到答案.

（Ⅱ）将圆方程化为极坐标方程，，，，计算得到答案.

【详解】

（Ⅰ）由得，化为直角坐标方程为，

又圆C是圆心为，半径为r的圆，直线与曲线C相切，

可得：．

（Ⅱ）由（Ⅰ）圆C的极坐标方程为，

不妨设，，

则

，

当时，，

所以面积的最大值为．

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，面积的最大值，利用极坐标方程可以简化运算.

23．选修4-5：不等式选讲

设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由题，利用零点分段法求得的分段函数，再解得的解集即可；

（2）由利用零点分段法求得得分段函数解析式，即可得，求得k+m的取值范围.

【详解】

解：（1）

由或或得或

故的解集为

（2）

函数图像如图

由的解集为

可知必有斜率，且

即

【点睛】

本题考查了不等式选讲，掌握好零点分段法是解题的关键，属于较为基础题.