2020届河南省许昌市高三第一次质量检测理科数学试题（解析版）

2020年河南省许昌市高考一模试卷

（数学理科）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 已知集合，集合，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知，则

A.  B.  C. 2 D.

3. 某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：

现根据表中所提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为，则a值等于

A.  B. 5 C.  D. 6

4. 在区间上随机取一个数k，使直线与圆相交的概率为

A.  B.  C.  D.

5. 在各项均为正数的等比数列中，是它的前n项和，若，且，则

A. 29 B. 30 C. 31 D. 32

6. 若直线与曲线相切，则   

A. 3 B.  C. 2 D.

7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征，已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是

A.  B.
C.  D.

8. 已知程序框图如图所示，则输出的
   

A.
B.
C.
D.

9. 已知斜率为的直线l经过双曲线的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则的最小值是
    
    

A. 1 B. 0 C.  D.

11. 设数列的前n项和为，且，，则数列的前10项的和是

A. 290 B.  C.  D.

12. 已知函数关于x的方程，有5不同的实数解，则m的取值范围是    

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题）

13. 已知，，则______．
14. 在我市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为______．
15. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为______．
16. 中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为整腾，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面ABCE，四边形ABCD为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______．

三、解答题（本大题共7小题）

17. 设函数
    Ⅰ当时，求函数的值域；
    Ⅱ的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．
    
    
    
    
    
    
    
18. 如图四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，且，E为PD中点．
    求证：平面ABCD；
    求二面角的正弦值．
    
    
    
    

19. 由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课，每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A、B两个地区的100名观众，得到如表的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为．

完成上述表格并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；
若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X的分布列和期望．

附：参考公式：．

20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且点 在椭圆C上．
    求椭圆C的方程；
    设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．

21. 已知函数．
    讨论函数的单调性；
    若函数图象过点，求证：．
    
    
    
    
    
    
    
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，其中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求曲线的直角坐标方程；
    已知曲线与曲线交于A，B两点，点，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
23. 已知函数
    当，时，求不等式的解集；
    若，，的最小值为2，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】
本题通过集合运算来考查不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．
先化简集合，即解一元二次不等式，和对数不等式，再求交集．
【解答】
解：根据题意：集合，集合，
，
故选A．
2.【答案】C

【解析】解：由，
得．
故选：C．
利用虚数单位i的运算性质化简z，再由复数模的计算公式求解．
本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础的计算题．
3.【答案】B

【解析】解：，，
代入线性回归方程为，得，
解得．
故选：B．
由已知表格中的数据求得与的值，代入线性回归方程求解a值．
本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
4.【答案】C

【解析】【分析】
本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于较易题．
利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．

【解析】
解：圆的圆心为
圆心到直线的距离为
要使直线与圆相交，则，解得．
在区间上随机取一个数k，使与圆相交的概率为．
故选：C．
5.【答案】C

【解析】解：根据题意，等比数列中，若，则，则有，
又由，则，
则有，解可得，
则有，
则有；
故选：C．
根据题意，由等比数列的性质可得，变形可得，进而求出，由等比数列的通项公式可得q与的值，结合等比数列的前n项和公式计算可得答案．
本题考查等比数列的前n项和公式的应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
6.【答案】A

【解析】【分析】
本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．
设出切点坐标，欲求k的值，只需求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切线处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】
解：，
，
设切点为，得切线的斜率为，
即曲线在点处的切线方程为：
，即，
直线与曲线相切，
，即，
即，
则．
故选A．
7.【答案】D

【解析】解：函数定义域为，排除A，
函数关于y轴对称，则函数为偶函数，排除B，
C选项中，当时，，不满足条件．排除C，
故选：D．
根据函数图象特点，结合奇偶性，定义域，取值范围，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性，定义域以及特殊值法，利用排除法是解决本题的关键．比较基础．
8.【答案】B

【解析】解：，，；
，，；
，，；
，，；
，，；
跳出循环，输出结果．
故选：B．
根据流程图一步一步运算，直到跳出循环．
本题考查流程图，属于基础题．
9.【答案】D

【解析】解：由题意可得：，所以，因此，
故选：D．
根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围．
本题考查直线的斜率，双曲线的应用，考查转化思想，是基础题．
10.【答案】D

【解析】解：由等腰梯形的知识可知，
设，则，
，
，
当时，取得最小值．
故选：D．
计算cosB，设，把代入得出关于x的函数，根据x的范围得出最小值．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
11.【答案】C

【解析】解：，
，
当时，，
两式相减可得，
即，
，
数列是以1为首项，以4为公差的等差数列，
，
，
，
数列的前10项的和是，
故选：C．
根据数列的递推公式可得数列是以1为首项，以4为公差的等差数列，再根据裂项求和即可求出．
本题考查了数列的递推公式和数列的求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
12.【答案】C

【解析】【分析】
本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或画出函数图象，数形结合得答案．
【解答】
解：设，则，
由，解得，
当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．
当时，函数取得极大值也是最大值为．
方程化为．
解得或．
如图画出函数图象：
可得m的取值范围是
故选C．
13.【答案】

【解析】解：，
则：，
所以：，
则：，
故答案为：．
直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
14.【答案】

【解析】解：，，
又，，
，
则．
他的数学成绩小于110分的概率为．
故答案为：．
由已知可得，求出，得，再由对立事件的概率得答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
15.【答案】80

【解析】解：令，可得的展开式中各项系数的和为，．
故，
故该展开式中常数项为，
故答案为：80．
先求出a的值，再把的按照二项式定理展开，可得的展开式中常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16.【答案】

【解析】解：鳖臑可看做如下图所示的长方体的一部分：
则长方体外接球即为鳖臑的外接球，
外接球半径为：，
又，，
连接AC，BD，交于，取PC中点O，连接，
可知：，
则，
．
可知O为阳马的外接球球心，则外接球半径，
阳马的外接球表面积．
故答案为：．
将鳖臑放入长方体中，利用长方体体对角线长表示出鳖臑半径，利用外接球体积求解出PA；通过长度关系可确定阳马的外接球球心为PC中点，从而可得半径，代入表面积公式求得外接球表面积．
本题考查多面体的外接球体积和表面积的相关计算，关键是能够根据多面体的特征确定球心的位置，进而求得半径，是中档题．
17.【答案】本题满分为12分
解：Ⅰ，分
，
，分
，
函数的值域为；                                          分
Ⅱ，
，
，
，
，即，分
由余弦定理，，
，即，
又，
，分
                    分

【解析】Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由已知可求范围，利用正弦函数的性质可求其值域．
Ⅱ由已知可求，可求范围，从而可求，由余弦定理解得c的值，即可根据三角形的面积公式计算得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：证明：底面ABCD为正方形，，
，，平面PAB，，
同理，，
，平面ABCD．
解：如图，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为2，
则0，，2，，1，，0，，
则1，，0，，
设平面ABE的一个法向量y，，
则，取，得，
同理得平面BCE的一个法向量0，，
，
二面角的正弦值为．

【解析】推导出，，从而平面PAB，进而，同理，，由此能证明平面ABCD．
分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：完成列联表如下：

则，
没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．
从A地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，
随机抽取3人，X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：

．

【解析】完成列联表，求出，从而没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．
从A地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，随机抽取3人，X的可能取值为0，1，2，3，由此能求出X的分布列和EX．
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：不妨设椭圆的方程为，，
由题意可得，解得，，
故椭圆的方程，
证明：设，，直线MN的方程为，
由方程组，消去x整理得
，，
直线BM的方程可表示为，
将此方程与直线成立，可求得点Q的坐标为，
，，
，
，
向量和有公共点A，
，N，Q三点在同一条直线上．

【解析】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．
不妨设椭圆的方程为，，由题意可得，解得即可，
设，，直线MN的方程为，由方程组，消去x整理得，根据韦达定理求出点Q的坐标，根据向量即可求出，且向量和有公共点A，即可证明．
21.【答案】解：函数的定义域为，又，
当时，，在上单调递增；
当时，由得，
若，则在上单调递增；
若，则在上单调递减；
证明：函数图象过点，可得，此时，
要证，令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
由，即，故存在使得，此时，故，
当时，，当时，，
函数在上单减，在上单增，
故当时，有最小值，
成立，即得证．

【解析】求导后，分类讨论解不等式即可；
构造函数，求其最小值大于等于0即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：，，由，
曲线的直角坐标方程为．
将曲线的参数方程为为参数，带入曲线的直角坐标方程．
化简得，
且，可得，
设A，B两点对应的参数分别为，t2，则有，，
所以的取值范围为．

【解析】按公式将极坐标转化成直角坐标方程，可以用参数方程，用参数方程中的参数表示成所求的转化．
本题考查极坐标，参数方程，直角坐标方程的相互转化，用参数方程求取值范围，属于中档题．
23.【答案】解，时，或或，
解得：，
所以原不等式的解集为．
，，时，，
，，
当且仅当，时取等．
的最小值为．

【解析】，时，或或，解得：，所以原不等式的解集为．
先用绝对值不等式的性质求出的最小值，然后用基本不等式可得．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．