2020届河南省许昌市高三第一次质量检测理科数学试题（解析版）

2020年河南省许昌市高考一模试卷（数学理科）一、选择题（本大题共12小题）已知集合，集合，则A.  B.  C.  D. 已知，则A.  B.  C. 2 D. 某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：产量万件234单位成本元件3a7现根据表中所提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为，则a值等于A.  B. 5 C.  D. 6在区间上随机取一个数k，使直线与圆相交的概率为A.  B.  C.  D. 在各项均为正数的等比数列中，是它的前n项和，若，且，则A. 29 B. 30 C. 31 D. 32若直线与曲线相切，则   A. 3 B.  C. 2 D. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征，已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是A.  B.
C.  D. 已知程序框图如图所示，则输出的
A.
B.
C.
D.










 已知斜率为的直线l经过双曲线的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是A.  B.  C.  D. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则的最小值是

A. 1 B. 0 C.  D. 设数列的前n项和为，且，，则数列的前10项的和是A. 290 B.  C.  D. 已知函数关于x的方程，有5不同的实数解，则m的取值范围是    A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题）已知，，则______．在我市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为______．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为______．中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为整腾，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面ABCE，四边形ABCD为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______．三、解答题（本大题共7小题）设函数
Ⅰ当时，求函数的值域；
Ⅱ的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．






如图四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，且，E为PD中点．
求证：平面ABCD；
求二面角的正弦值．



 






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若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X的分布列和期望．        附：参考公式：．






在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且点 在椭圆C上．
求椭圆C的方程；
设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．







已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数图象过点，求证：．






在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，其中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的直角坐标方程；
已知曲线与曲线交于A，B两点，点，求的取值范围．






已知函数
当，时，求不等式的解集；
若，，的最小值为2，求的最小值．







答案和解析1.【答案】A
【解析】【分析】
本题通过集合运算来考查不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．
先化简集合，即解一元二次不等式，和对数不等式，再求交集．
【解答】
解：根据题意：集合，集合，
，
故选A．
2.【答案】C
【解析】解：由，
得．
故选：C．
利用虚数单位i的运算性质化简z，再由复数模的计算公式求解．
本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础的计算题．
3.【答案】B
【解析】解：，，
代入线性回归方程为，得，
解得．
故选：B．
由已知表格中的数据求得与的值，代入线性回归方程求解a值．
本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于较易题．
利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．

【解析】
解：圆的圆心为
圆心到直线的距离为
要使直线与圆相交，则，解得．
在区间上随机取一个数k，使与圆相交的概率为．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，等比数列中，若，则，则有，
又由，则，
则有，解可得，
则有，
则有；
故选：C．
根据题意，由等比数列的性质可得，变形可得，进而求出，由等比数列的通项公式可得q与的值，结合等比数列的前n项和公式计算可得答案．
本题考查等比数列的前n项和公式的应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．
设出切点坐标，欲求k的值，只需求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切线处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】
解：，
，
设切点为，得切线的斜率为，
即曲线在点处的切线方程为：
，即，
直线与曲线相切，
，即，
即，
则．
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：函数定义域为，排除A，
函数关于y轴对称，则函数为偶函数，排除B，
C选项中，当时，，不满足条件．排除C，
故选：D．
根据函数图象特点，结合奇偶性，定义域，取值范围，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性，定义域以及特殊值法，利用排除法是解决本题的关键．比较基础．
8.【答案】B
【解析】解：，，；
，，；
，，；
，，；
，，；
跳出循环，输出结果．
故选：B．
根据流程图一步一步运算，直到跳出循环．
本题考查流程图，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：由题意可得：，所以，因此，
故选：D．
根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围．
本题考查直线的斜率，双曲线的应用，考查转化思想，是基础题．
10.【答案】D
【解析】解：由等腰梯形的知识可知，
设，则，
，
，
当时，取得最小值．
故选：D．
计算cosB，设，把代入得出关于x的函数，根据x的范围得出最小值．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：，
，
当时，，
两式相减可得，
即，
，
数列是以1为首项，以4为公差的等差数列，
，
，
，
数列的前10项的和是，
故选：C．
根据数列的递推公式可得数列是以1为首项，以4为公差的等差数列，再根据裂项求和即可求出．
本题考查了数列的递推公式和数列的求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或画出函数图象，数形结合得答案．
【解答】
解：设，则，
由，解得，
当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．
当时，函数取得极大值也是最大值为．
方程化为．
解得或．
如图画出函数图象：
可得m的取值范围是
故选C．
13.【答案】
【解析】解：，
则：，
所以：，
则：，
故答案为：．
直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
14.【答案】
【解析】解：，，
又，，
，
则．
他的数学成绩小于110分的概率为．
故答案为：．
由已知可得，求出，得，再由对立事件的概率得答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
15.【答案】80
【解析】解：令，可得的展开式中各项系数的和为，．
故，
故该展开式中常数项为，
故答案为：80．
先求出a的值，再把的按照二项式定理展开，可得的展开式中常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：鳖臑可看做如下图所示的长方体的一部分：
则长方体外接球即为鳖臑的外接球，
外接球半径为：，
又，，
连接AC，BD，交于，取PC中点O，连接，
可知：，
则，
．
可知O为阳马的外接球球心，则外接球半径，
阳马的外接球表面积．
故答案为：．
将鳖臑放入长方体中，利用长方体体对角线长表示出鳖臑半径，利用外接球体积求解出PA；通过长度关系可确定阳马的外接球球心为PC中点，从而可得半径，代入表面积公式求得外接球表面积．
本题考查多面体的外接球体积和表面积的相关计算，关键是能够根据多面体的特征确定球心的位置，进而求得半径，是中档题．
17.【答案】本题满分为12分
解：Ⅰ，分
，
，分
，
函数的值域为；                                          分
Ⅱ，
，
，
，
，即，分
由余弦定理，，
，即，
又，
，分
                    分
【解析】Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由已知可求范围，利用正弦函数的性质可求其值域．
Ⅱ由已知可求，可求范围，从而可求，由余弦定理解得c的值，即可根据三角形的面积公式计算得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：证明：底面ABCD为正方形，，
，，平面PAB，，
同理，，
，平面ABCD．
解：如图，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为2，
则0，，2，，1，，0，，
则1，，0，，
设平面ABE的一个法向量y，，
则，取，得，
同理得平面BCE的一个法向量0，，
，
二面角的正弦值为．
【解析】推导出，，从而平面PAB，进而，同理，，由此能证明平面ABCD．
分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：完成列联表如下： 非常满意满意合计A301545B352055合计6535100则，
没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．
从A地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，
随机抽取3人，X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：X0 1 2 3P    ．
【解析】完成列联表，求出，从而没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．
从A地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，随机抽取3人，X的可能取值为0，1，2，3，由此能求出X的分布列和EX．
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：不妨设椭圆的方程为，，
由题意可得，解得，，
故椭圆的方程，
证明：设，，直线MN的方程为，
由方程组，消去x整理得
，，
直线BM的方程可表示为，
将此方程与直线成立，可求得点Q的坐标为，
，，
，
，
向量和有公共点A，
，N，Q三点在同一条直线上．
【解析】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．
不妨设椭圆的方程为，，由题意可得，解得即可，
设，，直线MN的方程为，由方程组，消去x整理得，根据韦达定理求出点Q的坐标，根据向量即可求出，且向量和有公共点A，即可证明．
21.【答案】解：函数的定义域为，又，
当时，，在上单调递增；
当时，由得，
若，则在上单调递增；
若，则在上单调递减；
证明：函数图象过点，可得，此时，
要证，令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
由，即，故存在使得，此时，故，
当时，，当时，，
函数在上单减，在上单增，
故当时，有最小值，
成立，即得证．
【解析】求导后，分类讨论解不等式即可；
构造函数，求其最小值大于等于0即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：，，由，
曲线的直角坐标方程为．
将曲线的参数方程为为参数，带入曲线的直角坐标方程．
化简得，
且，可得，
设A，B两点对应的参数分别为，t2，则有，，
所以的取值范围为．
【解析】按公式将极坐标转化成直角坐标方程，可以用参数方程，用参数方程中的参数表示成所求的转化．
本题考查极坐标，参数方程，直角坐标方程的相互转化，用参数方程求取值范围，属于中档题．
23.【答案】解，时，或或，
解得：，
所以原不等式的解集为．
，，时，，
，，
当且仅当，时取等．
的最小值为．
【解析】，时，或或，解得：，所以原不等式的解集为．
先用绝对值不等式的性质求出的最小值，然后用基本不等式可得．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．