2020届河南省焦作市高三第一次模拟数学（文）试题（解析版）

2020届河南省焦作市高三第一次模拟数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则 (    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据集合，求得集合，再根据集合的交运算求得结果即可.

【详解】

依题意得，

解得，即，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交运算，属基础题.

2．已知复数满足 (为虚数单位），则复数（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以 ，选B.

3．人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI＝体重÷身高（体重单位为，身高单位为）.其判定标准如下表：

某小学生的身高为，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意中给出的体重计算公式，即可对体重进行估算.

【详解】

题意得，体重＝BMI×身高，因为此人属于超标，所以，

所以此学生的体重范围为，

即，

故选：C.

【点睛】

本题考查实际问题中，函数值域的求解，属基础题.

4．若，满足约束条件，则的最小值为(    )

A．9 B．6.5 C．4 D．3

【答案】D

【解析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得.

【详解】

不等式组所表示的可行域为下图中的，

因为目标函数与直线平行，

故当目标函数对应的直线经过点时，取得最小值3.

故选：D.

【点睛】

本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题.

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据，即可求得答案.

【详解】

.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换求值，解题关键是掌握诱导公式基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

6．某种微生物的繁殖速度与生长环境中的营养物质浓度相关，在一定条件下可用回归模型进行拟合.在这个条件下，要使增加2个单位，则应该(    )

A．使增加1个单位 B．使增加2个单位

C．使增加到原来的2倍 D．使增加到原来的10倍

【答案】D

【解析】根据的增加量，根据题意，进行对数运算，即可求得结果.

【详解】

设的增加量为，的增加量为，

故可得，解得，

故要使得增加2个单位，应增加到原来的10倍.

故选：D.

【点睛】

本题考查回归模拟，本质是考查对数的运算，属综合基础题.

7．已知，且，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，得，即可求得答案.

【详解】

由，

得.

，

，

向量与的夹角为.

故选：C.

【点睛】

本题考查向量数量积，考查运算求解能力以及函数与方程思想,属于基础题.

8．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，是线段上的点，则在原三棱柱中，的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将展开图折成立体图形，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，即可求得结果.

【详解】

将展开图折成立体图形，如下图所示：

然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如下图所示.

因为，，所以，

即的最小值为.

故选：B.

【点睛】

本题考查几何体的还原，以及几何体上距离的最值问题，属综合性基础题.

9．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法正确的个数为(    )

①；②的一个周期为8；③图象的一个对称中心为；④图象的一条对称轴为.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】根据是偶函数，是奇函数，则可得函数周期，根据函数的周期性，即可对每个选项进行逐一分析，从而求得结果.

【详解】

因为是的对称轴，是的对称中心，

所以是周期函数，且8为函数的一个周期，故②正确；

，故①正确；

因为每隔半个周期出现一个对称中心，

所以是函数的对称中心，故③正确；

，所以不是函数的图像的对称轴，故④错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的周期性和对称性，属函数性质综合基础题.

10．将函数图象上所有的点按照向量平移得到函数的图象，若，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出函数的对称轴，根据与最近的对称轴求得点关于该对称轴的对称点，即可计算求得结果.

【详解】

令得图像的对称轴为，

其中距离最近的对称轴为.

点关于直线对称的点为.

要使最小，则.

故选：C.

【点睛】

本题考查由正弦型函数的图像变换，求参数值的问题，属基础题.

11．已知函数，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出函数的图象，设，则.由，，得，，.设函数，，结合函数图像，即可求得答案.

【详解】

函数的图象如下图所示.

设，则.

由，，得，，

.

设函数，，

在上单调递增，

，即，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的性质，解题关键是掌握函数的基础知识，查运算求解能力以及数形结合思想，属于中档题.

12．如图所示，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，若，且的面积为，则的离心率为(    )

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】设，根据面积公式和向量数量积的运算，列出方程组，求得，即可得的等量关系，再转化为离心率即可.

【详解】

设，

由题意可得，，

所以，由，

可得（负值舍去），

又因为，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，涉及向量的数量积运算，三角形的面积公式，正余弦的倍角公式，属综合基础题.

二、填空题

13．已知数列是等差数列，且，则______.

【答案】12

【解析】根据等差中项公式，即可求得答案.

【详解】

是等差数列，

根据等差中项公式

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基础题.

14．曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【解析】求出函数的导函数，解得，再用点斜式即可求得切线的方程.

【详解】

由，

得.

所以.

所以曲线在点处的切线方程为

，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，涉及切线方程的求解，属基础题.

15．已知圆：，直线：与圆交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数______.

【答案】1或

【解析】根据三角形的形状，以及半径长度，即可求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式，即可求得参数.

【详解】

由题意得，圆的半径为2，

因为为等腰直角三角形，

所以圆心到直线的距离，

解得或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查点到直线的距离公式，属基础题.

16．的内角，，的对边分别为，，，已知且，则______.

【答案】（或）

【解析】根据正弦定理将，化简为，结合已知，即可求得答案.

【详解】

由正弦定理可得，

，

是三角形内角，

.

又由得，

，

.

故答案为：（或）.

【点睛】

本题考查根据正弦定理解三角形，解题关键是掌握掌握正弦定理边化角，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

17．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求直线和曲线的普通方程；

（2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.

【答案】（1），；（2），.

【解析】（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；

（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.

【详解】

（1）直线的普通方程为.

在曲线的参数方程中，，

所以曲线的普通方程为.

（2）设点.

点到直线的距离.

当时，，所以点到直线的距离的最小值为.

此时点的坐标为.

【点睛】

本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.

三、解答题

18．某包子店每天早晨会提前做好一定量的包子，以保证当天及时供应，该包子店记录了60天包子的日需求量（单位：个，）.按，，，，分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，图中.

（1）求包子日需求量平均数的估计值（每组以中点值作为代表）；

（2）若包子店想保证至少的天数能够足量供应，则每天至少要做多少个包子？

【答案】（1）775（2）880个

【解析】（1）由图可知，各分组的频率分别为，，，，，即可求得答案；

（2）设包子店每天至少做个包子，求得和，即可求得的范围，即可求得答案.

【详解】

（1）由图可知，各分组的频率分别为，，，，.

包子日需求量平均数的估计值为

.

（2）设包子店每天至少做个包子.

，

，

.

由频率分布直方图可知，

令，

解得.

每天至少要做880个包子.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图以及用样本估计总体的思想，属于基础题.

19．记数列的前项和为，已知，.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）若关于的不等式的解集中有6个正整数，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析（2）

【解析】（1）由，得，即，即可求得答案；

（2）由，得，结合函数，的图像可知，若原不等式的解集中有6个正整数，结合已知，即可求得答案.

【详解】

（1）由，

得，

即，

数列是首项为，公比为的等比数列.

（2）由（1）知数列的通项公式为，

.

当时，，

也符合该式，

.

由，得，

结合函数，的图像可知，

若原不等式的解集中有6个正整数，

则，解得.

实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查数列的递推公式及数列的函数性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.

20．如图，已知四棱锥，平面平面，四边形是菱形，是等边三角形，，.

（1）证明：；

（2）设点在棱上，且，若点到平面的距离为，求的值.

【答案】（1）答案见解析（2）

【解析】（1）要证，只需证平面，即可求得答案；

（2）连接.因为，，可得 .由（1）知，根据平面平面，可得 平面.结合已知，即可求得答案；

【详解】

（1）取的中点，连接，.

，

.

连接.

四边形是菱形，且，

，

.

，

平面，

.

又在菱形中，，

.

（2）连接.

，，

.

由（1）知，

平面平面，

平面.

.

由（1）知，

，

设到平面的距离为，

由，

解得.

根据相似知.

【点睛】

本题考查空间线面的位置关系、等体积法求点到平面的距离，考查空间想象能力以及数形结合思想.

21．设椭圆：的左顶点为，右焦点为，已知.

（1）求椭圆的方程；

（2）抛物线与直线交于，两点，直线与椭圆交于点（异于点），若直线与垂直，求的值.

【答案】（1）；（2）2.

【解析】（1）根据，结合，解方程组即可求得椭圆方程；

（2）根据题意，先求出点的坐标，再写出直线方程，联立椭圆方程，求得点，再根据向量，即可得到的方程，求解即可得到结果.

【详解】

（1）设椭圆的半焦距为，则.

又因为，所以.

解得，.

所以椭圆的方程为.

（2）将代入得，

不妨取，，

由（1）可知，从而直线的方程为.

联立方程组消去得.

设，因为点异于点，由根与系数的关系得，

所以，.

所以，.

因为，所以，

解得.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，以及直线和椭圆相交时，韦达定理的应用，涉及抛物线的方程，属综合中档题.

22．已知函数，其中.

（1）若，求的单调区间；

（2）设的最小值为，求的最大值.

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.（2）最大值为.

【解析】（1）若，则，定义域为..令，则在上单调递增，且，即可求得答案；

（2），.令，则在上单调递增.

，，由存在，使得，即，结合已知，即可求得答案.

【详解】

（1）若，则，定义域为.

.

令，则在上单调递增，且，

在上，，即；

在上，，即.

的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2），.

令，则在上单调递增.

，，

存在，使得，即.

在上，，即；

在上，，即.

在上单调递减，在上单调递增，

，

令，则.

，

，又，

在上，，在上，.

在上单调递增，在上单调递减.

的最大值为，

的最大值为.

【点睛】

本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

23．已知，，为正数，且，证明：

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）利用均值不等式即可求证；

（2）利用，结合，即可证明.

【详解】

（1）∵，同理有，，

∴.

（2）∵，∴.

同理有，.

∴

.

【点睛】

本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及的妙用，属综合性中档题.