2020届吉林省高三第二次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届吉林省高三第二次模拟数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.

【详解】

由，

所以，

故选：B.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.

2．复数（为虚数单位），则等于（    ）

A．3 B．

C．2 D．

【答案】D

【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.

【详解】

，

所以，，

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.

3．已知，若，则等于（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.

【详解】

由题可知，

因为，所以有，得，

故选：C.

【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

4．设，，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.

【详解】

，，

，，

，，，

，

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.

5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】A

【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果.

【详解】

程序运行过程如下：

，；，；，；

，；，；

，；，，退出循环，输出结果为，

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.

6．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.

【详解】

双曲线与互为共轭双曲线，

四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，

四个顶点形成的四边形的面积，

四个焦点连线形成的四边形的面积，

所以，

当取得最大值时有，，离心率，

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.

7．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】D

【解析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件，求得，从而求得，解不等式求得结果.

【详解】

由题意，本题符合几何概型，区间长度为6，

使得成立的的范围为，区间长度为2，

故使得成立的概率为，

又，，，

令，则有，故的最小值为11，

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.

8．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.

【详解】

由于为上的减函数，则有，可得，

所以当最小时，，

函数恰有两个零点等价于方程有两个实根，

等价于函数与的图像有两个交点．

画出函数的简图如下，而函数恒过定点，

数形结合可得的取值范围为．

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。

【详解】

设半圆柱体体积为，半球体体积为，由题得几何体体积为

，故选A。

【点睛】

本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。

10．函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值.

【详解】

由于，函数最高点与最低点的高度差为，

所以函数的半个周期，所以，

又，，则有，可得，

所以，

将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数，

所以的最小值为1，

故选：B.

【点睛】

该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.

11．等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，，，现将沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设E为BD中点，连接AE、CE，过A作于点O，连接DO，得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到即为直线AC与平面ABD所成角，进而求得其正弦值，得到结果.

【详解】

设E为BD中点，连接AE、CE，

由题可知，，所以平面，

过A作于点O，连接DO，则平面，

所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，

所以，可得，

在中可得，

又，即点O与点C重合，此时有平面，

过C作与点F，

又，所以，所以平面，

从而角即为直线AC与平面ABD所成角，，

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.

12．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.

【详解】

，令，得，．

其单调性及极值情况如下：

若存在，使得，

则（如图1）或（如图2）．

（图1）

（图2）

于是可得，

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.

二、填空题

13．展开式中的系数的和大于8而小于32，则______．

【答案】4

【解析】由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果.

【详解】

观察式子可知

，，

故答案为：4.

【点睛】

该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目.

14．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．

【答案】

【解析】利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.

【详解】

因为，所以，

因为是等比数列，所以数列的公比为2．

又，

所以当时，有．

这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.

15．实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值为，确定出的值，进而确定出C点坐标，结合目标函数几何意义，从而求得结果.

【详解】

先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，

由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，

此时直线为，

作出直线，交于A点，

由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点，

由，得，代入，得，

所以点C的坐标为．

等价于点与原点连线的斜率，

所以当点为点C时，取得最小值，最小值为，

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目.

16．已知是抛物线上一点，是圆关于直线对称的曲线上任意一点，则的最小值为________．

【答案】

【解析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到的最小值.

【详解】

假设圆心关于直线对称的点为，

则有，解方程组可得，

所以曲线的方程为，圆心为，

设，则，

又，所以，

，即，所以，

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目.

三、解答题

17．已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且．

（1）求角A的值；

（2）若，设角，周长为y，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）利用正弦定理，结合题中条件，可以得到，之后应用余弦定理即可求得；

（2）利用正弦定理求得，求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可.

【详解】

（1）由已知可得，

结合正弦定理可得，∴，

又，∴．

（2）由，及正弦定理得，

∴，，

故，即，

由，得，∴当，即时，．

【点睛】

该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理，属于简单题目.

18．如图，已知三棱柱中，是全等的等边三角形.

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）取BC的中点O，则，由是等边三角形，得，从而得到平面，由此能证明

（2）以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.

【详解】

（1）取BC的中点O，连接，，

由于与是等边三角形，所以有，，

且，

所以平面，平面，所以．

（2）设，是全等的等边三角形，

所以，

又，由余弦定理可得，

在中，有，

所以以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，

设平面的一个法向量为，则，

令，则，

又平面的一个法向量为，

所以二面角的余弦值为．

【点睛】

该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.

19．移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：

（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？

（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望．

（参考公式：（其中）

【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望为．

【解析】（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关．

（2）首先确定的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望.

【详解】

（1）根据题意及列联表可得完整的列联表如下：

根据公式可得，

所以在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关．

（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，

所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为，

则的可能为1，2，3，且

，，，

其分布列为

．

【点睛】

独立性检验依据的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目.

20．已知椭圆的离心率为，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）根据椭圆的离心率为，得到，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到，从而求得，进而求得椭圆的方程；

（2）分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果.

【详解】

（1）由离心率为，可得，

，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为，

因与直线相切，则有，即，，，

故而椭圆方程为．

（2）①当直线l的斜率不存在时，，，

由于；

②当直线l的斜率为0时，，，

则；

③当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，

由及，

得，有，∴，，

，，

∴，

综上所述：．

【点睛】

该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目.

21．已知函数．

（1）若曲线在处的切线为，试求实数，的值；

（2）当时，若有两个极值点，，且，，若不等式恒成立，试求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）根据题意，求得的值，根据切点在切线上以及斜率等于，构造方程组求得的值；

（2）函数有两个极值点，等价于方程的两个正根，，不等式恒成立，等价于恒成立，，令，求出导数，判断单调性，即可得到的范围，即的范围.

【详解】

（1）由题可知，，，联立可得．

（2）当时，，，

有两个极值点，，且，，是方程的两个正根，，，

不等式恒成立，即恒成立，

，

由，，得，，

令，，

在上是减函数，，故．

【点睛】

该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数的极值点的个数，构造新函数，应用导数研究函数的值域得到参数的取值范围，属于较难题目.

22．过点作倾斜角为的直线与曲线（为参数）相交于M、N两点．

（1）写出曲线C的一般方程；

（2）求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）将曲线的参数方程消参得到普通方程；

（2）写出直线MN的参数方程，将参数方程代入曲线方程，并将其化为一个关于的一元二次方程，根据，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出的最小值.

【详解】

（1）由曲线C的参数方程（是参数），

可得，即曲线C的一般方程为．

（2）直线MN的参数方程为（t为参数），

将直线MN的参数方程代入曲线，

得，整理得，

设M，N对应的对数分别为，，则，

当时，取得最小值为．

【点睛】

该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目.

23．已知函数．

（1）解不等式；

（2）若函数存在零点，求的求值范围．

【答案】（1）或 ；（2）．

【解析】（1）通过讨论的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；

（2）将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果.

【详解】

（1）有题不等式可化为，

当时，原不等式可化为，解得；

当时，原不等式可化为，解得，不满足，舍去；

当时，原不等式可化为，解得，

所以不等式的解集为．

（2）因为，

所以若函数存在零点则可转化为函数与的图像存在交点，

函数在上单调增，在上单调递减，且.

数形结合可知．

【点睛】

该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目.