2020届湖南省衡阳市雁峰区第八中学高三模拟检测数学（文）试题（解析版）

2020届湖南省衡阳市雁峰区第八中学高三模拟检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（  ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】化简集合Q,根据集合的并集运算即可.

【详解】

由题意得，，，

∴，故选D.

【点睛】

本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.

2．设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．

【详解】

∵ ，

∴ ，

∴，

∴复数的虚部为．

故选C．

【点睛】

本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．

3．已知，，，则a，b，c满足

A.a<b<c B.b<a<c

C.c<a<b D.c<b<a

【答案】B

【解析】根据对数的运算性质，化简得，，进而得，又由，即可得到答案.

【详解】

由题意，可得，，

又由为单调递增函数，且，所以，

所以，

又由 ，所以，故选B.

【点睛】

本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中合理应用对数函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4．函数的图象大致为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.

【详解】

函数是偶函数，排除选项；

当时，函数 ，可得，

当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.

【点睛】

函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象

5．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（  ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】根据实验结果的古典概型概率，可知军旗面积与圆形金币面积的比值，即几何概型的概率，从而求解.

【详解】

利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率，

设军旗的面积为，由题意可得：

，∴.

本题选择B选项.

【点睛】

本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题.

6．设函数的最小正周期为，且   ，则 (     )

A．在上单调递减 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递增

【答案】A

【解析】先利用辅助角公式将函数的解析式化为，然后根据题中条件求出与的值，得出函数的解析式，然后分别就与讨论，并求出的范围，结合余弦函数的单调性得出答案。

【详解】

由于，

由于该函数的最小正周期为，得出，

又根据，以及，得出．

因此，，

若，则，从而在单调递减，

若，则，该区间不为余弦函数的单调区间，

故都错，正确．故选：A。

【点睛】

三角函数问题，一般都是化函数为形式，然后把作为一个整体利用正弦函数的性质来求求解．掌握三角函数公式（如两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角关系，诱导公式等）是我们正确解题的基础。

7．等边三角形的边长为，，，，那么等于(   )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】根据数量积定义分别计算每个数量积的结果，加和得到最终结果.

【详解】

本题正确选项：

【点睛】

本题考查向量数量积的运算，易错点是错误理解向量夹角的定义，造成夹角求解错误.

8．某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是全等的直角三角形，俯视图为圆心角为的扇形，则该几何体的体积是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三视图可知：该几何体为圆锥的四分之一，

∴，

故选：B

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

9．设点在的内部，且有，则的面积和的面积之比为（　）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】根据 ，变形得∴ ，利用向量加法的平行四边形法则可得2=﹣4 ，从而确定点O的位置，进而求得△ABC 的面积与△AOC 的面积的比．

【详解】

分别取AC、BC的中点D、E，∵，

∴，即2=﹣4    ∴O是DE的一个三等分点，

∴=3，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是向量在三角形中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．

10．过抛物线上两点分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点，则直线的方程为（    ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】设出的坐标，根据导数的几何意义求得切线的方程，利用两切线垂直且交于可得抛物线方程，然后设出直线与抛物线联立可求得直线的方程．

【详解】

解：由，得，∴．

设，则，

抛物线在点处的切线方程为，

点处的切线方程为，

由，解得，

又两切线交于点，∴，

故得 （）．

∵过两点的切线垂直，∴，

故，∴，故得抛物线的方程为．

由题意得直线的斜率存在，可设直线方程为，

由消去整理得，

∴ （），

由（）和（）可得且，

∴直线的方程为．

故选：D．

【点睛】

本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，用导数求曲线的切线方程，属中档题．

11．已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（   ）

A． B． C．49 D．

【答案】B

【解析】先求得的通项公式，化简的表达式，利用裂项求和法求得，由此求得的最小值.

【详解】

当时，，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故 ，

由于是单调递增数列，，.

故的最小值为，故选B.

【点睛】

本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题.

12．已知函数（，）在区间内有唯一零点，则的取值范围为（  ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由函数在区间内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性可得或化简可得关于的约束条件，利用线性规划求解即可.

【详解】

，当时，，

当时，令，则，所以函数在上单调递减，

由函数在区间内有唯一零点，

得,即       

即

或,即,又，，

所以 （1）或 （2）

所以，满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示，

则表示点（，）与点（－1，－2）所在直线的斜率，

综上可得的最小值在点处取得，根据得A点坐标满足，所以最小值为，故选A.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数零点，线性规划，属于难题.

二、填空题

13．执行下面的程序框图，若，则输出的值为______.

【答案】5

【解析】根据框图，逐次循环即可求出答案.

【详解】

循环依次为，；

，；

，；

，；

结束循环，输出.

【点睛】

本题主要考查了框图，属于中档题.

14．锐角三角形ABC中，，，则面积的取值范围为______.

【答案】

【解析】由正弦定理可求出，代入三角形面积公式化简得,根据可求出其范围.

【详解】

∵，，可得：∴，

，

∴

∵，可得：，∴，

可得：

则面积的取值范围为

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，正弦型函数的值域，属于中档题.

15．四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_____．

【答案】

【解析】

如图所示，四棱锥中，可得：平面平面平面，过作于，则平面，故，在中，，设，则有，,又，则，四棱锥的体积取值范围为.

16．已知为双曲线（，）右支上的任意一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一、四象限，为坐标原点，当时，的面积为，则双曲线的实轴长为______.

【答案】

【解析】设，，，利用向量的坐标运算可得P点坐标，代入双曲线方程及A,B在渐近线上，化简可得，利用，可求出，代入三角形面积公式化简即可求解.

【详解】

设，，，由，

得，则，，

所以.

易知点在直线上，点在直线上，

则，，所以，

化简可得.

由渐近线的对称性可得：

所以的面积为

，得，

所以双曲线的实轴长为.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，向量运算，三角形面积公式，考查了推理及运算能力，属于难题.

三、解答题

17．已知数列的前项和为，．

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）利用项和公式和累加法求的通项公式.(2)先求出，再利用放缩法得当时，，再证明.

【详解】

（1）当时，，解得；

当时，，解得．

当时，，，

以上两式相减，得，

∴，

∴，

∴

（2）

当时，，

∴

【点睛】

(1)本题主要考查数列通项的求法，考查利用放缩法证明不等式，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是放缩当时，.

18．如图，在三棱锥中，，，，，，且在平面上的射影在线段上．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设二面角为，求的余弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理进行论证；因为在平面上的射影在线段上，所以，又根据勾股定理可得，因此（Ⅱ）求二面角，一般方法为利用空间向量，即先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，再根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量之间相等或互补的关系求二面角

试题解析：（Ⅰ）证明：，，，

，

，．

（Ⅱ）解：（法一）作垂足为，连接，

则为二面角的平面角．

在中，，，，

，，，

在中，，，

，

，又，，又，，

．

（法二）在中，，，，

，，，

在中，，，

又，，又，，

如图建立直角坐标系，

，，，，

平面的法向量为，

平面的法向量为，

．

【考点】线面垂直性质定理，利用空间向量求二面角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．

19．2018 年1月16日，由新华网和中国财经领袖联盟联合主办的2017中国财经年度人物评选结果揭晓，某知名网站财经频道为了解公众对这些年度人物是否了解，利用网络平台进行了调查，并从参与调查者中随机选出人，把这人分为 两类（类表示对这些年度人物比较了解，类表示对这些年度人物不太了解），并制成如下表格：

（1）若按照年龄段进行分层抽样，从这人中选出人进行访谈，并从这人中随机选出两名幸运者给予奖励.求其中一名幸运者的年龄在岁～岁之间，另一名幸运者的年龄在岁～岁之间的概率；(注：从人中随机选出人,共有种不同选法)

（2）如果把年龄在 岁～岁之间的人称为青少年，年龄在岁～岁之间的人称为中老年，则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为青少年与中老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异？

参考数据：

，其中

【答案】(1).

(2)在犯错误的概率不超过的前提下认为青少年与老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异.

【解析】试题分析：（1）由题意得，从这人中随机选取人，结果有种，两名幸运者中，其中一名幸运者的年龄在岁～岁之间，另一名幸运者的年龄在岁～岁之间的结果有12种，进而得到；（2）根据公式得到的观测值，进而做出判断.

详解：

（1）按照年龄段进行分层抽样，从这人中选出人，则年龄在岁～岁之间的有人，年龄在岁～岁之间的有人，记作，年龄在岁～岁之间的有人，记作，年龄岁～岁在之间的有人.

由题意得，从这人中随机选取人，结果有种，两名幸运者中，其中一名幸运者的年龄在岁～岁之间，另一名幸运者的年龄在岁～岁之间的结果有：

，共种.

故所求的概率为

（2）青少年中类的人数为，则类的人数为

中老年中类的人数为，则类的人数为

列出列联表如下：

计算得的观测值

所以在犯错误的概率不超过的前提下认为青少年与老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异.

点睛：这个题目考查了分层抽样的概念，古典概型的公式，以及的应用；对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.

20．如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在之间移动.

（1）当取最小值时，求和的方程；

（2）若的边长恰好是三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程．

【答案】（1）（2）的面积最大值为．此时．

【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可得，故可得，故而可求得和的方程；（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，联立抛物线与椭圆的方程可得，得代入抛物线方程得，可得，可得直线与抛物线的方程，联立得，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值.

试题解析：（1）因为，则，所以取最小值时，

此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为；

（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，

由得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，

于是，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以．此时抛物线方程为，，则直线的方程为．联立，得或（舍去），于是．所以，

设到直线的距离为，则，当时，，所以的面积最大值为．此时．

21．已知函数.

（1）当时，

①求曲线在点处的切线方程；

②求函数在区间上的值域.

（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）①②；（2）.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得函数的解析式，

①利用导数研究切线方程可得曲线在点处的切线方程为.

②利用导函数研究函数的单调性可得在区间上的值域为.

(2)原问题等价于.构造函数，分类讨论可得实数的取值范围是.

试题解析：

（1）当时，，

①，由，，

则曲线在点处的切线方程为，整理为：.

②令，有，

当时，，

当时，得，解得：，

故当时，，可得，函数在区间上单调递减，

， ，

故函数在区间上的值域为.

（2）由，有，故可化为.

整理得：.

即函数在区间为增函数，

，

，故当时，，即，

①当时，；

②当时，整理为：，

令，有 ，

当，，，有，

当时，函数单调递减，故，

故有：，可得.

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度  从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，，均异于原点，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据曲线的参数方程，消去参数，即可得到的普通方程；由两边同时乘以，即可得到，进而可得的直角坐标方程；

(2)根据的直角坐标方程先得到其极坐标方程，将分别代入和的极坐标方程，求出和，再由，即可求出结果.

【详解】

（1）由消去参数，得的普通方程为.

由，得，又，，

所以的直角坐标方程为.

（2）由（1）知曲线的普通方程为，

所以其极坐标方程为.

设点，的极坐标分别为，，

则，，

所以，

所以，即，

解得，

又，所以.

【点睛】

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.

23．已知．

（1）在时，解不等式；

（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或

【解析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先根据绝对值三角不等式化为恒成立，或恒成立，再根据恒成立含义得实数的取值.

【详解】

（1）在时，.

在时，，∴；

在时，，，∴无解；

在时，，，∴.

综上可知：不等式的解集为.

（2）∵恒成立，

而，

或，

故只需恒成立，或恒成立，

∴或.

∴的取值为或.

【点睛】

含绝对值不等式的解法

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.