2020届山西省大同四中联盟体高三3月模拟考试数学（文）试题
展开大同四中联盟校2019—2020学年第二学期
高三年级高考模拟试题
文科数学
命题人： 审题人：
本试卷共6 页 满分：150分 考试用时：120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知圆，直线，若圆上总存在到直线的距离为的点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，天共织布尺，
则该女子织布每天增加（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
5．已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
6．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的
半径为，则制作该手工表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
8．从某中学抽取名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间，频率
分布直方图如图所示，则对这名学生的阅读量判断正确的为（ ）
A．的值为 B．平均数约为
C．中位数大约为 D．众数约为
9．已知椭圆左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则取得最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的图象在处的切线与直线垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中的值可以为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数为上的奇函数，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设，满足约束条件，若目标函数的最大值与最小值分别为，，则 ．
14．，，，的夹角为，则与的夹角为 ．
15．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
16．已知点到直线的最大距离为，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在正项等比数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
18．（12分）新高考最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生，女生各人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多人．
（1）请完成下面的列联表；
（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；
（3）现从这名学生中已经选取了男生名，女生名进行座谈，从中抽取名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．
附：，其中．
19．（12分）如图，已知四棱锥中，平面，为等边三角形，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
20．（12分）已知抛物线，其焦点为，直线过点与交于、两点，当的斜率为时，．
（1）求的值；
（2）在轴上是否存在一点满足（点为坐标原点）？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数，．
（1）设函数，若是函数的唯一极值点，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个零点，，证明：．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程；
（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．
【选修4-5：不等式选讲】
23．（10分）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围．
大同四中联盟校2019—2020学年第二学期
高三年级高考模拟试题
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 【答案】A
2． 【答案】A
3． 【答案】B
4． 【答案】B
5． 【答案】B
6． 【答案】D
7． 【答案】D
8．【答案】C
9． 【答案】C
10． 【答案】C
11． 【答案】B
12． 【答案】C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
14． 【答案】
15．【答案】
16．【答案】或
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在正项等比数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）设公比为，则由题意可知：，
又，所以，所以=．
（2），∴
．
18．（12分）新高考最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生，女生各人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多人．
（1）请完成下面的列联表；
（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；
（3）现从这名学生中已经选取了男生名，女生名进行座谈，从中抽取名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．
附：，其中．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）依题意可得列联表：
（2），
∴的把握认为选择全理与性别有关．
（3）设名男生分别为，，，两名女生分别为，．
从名学生中抽取名所有的可能为，，，共种，
不包含女生的基本事件有，共种，故所求概率．
19．（12分）如图，已知四棱锥中，平面，为等边三角形，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）∵平面，平面，∴，
∵，是的中点，∴，
又，∴平面．
（2）∵，平面，∴平面，
∴，∴．
同理在中，，在梯形中，易得．
所以等腰底边上的高为，所以，
又，∵，平面，∴平面，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离，
∵，∴．
设点到平面的距离为，则由，得，
所以．
∵点为的中点，∴点到平面的距离为．
20．（12分）已知抛物线，其焦点为，直线过点与交于、两点，当的斜率为时，．
（1）求的值；
（2）在轴上是否存在一点满足（点为坐标原点）？若存在，求点的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1），当直线的斜率为时，其方程为，
设，，由，得，
把代入抛物线方程得，
所以，所以，所以．
（2）由（1）可知，抛物线，，由题意可知，直线的斜率存在，
设其方程为，将其代入抛物线方程为，
则，，
假设在轴上存在一点满足，
则，即，即，
所以，即，
由于，所以，即，即在轴上存在点满足．
21．（12分）已知函数，．
（1）设函数，若是函数的唯一极值点，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个零点，，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】由，可得，
∵函数有唯一极值点，∴，即恒成立，
设，则，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
所以，所以，即实数的取值范围是．
（2），∵，是函数的两个零点，
∴，，∴，
∴．
要证，即证．
设，则等价于，
即证，
令，且，即证，则，
则,令，则，
故在上单调递增，故，
所以函数在上单调递增，所以．
即对任意恒成立，所以．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程；
（2）已知，直线与曲线交于，两点，求的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）∵，∴，
∴，即．
（2）将直线的参数方程（为参数）代入的普通方程，得，则，，
所以，
所以，即的最大值为．
【选修4-5：不等式选讲】
23．（10分）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）当时，原不等式可化为，无解；
当时，原不等式可化为，从而；
当时，原不等式可化为，从而．
综上，原不等式的解集为．
（2）由得，又，
所以，即，解得，所以的取值范围为．
