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    2020届山东省章丘市第四中学高三3月模拟考试数学试题(解析版)

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    2020届山东省章丘市第四中学高三3月模拟考试数学试题

     

     

    一、单选题

    1.若集合,则集合中的元素个数为(  

    A9 B6 C4 D3

    【答案】D

    【解析】的数对共9对,其中满足,所以集合中的元素个数共3个.

    2.若复数是虚数单位,)是纯虚数,则复数的模等于(  

    A1 B2 C3 D4

    【答案】C

    【解析】,因为是纯虚数,所以 ,那么 ,所以模等于3,故选C.

    3.已知,则(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】利用指数函数、对数函数的单调性,将abc分别与10比较,得到结论.

    【详解】

    因为

    所以

    故选:C

    【点睛】

    本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用,还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力,属于基础题.

    4.已知函数为自然对数的底数),当时,的图象大致是(   

     

    A  B  C  D

    【答案】B

    【解析】由题意可得为函数,排除,显然存在使得,所以上单调递增,在上单调递减。所以选B.

    【点睛】

    对于函数图像选择题,一般从四个选项的差异性入手讨论函数的性质,从整体性质到局部性质,如本题先利用图像对称性,考虑奇偶性。再利用图像的单调性变化,从而讨论导数。

    5.已知,且,则的最小值为(  

    A4 B C D

    【答案】A

    【解析】,可知,所以

    ,当且仅当 时等号成立.故选A

    6.将函数(其中)的图象向右平移个单位,若所得图象与原图象重合,则不可能等于(  

    A0 B C D

    【答案】D

    【解析】由题意,所以,因此,从而,可知不可能等于

    7.设是双曲线的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点,使为坐标原点),且,则双曲线的离心率为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】的中点,利用,可得,从而可得,利用双曲线的定义及勾股定理,可得结论.

    【详解】

    的中点,则.

    的中点,

    .

    故选:D

    【点睛】

    本题考查了双曲线的离心率,确定是解题的关键,意在考查学生的计算能力和转化能力。

    8.已知不等式对一切都成立,则的最小值是(   

    A B C D1

    【答案】A

    【解析】,求出导数,分类讨论,进而得到,可得,通过导数求出单调区间和极值、最值,进而得到的最小值.

    【详解】

    ,则

    ,则恒成立,时函数递增,无最值.

    ,由

    时,,函数递增;当时,,函数递减.

    处取得极大值,也为最大值

    上,上,

    时,的最小值为

    故选:A

    【点睛】

    本题考查了利用导数解决恒成立问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.

     

    二、多选题

    9.下列关于平面向量的说法中不正确的是(  

    A已知均为非零向量,则存在唯-的实数,使得

    B若向量共线,则点必在同一直线上

    C,则

    D若点的重心,则

    【答案】BC

    【解析】利用向量共线的概念即可判断A正确,B错误;利用向量垂直的数量积关系即可判断C错误,利用三角形重心的结论即可判断D正确,问题得解.

    【详解】

    对于选项A,由平面向量平行的推论可得其正确;

    对于选项B,向量共线,只需两向量方向相同或相反即可,点不必在同一直线上,故B错误;

    对于选项C,则,不一定推出,故C错误;

    对于选项D,由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.

    故选BC

    【点睛】

    本题主要考查了平面向量共线(平行)的定义,考查了平行向量垂直的数量积关系,还考查了平面向量中三角形重心的推论,属于中档题.

    10.对于二项式,以下判断正确的有(   

    A存在,展开式中有常数项;

    B对任意,展开式中没有常数项;

    C对任意,展开式中没有的一次项;

    D存在,展开式中有的一次项.

    【答案】AD

    【解析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析,得到答案。

    【详解】

    设二项式展开式的通项公式为

    不妨令,则时,展开式中有常数项,故答案A正确,答案B错误;

    ,则时,展开式中有的一次项,故C答案错误,D答案正确。

    故答案选AD

    【点睛】

    本题考查二项式定理,关键在于合理利用通项公式进行综合分析,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题。

    11.已知椭圆的左,右焦点是是椭圆上一点,若,则椭圆的离心率可以是(  

    A B C D

    【答案】BCD

    【解析】由椭圆的定义和题设条件, 求得,再在中,结合三角形的性质,得到,求得离心率的范围,即可求解.

    【详解】

    由椭圆的定义,可得,又由, 解得

    又由在中,,可得,所以

    即椭圆的离心率的取值范围是.

    故选:

    【点睛】

    本题主要考查了椭圆的离心率的求解,其中解答中熟练椭圆的离心率的概念,合理应用椭圆的定义和三角形的性质,得到关于的不等式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.

    12.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则下列命题正确的是(   

    A.当时,

    B.函数3个零点

    C的解集为

    D,都有

    【答案】BCD

    【解析】,则,则由题意得,根据奇函数即可求出解析式,即可判断A选项,再根据解析式分类讨论即可判断BC两个选项,对函数求导,得单调性,从而求出值域,进而判断D选项.

    【详解】

    解:(1)当时,,则由题意得

    函数是奇函数,

    ,且时,A错;

    2)当时,由

    时,由

    函数3个零点B对;

    3)当时,由

    时,由

    的解集为C对;

    4)当时,由

    ,由

    函数上单调递减,在上单调递增,

    函数在上有最小值,且

    时,,函数在上只有一个零点,

    时,函数的值域为

    由奇函数的图象关于原点对称得函数的值域为

    ,都有D对;

    故选:BCD

    【点睛】

    本题主要考查奇函数的性质,考查已知奇函数一区间上的解析式,求其对称区间上解析式的方法,考查函数零点的定义及求法,以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法,属于较难题.

     

     

    三、填空题

    13.若的展开式中第项为常数项,则______.

    【答案】

    【解析】由题意利用二项展开式的通项公式,求得,从而得到 的值.

    【详解】

    解:的展开式中第项为
    ,再根据它为常数项,
    可得,求得
    故答案为:.

    【点睛】

    本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.

    14.设是数列的前项和,且,则__________

    【答案】

    【解析】化简,即是等比数列,然后求出的值

    【详解】

    是首项为1,公比为2的等比数列,则.

    【点睛】

    本题考查了求数列的前项的和,结合条件进行化简,构造出新的数列是等比数列,然后求出等比数列的通项公式,继而求出结果

    15.若双曲线的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍,则双曲线的离心率为_______,如果双曲线上存在一点到双曲线的左右焦点的距离之差为4,则双曲线的虚轴长为______

    【答案】2       

    【解析】由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍,可知双曲线渐近线的倾斜角为,即,所以,因为,从而.所以虚轴长为.

    16.在中,为钝角,,函数的最小值为,则的最小值为__________

    【答案】

    【解析】中,为钝角,,函数的最小值为.利用数量积的性质可得,进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出.

    【详解】

    中,为钝角,,函数的最小值为

    函数

    ,化为恒成立.

    当且仅当时等号成立,

    ,当且仅当时,取得最小值的最小值为

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查了向量模的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力,确定是解题的关键.

     

    四、解答题

    17.已知

    1)求函数的单调递增区间;

    2)设△ABC的内角A满足,而,求边BC的最小值.

    【答案】1;2

    【解析】试题分析:利用和差角及二倍角公式对函数化简可得

    1)令,解不等式可得答案;(2)由

    0Aπ可得,利用向量数量积的定义可得,bc=2,利用余弦定理可得可得又△ABC,从而可求

    试题解析:(1=

    故所求单调递增区间为

    2)由

    ,即∴bc=2

    △ABC中, =

    18.已知数列的前项和为),数列满足:,且.

    )求数列的通项公式;

    )求证:数列为等比数列;

    )求数列的前项和的最小值.

    【答案】12)见解析(3

    【解析】试题分析:1)由,所以。(2

    所以)且。所以得证。(3

    )得所以 ,所以是递增数列

    和最小,即所有的负数项的和,只需求到

    试题解析:()由

    则数列为以为公差的等差数列

    因此

    )证明:因为

    所以

    所以

    因为

    所以数列是以为首项,为公比的等比数列.

    )由()得

    所以

    所以是递增数列.

    因为当时,,当时,

    时,

    所以数列从第3项起的各项均大于0,故数列的前2项之和最小.

    记数列的前项和为,则 .

    19.如图,在三棱锥中,底面分别是的中点,,且.

    1)求证:平面

    2)在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;

    若不存在,请说明理由.

    【答案】1)证明见解析;(2)存在.

    【解析】【详解】试题分析:1)通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可;
    2)建立空间直角坐标系,由,所以,求得平面的法向量为,平面的法向量为,由二面角的大小为,得,化简得,又,求得.

    试题解析:

    1)由

    的中点,得

    因为底面,所以

    中,,所以

    因此,又因为

    所以

    ,即,因为底面

    所以,又,

    ,所以平面.

    (2)假设满足条件的点,存在,

    并设,以为坐标原点,分别以轴建立空间之间坐标系

    ,所以,所以

    设平面的法向量为

    ,取,得

    ,设平面的法向量为

    ,取,得

    由二面角的大小为,得

    化简得,又,求得,于是满足条件的点存在,且.

    点睛:本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明,考查空间想象能力,利用空间向量法求解空间角,注意计算的准确性.

    20.已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆经过点,且PF1F2的面积为2

    1)求椭圆的标准方程;

    2)设斜率为1的直线与以原点为圆心,半径为的圆交于AB两点,与椭圆C交于CD两点,且),当取得最小值时,求直线的方程.

    【答案】(1) (2).

    【解析】1)根据的面积求得的值,再利用椭圆过点,求得的值,从而求得椭圆的方程;

    2)设直线的方程为,由直线和圆、椭圆都相交,求得,再利用弦长公式分别计算,从而建立的函数关系式,当取得最小值时,可求得的值,从而得到直线的方程.

    【详解】

    解:(1)由的面积可得,即

    又椭圆过点

    ①②解得,故椭圆的标准方程为.

    2)设直线的方程为,则原点到直线的距离

    由弦长公式可得

    代入椭圆方程,得

    由判别式,解得

    由直线和圆相交的条件可得,即,也即

    ,则

    由弦长公式,得

    ,得

    ,则当时,取得最小值

    此时直线的方程为

    【点睛】

    本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用,求解时要注意坐标法思想的运用,即如何利用坐标将建立联系,从而使问题得到解决.

    21.某公司即将推车一款新型智能手机,为了更好地对产品进行宣传,需预估市民购买该款手机是否与年龄有关,现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查,若得分低于60分,说明购买意愿弱;若得分不低于60分,说明购买意愿强,调查结果用茎叶图表示如图所示.

    1)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关?

     

    购买意愿强

    购买意愿弱

    合计

    20-40

     

     

     

    大于40

     

     

     

    合计

     

     

     

     

    2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样,共抽取5人,从这5人中随机抽取2人进行采访,记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为,求的分布列和数学期望.

    附:

    0.100

    0.050

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    10.828

     

    【答案】1)列联表见解析;没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关. (2)分布列见解析;

    【解析】1)由茎叶图能完成列联表,由列联表求出,从而得到没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关.

    2)购买意愿弱的市民共有20人,抽样比例为,所以年龄在2040岁的抽取了2人,年龄大于40岁的抽取了3人,则的可能取值为012,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.

    【详解】

    1)由茎叶图可得:

     

    购买意愿强

    购买意愿弱

    合计

    2040

    20

    8

    28

    大于40

    10

    12

    22

    合计

    30

    20

    50

     

     

    由列联表可得:

    所以没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关.

    2)购买意愿弱的市民共有20人,抽样比例为,所以年龄在2040岁的抽取了2人,年龄大于40岁的抽取了3人,则的可能取值为012

    所以分布列为:

    0

    1

    2

     

     

    数学期望为

    【点睛】

    本题考查了独立性检验,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.

    22.设函数,其中为正实数.

    (1)若不等式恒成立,求实数的取值范围;

    (2)时,证明.

    【答案】12)见解析

    【解析】(1)讨论研究函数的单调性,求出函数上的最大值.要不等式恒成立,只需最大值小于零,即可求出.

    (2)将原不等式等价变形为,由(1)可知,试证时恒成立,即可由不等式性质证出

    【详解】

    1)由题意得

    ,则

    时,即时,

    所以函数上单调递增,,满足题意;

    时,即时,则的图象的对称轴

    因为

    所以上存在唯一实根,设为,则当时,

     

    时,

    所以上单调递增,在上单调递减,

    此时,不合题意.

    综上可得,实数的取值范围是

    2等价于

    因为,所以,所以原不等式等价于

    (1)知当时,上恒成立,整理得

    ,则

    所以函数在区间上单调递增,

    所以,即上恒成立.

    所以,当时,恒有

    【点睛】

    本题主要考查利用导数解决函数不等式恒成立问题,涉及分类讨论思想,转化思想的应用,意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力,属于较难题.

     

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