2020届四川省成都市高三第一次诊断考试 数学（理）
展开2020届四川省成都市高三第一次诊断考试
数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分。第I卷(选择题)1至2页，第II卷(非选择题)3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z1与z2＝－3－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝
(A)－3－i (B)－3＋i (C)3＋i (D)3－i
2.已知集合A＝{－l，0，m}，B＝{l，2}。若A∪B＝{－l，0，1，2}，则实数m的值为
(A)－l或0 (B)0或1 (C)－l或2 (D)l或2
3.若，则tan2θ＝
(A) (B) (C) (D)
4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图。则这100名同学的得分的中位数为
(A)72.5 (B)75 (C)77.5 (D)80
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0，若a5＝3a3，则
(A) (B) (C) (D)
6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是
(A)若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n (B)若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥n
(C)若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n (D)若m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n
7.的展开式的常数项为
(A)25 (B)－25 (C)5 (D)－5
8.将函数y＝sin(4x－)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为
(A)f(x)＝sin(2x＋) (B)f(x)＝sin(2x－)
(C)f(x)＝sin(8x＋) (D)f(x)＝sin(8x－)
9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点。若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为
(A)3 (B) (C)5 (D)
10.已知，则
(A)a>b>c (B)a>c>b (C)b>a>c (D)b>c>a
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，当x≤2时，f(x)＝(x－1)ex－1。若关于x的方程f(x)－kx＋2k－e＋1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
(A)(－2，0)∪(2，＋∞) (B)(－2，0)∪(0，2)
(C)(－e，0)∪(e，＋∞) (D)(－e，0)∪(0，e)
12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x。现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，CA折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P－ABC。现有以下结论：
①AP⊥平面PBC；
②当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为6π；
③x的取值范围为(0，4－2)；
④三棱锥P－ABC体积的最大值为。
则正确的结论的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。
13.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x＋2y的最大值为 。
14.设正项等比数列{an}满足a4＝81，a2＋a3＝36，则an＝ 。
15.已知平面向量a，b满足|a|＝2，b＝，且b⊥(a－b)，则向量a与b的夹角的大小为 。
16.已知直线y＝kx与双曲线C：相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且。
(I)求sinA的值；
(II)若△ABC的面积为，且sinB＝3sinC，求△ABC的周长。
18.(本小题满分12分)
某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人。
(I)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
(II)已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”。现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望。
附：，其中n＝a＋b＋c＋d。
19.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E为BC的中点。
(I)证明：BC⊥平面PAE；
(II)若AB＝2，PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值。
20.(本小题满分12分)
已知函数。
(I)讨论函数f(x)的单调性；
(II)当a<－1时，证明：。
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D。
(I)求四边形OAHB(O为坐标原点)面积的取值范围；
(II)证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标。
请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2＋(y－2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(I)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(II)在极坐标系中，点M(3，)，射线θ＝(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－3|。
(I)解不等式f(x)≥4－|2x＋1|；
(II)若，求证：。
