2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学（理）试题（解析版）

2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学（理）试题

一、单选题

1．复数满足为虚数单位)，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.

【详解】

由已知，，故的虚部为.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

2．设全集集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求出，再与集合N求交集.

【详解】

由已知，，又，所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.

3．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.

【详解】

由题意，，解得.

故选：B.

【点睛】

本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.

4．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】只需利用导数的几何意义计算曲线在点处的导数值即可.

【详解】

由已知，，故切线的斜率为，所以切线方程为，

即.

故选：D.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道基础题.

5．已知锐角满足则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用代入计算即可.

【详解】

由已知，，因为锐角，所以，，

即.

故选：C.

【点睛】

本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.

6．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由可排除选项C、D；再由可排除选项A.

【详解】

因为

，故为奇函数，

排除C、D；又，排除A.

故选：B.

【点睛】

本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.

7．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环.

【详解】

第一次循环：；第二次循环：；

第三次循环：，退出循环，输出的为.

故选：B.

【点睛】

本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.

8．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.

【详解】

由已知，，令，得.

故选：C.

【点睛】

本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.

9．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.

【详解】

由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，

又所以，即，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.

10．在正方体中，点、分别为、的中点，过点作平面使平面，平面若直线平面，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作出图形，设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，推导出，由线面平行的性质定理可得出，可得出点为的中点，同理可得出点为的中点，结合中位线的性质可求得的值.

【详解】

如下图所示：

设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，

四边形为正方形，、分别为、的中点，则且，

四边形为平行四边形，且，

且，且，则四边形为平行四边形，

，平面，则存在直线平面，使得，

若平面，则平面，又平面，则平面，

此时，平面为平面，直线不可能与平面平行，

所以，平面，，平面，

平面，平面平面，，

，所以，四边形为平行四边形，可得，

为的中点，同理可证为的中点，，，因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

11．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.

【详解】

作出可行域如图所示

设圆心为，则

,

过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，

所以，，

故.

故选：D.

【点睛】

本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.

12．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.

【详解】

，，

由于，则，同理可知，，

函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，

，则，，则，

构造函数，其中，则.

当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.

所以，.

故选：C.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.

二、填空题

13．的展开式中的系数为________________．

【答案】

【解析】在二项展开式的通项中令的指数为，求出参数值，然后代入通项可得出结果.

【详解】

的展开式的通项为，令，

因此，的展开式中的系数为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.

14．在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．

【答案】

【解析】由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.

【详解】

由余弦定理，得，即，解得，

故的面积.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.

15．已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________．

【答案】

【解析】只要算出直三棱柱的棱长即可，在中，利用即可得到关于x的方程，解方程即可解决.

【详解】

由已知，，解得，如图所示，设底面等边三角形中心为，

直三棱柱的棱长为x，则，，故，

即，解得，故三棱柱的侧面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.

16．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是________________．

【答案】

【解析】作出图形，设点，则、，设点，利用点差法得出，利用斜率公式得出，进而可得出，可得出，由此可求得的值.

【详解】

设点，则、，设点，

则，两式相减得，即，

即，

由斜率公式得，，，故，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题

17．已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；

（Ⅱ）求得，然后利用裂项相消法可求得.

【详解】

（Ⅰ）设数列的公比为，由题意及，知.

、、成等差数列成等差数列，，，

即，解得或（舍去），.

数列的通项公式为；

（Ⅱ），

.

【点睛】

本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.

18．如图，在四棱锥中，是边长为的正方形的中心，平面，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由正方形的性质得出，由平面得出，进而可推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；

（Ⅱ）取的中点，连接、，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角的余弦值.

【详解】

（Ⅰ）是正方形，，

平面，平面，

、平面，且，平面 ，

又平面，平面平面；

（Ⅱ）取的中点，连接、，

是正方形，易知、、两两垂直，以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

在中，，，，

、、、，

设平面的一个法向量，，，

由，得，令，则，，.

设平面的一个法向量，，，

由，得，取，得，，得.

，

二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.

（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并预测该公司年（年份代号记为）的年利润；

（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从年至年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率.

参考公式：，.

【答案】（Ⅰ），该公司年年利润的预测值为亿元；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）求出和的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求得和的值，进而可求得关于的线性回归方程，然后将代入回归直线方程，可得出该公司年年利润的估计值；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归直线方程计算出从年至年这年被评为级利润年的年数，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率.

【详解】

（Ⅰ）根据表中数据，计算可得，，，

又，，

，关于的线性回归方程为.

将代入回归方程得（亿元），

该公司年的年利润的预测值为亿元.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利润的估计值分别为、、、、、、、（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有年.

故这年中被评为级利润年的有年，评为级利润年的有年.

记“从年至年这年的年利润中随机抽取年，恰有年为级利润年”的概率为，.

【点睛】

本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）利用勾股定理结合条件求得和，利用椭圆的定义求得的值，进而可得出，则椭圆的标准方程可求；

（Ⅱ）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式求出，利用几何法求得直线截圆所得弦长，可得出关于的函数表达式，利用不等式的性质可求得的取值范围.

【详解】

（Ⅰ）在椭圆上， ，，，，

，，

又，，，，

椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）设点、，

联立消去，得，，

则，，

设圆的圆心到直线的距离为，则.

，

，

，，

的取值范围为.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中弦长之积的取值范围的求解，涉及韦达定理与弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

21．已知函数，其中.

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的最大值.

【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域以及导数，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间；

（Ⅱ）由题意可知在上恒成立，分和两种情况讨论，在时，构造函数，利用导数证明出在上恒成立；在时，经过分析得出，然后构造函数，利用导数证明出在上恒成立，由此得出，进而可得出实数的最大值.

【详解】

（Ⅰ）函数的定义域为.

当时，.

令，解得（舍去），.

当时，，所以，函数在上单调递减；

当时，，所以，函数在上单调递增.

因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（Ⅱ）由题意，可知在上恒成立.

（i）若，，，

，

构造函数，，则，

，，.

又，在上恒成立.

所以，函数在上单调递增，

当时，在上恒成立.

（ii）若，构造函数，.

，所以，函数在上单调递增.

恒成立，即，，即.

由题意，知在上恒成立.

在上恒成立.

由（Ⅰ）可知，

又，当，即时，函数在上单调递减，

，不合题意，，即.

此时

构造函数，.

，

，，

，

恒成立，所以，函数在上单调递增，恒成立.

综上，实数的最大值为

【点睛】

本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值.

【答案】（Ⅰ）直线的直角坐标方程为；曲线的普通方程为；（Ⅱ）.

【解析】（I）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

（II）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.

【详解】

由

可得直线的直角坐标方程为

由曲线的参数方程，消去参数

可得曲线的普通方程为.

易知点在直线上，直线的参数方程为(为参数).

将直线的参数方程代入曲线的普通方程，并整理得.

设是方程的两根，则有.

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.

23．已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）设其中为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（I）零点分段法，分，，讨论即可；

（II），分，，三种情况讨论.

【详解】

原不等式即.

当时，化简得.解得；

当时，化简得.此时无解；

当时，化简得.解得.

综上，原不等式的解集为

由题意，

设方程两根为.

当时，方程等价于方程.

易知当，方程在上有两个不相等的实数根.

此时方程在上无解.

满足条件.

当时，方程等价于方程，

此时方程在上显然没有两个不相等的实数根.

当时，易知当，

方程在上有且只有一个实数根.

此时方程在上也有一个实数根.

满足条件.

综上，实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查解绝对值不等式以及方程根的个数求参数范围，考查学生的运算能力，是一道中档题.