2020届四川省广元市高三第三次诊断性考试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省广元市高三第三次诊断性考试数学（文）试题


一、单选题
1．复数z，则共轭复数的虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】计算共轭复数再求虚部即可.
【详解】
,故,故共轭复数的虚部是-1.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数与虚部的概念,属于基础题型.
2．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x（x﹣3）≤0}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x≤3} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{ x|0≤x＜3} D．{x|﹣1＜x≤3}
【答案】D
【解析】求解集合后再求并集即可.
【详解】
,故.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.
3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．28π B．22π C．20π D．18π
【答案】C
【解析】易得该几何体为圆锥与圆柱的组合体,再求体积之和即可.
【详解】
由题,组合体中圆锥的体积为.圆柱的体积为.
故总体积为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了根据三视图求圆锥圆柱的体积,属于基础题型.
4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M到y轴的距离为2，则|AB|＝（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【解析】设,再表达出的坐标,再利用抛物线的性质求解即可.
【详解】
设,则,又点M到y轴的距离为2,故,即,又, .故.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了抛物线的焦半径公式,属于基础题型.
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝23，S6＝12a8，则使Sn达到最大值的n是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】利用等差数列的基本量法求解的通项公式,再根据通项正负分析使Sn达到最大值的n即可.
【详解】
设的公差为,则 .
故.故是首项为正,公差为负数的等差数列.故使Sn达到最大值的n满足 .因为.所以
故选：C
【点睛】
本题主要考查了首项为正,公差为负数的前n项和最大值问题.属于基础题型.
6．直线y＝x+b与圆x2+y2﹣4x﹣4＝0有两个不同交点的一个必要不充分条件是（　　）
A．﹣6＜b＜2 B．b＜2 C．﹣2＜b＜2 D．﹣4＜b＜4
【答案】B
【解析】先求出直线y＝x+b与圆x2+y2﹣4x﹣4＝0有两个不同交点的充要条件再判断即可.
【详解】
由题,直线y＝x+b即与圆x2+y2﹣4x﹣4＝0即有两个不同交点的充要条件为圆心到直线的距离小于半径.
故.
又四个选项中仅有B.“b＜2”的范围包含且不等于“”,
故选：B
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系与必要不充分条件的判定,属于中等题型.
7．中， , 设点满足 若,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：以为坐标原点， 分别为轴建立如图所示的直角坐标系，则， ， ，则， ， ， ＝，所以， ．故选D．

【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积．
8．我国古代名著《九章算术》中用“更相减损术“求两个正整数的最大公约数，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a＝2916，b＝1998时输出的a＝（　　）

A．18 B．24 C．27 D．54
【答案】D
【解析】直接根据题中程序按步骤求解即可.
【详解】
由题,输入a＝2916，b＝1998,
1.因为,故,;为否；
2.因为,故,;为否；
3.因为,故,;为否；
4.因为,故,;为否；
5.因为,故,;为是；
输出的为54.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了程序框图的运用,根据题意逐个循环计算即可.
9．若三棱锥P﹣ABC的底面边长与侧棱长都是3，则它的内切球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用等体积法求解即可.
【详解】
作平面于,则.故高.
设内切球半径为,则三棱锥P﹣ABC的体积 .
故.故内切球表面积.

故选：A
【点睛】
本题主要考查了正四面体内切球的表面积问题,主要是利用等体积法推导出内切球半径等于高的再计算即可.属于中等题型.
10．已知函数f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）的图象的相邻两条对称轴相距个单位，则ω＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】分析角度的关系将展开,再合一变形求得的解析式,再根据图象的相邻两条对称轴相距个单位求得周期再求ω即可.
【详解】
.即
又图象的相邻两条对称轴相距个单位,故的周期为.
故.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角函数的和差角公式以及周期的求法,属于基础题型.
11．已知函数f（x）其中[x]表示不超过x的最大整数，若直线y＝kx+k（k＞0）与y＝f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A．（0，] B．（ C．[ D．[
【答案】C
【解析】根据题意画出函数图像,再分析与图像的交点情况即可.
【详解】
画出函数图像,由为过且斜率为的直线.易得当直线过与时为临界条件.此时与.故.

故选：C
【点睛】
本题主要考查了数形结合求解函数图像交点的问题,需要根据题意画出对应的函数图像,再根据直线过定点,绕着定点旋转分析即可.属于中等题型.
12．已知双曲线（a＞0，0＞0）的离心率为e，过右焦点且斜率为2e﹣2的直线与双曲线两个交点分别位于第三象限和第四象限，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，） B．（，+∞） C．（1，2） D．（2．+∞）
【答案】A
【解析】由题意可得斜率,再化简求解即可.
【详解】
因为过右焦点且斜率为2e﹣2的直线与双曲线两个交点分别位于第三象限和第四象限,故斜率小于渐近线的斜率且大于0,
故.
两边平方有.因为.故.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了双曲线渐近线的性质,需要根据题意找到对应的不等式关系求解,属于中等题型.


二、填空题
13．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为_____．
【答案】
【解析】画出可行域再分析最值即可.
【详解】
画出可行域,因为,故要求的最小值则在直线与直线的交点处取得.此时的最小值为.

故答案为：-1
【点睛】
本题主要考查了线性规划求最值的方法,属于基础题型.
14．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a4a7＝25，则log5a1+log5a2…+log5a10＝_____．
【答案】10
【解析】根据等比数列的等积性求解即可.
【详解】
故答案为：10
【点睛】
本题主要考查了等比数列的等积性,属于基础题型.
15．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6，记骰子的点数分别为x，y，向量（x﹣1，1），（10﹣2y，2），则两向量平行的概率是_____
【答案】
【解析】先求出两向量平行时满足的关系式,再根据古典概型的方法求解满足条件的基本事件数与总的基本事件数即可.
【详解】
当时.
又抛掷两枚质地均匀的正方体骰子的所有可能情况有种,
其中满足的基本事件一共有共五种.
故两向量平行的概率是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了古典概型的方法,属于基础题型.
16．定义在R上的函数f(x)满足+>1, ,则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为_________.
【答案】
【解析】构造函数，根据，利用导数研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，利用单调性转化不等式，从而可得结果.
【详解】
设，
则
，
，在定义域上单调递增，
，
又，
，
即不等式的解集为，故答案为.
【点睛】
本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

三、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.
试题解析：（1）由已知可得

（2）
又
，
的周长为
【考点】正余弦定理解三角形.

18．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：

（1）由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
（2）从调查的100人中年龄在15～25，25～35两组按分层抽样的方法抽取6人参加某项活动现从这6人中随机抽2人，求这2人中至少1人的年龄在25～35之间的概率．
参考数据：

其中n＝a+b+c+d

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】(1)根据题中数据汇总调表再计算判断即可.
(2)根据分层抽样以及枚举法求解概率即可.
【详解】
（1）由统计数据填写的2×2列联表如下：

年龄45岁以下
年龄45岁以上
总计
支持
35
45
80
不支持
15
5
20
总计
50
50
100


6.25＞3.841，
∴有95%的把握认为以45岁为分界点的同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异．即在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
（2）从调查的100人中年龄在15～25，25～35两组按分层抽样的方法抽取6人参加某项活动，
在15～25，25～35两组共有30人，
15～25组有100×0.02×10＝20人，抽取204人，设抽取的4人为A，B，C，D，
25～35组有100×0.01×10＝10人，抽取102人，设抽取的2人为a，b，
现从这6人中随机抽2人的基本事件为：AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，15种情况；
这2人中至少1人的年龄在25～35之间的概率是．
所以这2人中至少1人的年龄在25～35之间的概率是．
【点睛】
本题主要考查了独立性检验以及分层抽样与枚举法求古典概型概率的方法,属于基础题型.
19．已知Rt△ABC如图（1），∠C＝90°，D．E分别是AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到PDE位置（即A点到P点位置）如图（2）使∠PDC＝60°．

（1）求证：BC⊥PC；
（2）若BC＝2CD＝4，求点D到平面PBE的距离．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】(1)证明垂直平面中的两条直线再证明平面即可.
(2)取取CD中点建立空间直角坐标系,再利用空间向量解决点到面的距离问题即可.
【详解】
（1）证明：∵Rt△ABC如图（1），∠C＝90°，D.E分别是AC，AB的中点，
将△ADE沿DE折起到PDE位置（即A点到P点位置）如图（2）使∠PDC＝60°．
∴DE⊥DC，DE⊥PD，DE∥BC，
∵PD∩DC＝D，∴DE⊥平面PCD，∴BC⊥平面PCD，
∵PC⊂平面PCD，∴BC⊥PC.
（2）解：∵D.E分别是AC，AB的中点，∠PDC＝60°，BC＝2CD＝4，
∴CD＝PD＝PC＝2，
取CD中点O，BE中点M，连结PO，MO，则OP，OD，OM两两垂直，
以O为原点，OD为x轴，OM为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（1，0，0），P（0，0，），B（﹣1，4，0），E（1，2，0），
（1，0，），（﹣1，4，），（1，2，），
设平面PBE的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，），
∴点D到平面PBE的距离为：
d．

【点睛】
本题主要考查了线面与线线垂直的证明与性质,同时也考查了利用空间向量求解线面距离的方法等.属于中等题型.
20．已知椭圆C：，（a＞b＞0）过点（1，）且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的右顶点为P，过定点（2，﹣1）的直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于异于点P的A，B两点，若直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值．
【答案】（1）；（2）1
【解析】(1)根据题意列出关于满足的关系式再求解即可.
(2)联立直线与椭圆的方程,再设A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，0）,进而表达出直线PA，PB的斜率,再利用韦达定理化简求解即可.
【详解】
（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝1，
则椭圆的方程为y2＝1，
（2）由题意，过定点（2，﹣1）的直线l：y＝kx+m，
∴﹣1＝2k+m，
∴m＝﹣2k﹣1
A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，0）
联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0．
△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝16（4k2﹣m2+1）＞0．
∴x1+x2，x1x2
∵直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
∴k1+k2
kk2k2k2k﹣（2k﹣1）＝1
【点睛】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,包括联立方程利用韦达定理表示题意再化简求解的方法,属于难题.
21．已知函数,．
(1)求函数的极值；
(2)对,不等式都成立,求整数k的最大值；
【答案】(1)极小值为无极大值；(2)3.
【解析】求出函数的单调区间,然后求解函数的极值，
问题转化为在上恒成立,令,,再求导, 分类讨论,利用导数求出函数的最值,即可求出k的值．
【详解】
解：,，
，
当时,，函数单调递减,当时,，函数单调递增,
当时,取得极小值,极小值为无极大值．
，,不等式都成立,
在上恒成立,
即在上恒成立,
令,,
,
当时,即时,在上恒成立,
在上单调递增,
,
,此时整数k的最大值为2,
当时,令,解得,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
,
由,
令,
在上恒成立,
在上单调递减,
又，,
存在使得,
故此时整数k的最大值为3,
综上所述整数k的最大值3．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的极值,构造法的应用,考查转化思想以及计算能力．
22．已知直线l的参数方程为：，（t为参数）．在以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)利用参数方程与极坐标的方法化简求解即可.
(2)将直线的参数方程化为,再联立圆的直角坐标方程,利用直线参数方程中参数的几何意义表达再计算即可.
【详解】
（1）由，（t为参数），消去参数t可得：
∴直线l的普通方程为．
由ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0，得x2+y2﹣4x﹣4y+4＝0．
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y+4＝0；
（2）直线l的参数方程化为，代入x2+y2﹣4x﹣4y+4＝0．
整理得：．
设A，B所对应的参数分别为t1，t2，
则，t1t2＝4．
∴．
【点睛】
本题主要考查了坐标系与参数方程的运用,同时也考查了直线参数方程的几何意义,属于中等题型.
23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤﹣1的解集M；
（2）结合（1），若m是集合M中最大的元素，且a+b＝m（a＞0，b＞0），求的最大值．
【答案】（1）；（2）5
【解析】(1)分段去不等式中的绝对值再求解即可.
(2)根据(1)可得,再根据柯西不等式求解最大值即可.
【详解】
（1）不等式f（x）≤﹣1即|2x﹣1|﹣|x+1|≤﹣1，
可得或或，
解得：无解或x或x≤1，
综上可得x≤1，即所求解集为[，1]；
（2）由（1）可得a+b＝1（a，b＞0），
由柯西不等式可得（）2≤（32+42）（a+b），
即为（）2≤25，
可得5，当且仅当a，b时取得等号，
则的最大值为5．
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的求解以及柯西不等式的运用,属于中等题型.