上海市2020年中考物理备考复习资料汇编专题11固体与液体的压强计算


专题11 固体与液体的压强计算2
四、在容器里加物体后，无液体溢出
【例题1】如图1所示，圆柱体甲和薄壁圆柱形容器乙置于水平地面。甲的重力为10牛，底面积为5×10-3米2。



乙
图1
甲

① 求甲对地面的压强p甲。
②将甲浸没在乙容器的水中后（无水溢出），若乙容器对地面压强的增加量是水对乙容器底部压强增加量的2.7倍，则求甲的密度r甲。
【答案】①2×103帕；②2.7×103千克/米3
【解析】
① p甲=F甲/S甲=G甲/S甲
=10牛/5×10-3米2
=2×103帕
②甲浸没在乙容器的水中后，乙容器对地面压强的增加量
Δp容=ΔF容/S容=G甲/S容
水对乙容器底部压强增加量
Δp水=ρ水gΔh=ρ水g V甲/S容
因为Δp容=2.7Δp水
G甲/S容=2.7ρ水g V甲/S容
G甲=ρ水g V甲 ρ甲g V甲=2.7ρ水g V甲
所以 ρ甲=2.7ρ水
=2.7×103千克/米3

【例题2】如图2所示，某薄壁柱形容器中装有质量为2千克的水，放在水平地面上，容器的质量为1千克，底面积为0.01米2。求：
（1）容器内水的体积。
（2）容器对桌面的压强。




图2

（3）若把一个实心均匀的小球放入水中，小球浸没并且沉底，水没有溢出。如果水对容器底部压强与容器对地面压强的比值在放入小球前后保持不变，求小球的密度。
【答案】①2×10-3米3；②2940帕；③1500千克/米3
【解析】
（1）V=m/ρ=2千克/（1000千克/米3）=2×10-3米3
（2）F=G=mg=（1千克+2千克）×9.8牛/千克=29.4牛
P=F/S=29.4牛/0.01米2=2940帕
（3）因为水对容器底部压强与容器对地面压强的比值在放入小球前后保持不变，所以与放入小球后与压强的增加量之比是相等的。
P水/ P容=ΔP'水/ΔP'容
∵底面积S相同，∴压强之比等于压力之比，即F水/F容=ΔF'水/ΔF'容
又∵柱形容器，∴F水=G水，∴G水/（G水+G容）=F浮/G球
即m水/（m水+m容）=m排/m球=ρ水V排/（ρ球V球）
∵浸没，∴V排= V球，∴m水/（m水+m容）=ρ水/ρ球
2千克/（2千克+1千克）=1×103千克/米3 /ρ球
ρ球=1500千克/米3
1．如图1所示，质量为0.2千克、底面积为1×10－2米2的圆柱形容器，内盛2千克的水后置于水平地面上。现将一质量为2.6千克、密度为2.6×103千克/米3的物块，完全浸没在容器的水中后，测得容器底部受到水的压强为2450帕。求：




图1

① 未放入物块前容器对水平地面的压强p容。
② 物块的体积V。
③ 放入物块后，水对容器底部压强的增加量Δp。
【答案】
① F地=G=mg=（2千克+0.2千克）×9.8牛/千克=21.56牛
p地=F地/S=21.56牛/1×10-2米2=2156帕
② V = m/ρ=2.6千克/2.6×103千克/米3= 1×10-3米3
③ F水=G水=m水g=2千克×9.8牛/千克=19.6牛
p水=F水/S=19.6牛/1×10-2米2=1960帕
Δp＝2450帕–1960帕=490帕
2．如图2所示，薄壁轻质圆柱形容器甲内盛有水，水深为容器高度的2/3，金属圆柱体乙与甲内水面等高。甲、乙均置于水平地面上。





图2

（1）若甲内水深0.2米，求水对容器甲底部的压强。
（2）若乙的质量5千克，底面积10-2米2，求乙对地面的压强。
（3）将乙浸没在甲容器内的水中后，水不溢出，甲对地面的压强恰为原压强的2.5倍，求乙密度的最小值。
【答案】
（1）
（2）
（3），，



3．如图3所示，有一薄壁柱形容器置于水平地面上，容器中装有水。现将一只质量为2千克的实心小球浸没在容器的水中，水不溢出，分别测出小球浸入前和浸没后水对容器底部的压强p水、小球浸入前和浸没后容器对水平地面的压强p地，如下表所示。求：





图3

浸入前
浸没后
p水(帕)
1960
2352
P地(帕)
2450
3430


小球浸入前，容器中水的深度h水。
容器中水的重力G水。
③ 实心球的密度ρ球。
【答案】①

Δp地＝p’地－p地＝3430帕－2450帕＝980帕

∵容器是柱形
∴G水＝F水＝p水S＝1960帕×2×10-2米2＝39.2牛
Δp水＝p’水－p水＝2352帕－1960帕＝392帕
Δh水＝0.04米
∵小球浸没
∴V球＝ΔV水＝S容Δh水＝2×10-2米2×0.04米＝8×10-4米3

4．完全相同的两个柱形容器放在水平地面上，两容器内分别盛有水和某种液体。
①若容器和水的总重为20牛，容器的底面积为2×10-2米2，求容器对地面的压强p容；
②若容器内盛有0.3米深的水，求水对容器底部的压强p水；
容器底部受到液体的压强
放入小球前
放入小球后
p水(帕)
1960
2940
p液(帕)
2068
2852
③若将两个完全相同的实心金属小球分别浸没在水和液体中(水和液体均不溢出)，下表为放入小球前后两容器底部受到液体的压强。
求这种液体的密度ρ液。
【答案】
① F容=G总=20牛
p容= P甲＝F容/ S容
＝20牛/2×10-2米2=1000帕
② p水=ρ水gh水=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.3米=2940帕
③ Δp水=p'水-p水0=2940帕-1960帕=980帕
Δp液=p'液-p液0=2352帕-1568帕=784帕
△P水=ρ水g△h水=ρ水gV球/s △P液=ρ液g V球/s
△P水 ：△P液=ρ水gV球/s ：ρ液g V球/s
ρ液=0.8ρ水=0.8×103千克/米3
5．如图5所示，高为0.3米、底面积为0.02米2的薄壁圆柱形容器A置于水平地面上，容器内装有重为39.2牛、深度为0.2米的水。




图5
0.3米
A
0.2米
B

①求水对容器底的压强P水。
②若容器重为10牛，求容器对水平地面的压强P容。
③现将底面积为0.01米2的实心圆柱体B竖直放入容器A中，水恰好不溢出，此时容器A对地面的压强增加量Δp容恰好等于水对容器底的压强增加量Δp水，求圆柱体B的质量m。
【答案】
①

③ 因为水不溢出，所以地面所受压力的增加量ΔF地=G柱=m柱g，
圆柱形容器底所受液体压力的增加量ΔF底=G排水=m排g，
Δp容＝Δp水 底面积S容相同，所以
ΔF地＝ΔF底，
m柱＝m排水＝ρ水ΔhS容
＝1×103千克/米3×0.1米×0.02米2
＝2千克
6．如图6所示，厚壁柱形容器甲和正方体乙置于水平地面上。若厚壁柱形容器甲的内外底面积分别为S1、S2，外底面积S2为1.2×10-2米2，甲容器盛有一定量的水。正方体乙的体积为0.5×10-3米3，密度为1.2×103千克/米3。
（1） 求正方体乙的质量m。
（2）求容器内0.1米深处水的压强p水。
（3）将正方体乙浸没在水中（无水溢出），水对容器底部的压强p水、容器对地面的压强p地等数据如下表所示。求容器甲的重力G。

将乙放入前
将乙放入后
p水（帕）
1960
Dp水=Dp地
p地（帕）
3920




甲 乙
S1
S2
图6

【答案】
① p水＝ρg h水
＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米
＝1960帕
② h水¢＝p水¢/ρ水g
＝784帕/（1.0×103千克/米3×9.8牛/千克）
＝0.08米
水的体积不变 Sc＝Sb×0.2米/0.08米
Sc＝2.5 Sb
p容¢＝F容/ Sc
＝（G水＋G容）/Sc
＝p水¢＋G容/（2.5 Sb）
＝882帕
7．如图7所示，薄壁轻质圆柱形容器底面积为1×10-2米2，容器内水的深度为2×10-1米，静止在水平桌面上。求：



图7
物体
密度
体积
A
ρ
3V
B
3ρ
V


① 水的质量m水。
② 水对容器底部的压强p水。
③ 现有A、B两物体，它们的密度、体积的关系如表所示，当把它们分别浸没在水中时（水不溢出），求水对容器底部压强的增加量Dp水与水平桌面受到的压强的增加量Dp桌的比值之差。（用字母表示）
【答案】
（1）m水＝ρ水V水
=1×103千克/米3×1×10-2米2×0.2米
= 2千克
（2）p水＝ρ水gh
＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米
＝ 1960帕
（3）A：Dp水/Dp桌 =ρ水/ρ
B：Dp水/Dp桌 =ρ水/3ρ
比值之差:2ρ水/3ρ
8．一个底面直径为R，底面积为S的薄壁圆柱形容器放在水平地面上，容器内装有一定量的水。
① 若容器内水的质量为2千克，求水的体积。
② 求距离水面0.1米深处的液体内部压强。
③ 若在水中浸入一个正方体，正方体沉底后，液体深度变为h，液体对容器底部的压强的增加量为Δp，为使Δp达到最大，求该正方体的边长及液体对容器底部的压强增加量Δp。（结果用ρ水、S、R、h等字母表示）
【答案】
① V＝m/ρ＝2千克/（1×103千克/米3) =2×10-3米3
② P=ρgh＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
③ 正方体的边长为R
若R≤h，ΔP1=ρ水gR3/S
若R>h，ΔP2=ρ水ghR2/S
9．如图9所示，置于水平地面上的薄壁轻质圆柱形容器内盛有深为3H的水，容器的高为4H、底面积为5S。





序号
甲
乙
丙
密度
3ρ水
高度
H
3H
6H
底面积
3S
2S
S

图9

① 求体积为4×10-3米3水的质量m水。
② 现有三个大小不同的圆柱体合金块（其规格如右表所示）可选，请选择其中一个轻放入容器内并满足下列要求。
（a）圆柱体放入容器后，要求水对容器底面的压强最大。则应选择序号为_______的圆柱体，求出此时水对容器底面的压强p水。
（b）圆柱体放入容器后，要求容器对水平地面的压强最大，则应选择序号为_______的圆柱体，求出此时容器对水平地面压强p容。
【答案】
①m水= ρ水V水=1.0×103千克/米3× 4×10-3米3=4千克
② 乙； p水=ρ水gh=4ρ水gH
③ 丙；
p地=F /S=（m水+m丙）g/S
=(ρ水×3H×5S+3 ρ水×6H×S)/5S
=33 ρ水H/5


10. 如图10所示，底面积为2×10-2米2的正方形木块放置在水平地面上，现将盛有体积为4×10-3米3水的轻质薄壁圆柱形容器放在木块的中央，已知圆柱形容器的底面积为1×10-2米2。求：





物体
体积（米3）
质量（千克）
在水中静止后的状态
A
0.5×10-3
0.4
漂浮在水面
B
0.5×10-3
2.0
浸没在水中
C
1.2×10-3
1.5
浸没在水中
图10

（1）容器内水的质量m水。
（2）容器对木块的压强p容。
（3）现有一实心小球浸没在该圆柱形容器内的水中（容器足够高），此时水对容器底部压强的增加量为∆p水，木块对地面压强的增加量为∆p木，若∆p水：∆p木=5:3，求小球的密度
r球。
【答案】
（1）m水＝r水V水＝1.0×103千克/米3×4×10-3米3＝4千克
（2）p容＝F容/s容＝G水/s容＝m水g/s容
＝（4千克×9.8牛/千克）/1×10-2米2＝3920帕
（3） ∆p水= r水gV球/s容 ∆p木=r球gV球/s木
∆p水：∆p木=5:3
r水gV球/s容 ：r球gV球/s木=5:3
r球＝1.2×103千克/米3
11．如图11所示，一足够高的薄壁圆柱形容器静止在水平地面上。求：



图11

（1）当容器内盛有1×10-3米3的酒精时，酒精的质量m酒（已知ρ酒=0.8×103千克/米3）
（2）当容器内盛有0.1米深的水时，水对容器底部的压强p水；
（3）当容器中盛有质量、体积分别为m、2V的液体时，把一质量、体积分别为2m、V的金属圆柱体浸没在此液体中，设容器对水平地面的压强变化量为Δp容，液体对容器底部的压强变化量为Δp液，试计算Δp容:Δp液的值。
【答案】
（1）m酒＝ρ酒V酒＝0.8×103千克/米3×1×10-3米3 =0.8千克
（2）p水＝ρ水gh＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米
＝ 980帕
（3）


12．如图12所示，圆柱体甲和薄壁圆柱形容器乙置于水平地面。甲的质量为8千克、底面积为4×10-2米2。乙的质量为4千克、底面积为5×10-2米2。乙容器中装有质量为8千克的水。
乙
图12
甲

① 求乙内水的体积V水。
② 求乙内水面下0.1米深处的压强p水。
③ 将甲浸没在乙容器的水中后（无水溢出），求乙容器对水平地面的压强p乙。
【答案】
①V水=m水/ρ水=8千克/(1.0×103千克/米3) =8×10-3米3
②p水=ρ水gh
=1×103千克/米3× 9.8牛/千克×0.1米=980帕
③ p乙＝F乙/S＝G/S＝mg/S
＝（8+4+8）千克× 9.8牛/千克/5×10-2米2
＝3920帕
13. 如图13所示，密度为千克/米3，边长为0.2米均匀正方体甲和底面积为米2的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器足够高，内盛有0.1米深的水。



图13

（1）求甲的质量；
（2）求水对乙容器底部的压强；
（3）现将甲浸入水中，求水对乙容器底部压强增加量。
（1）m=ρv=5´103千克/米3´0.008米3=40千克
（2）P=ρgh=1´103千克/米3´0.1米´9.8牛/千克=980帕
【答案】
（3）△h=0.08米 △P乙=784帕
14．如图14所示，水平地面上的轻质圆柱形容器甲、乙分别盛有质量相同的水和酒精，甲、乙的底面积分别为S、2S。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）
①若甲容器中水的体积为2×10-3米3，求水的质量m水。
②求乙容器中0.1米深处酒精的压强p酒精。
③现有物体A、B（其密度、质量的关系如下表所示），请在物体 A、B 和容器甲、乙中各选择一个，当把物体放入容器中后（液体不会溢出，液面足够高），可使液体对容器底部的压强增加量△p液与容器对地面的压强增加量△p容的比值最小。求该最小比值。
物体
密度（×103千克/米3）
质量
A
0.6
m
B
1.2
m




甲
乙
图14

【答案】
① m＝ρV
＝1×103kg/m3 ×2×10－3m3＝2kg
② p酒精＝ ρ酒精g h
＝0.8×103 kg/m3×9.8N/kg×0.1m
＝784Pa
③ 应将B物体放入乙容器中
△p液=△F液/S =ρ酒精gV浸/S
△p容=△F容/S=ρ物gV物/S
△p液 ：△p容=ρ酒精gV浸 ：ρ物gV物
= ρ酒精/ρ物
=0.8×103 kg/m3/1.2×103 kg/m3 = 2/3

五、在容器里加物体后，有液体溢出
一、例题
【例题1】柱形轻质薄壁容器的底面积为1×10-2米2，如图1所示，内盛0.2米深度的水后置于水平地面上。



图1

① 求容器底部受到水的压强p水。
② 现将一块质量为1.5千克、体积为1×10-3米3的物体完全浸没在容器的水中后，测得容器底部受到水的压强为2450帕。求此时容器对水平桌面的压强p容。
【答案】①1960帕；②2940帕。
【解析】
①p水=ρ水g h
=1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米3
=1960帕
②物体浸没在容器的水中后，容器底部受到水的压强为2450帕可求现在水的深度h＇：
p＇水=ρ水g h＇ h＇= p＇/ρ水g
h＇=2450帕/1×103千克/米3×9.8牛/千克
=0.25米
容器内剩余水的体积为
V剩余水= S h＇－V物
=0.25米×1×10-2米2－1×10-3米3=1.5×10-3米3
现在容器对水平桌面的压力
F容=G容=（m剩余水＋m物）g
=（1.5×10-3米3×1×103千克/米3＋1.5千克）×9.8牛/千克=29.4牛
对水平桌面的压强
P容= F容/S =29.4牛/ 1×10-2米2
=2940帕

【例题2】如图2所示，盛有水的轻质薄壁圆柱形容器甲和实心均匀圆柱体乙均放置于水平地面上，它们的底面积分别为1×10-2米2和0.5×10-2米2。现将两完全相同物块分别放入容器甲中和叠在圆柱体乙的上方，放置前后容器甲、圆柱体乙对水平地面的压强大小
p甲、p乙如下表所示。求：
对水平地面的压强
放置之前
放置之后
p甲（帕）
980
1470
p乙（帕）
980
1960
乙
图2
甲乙

⑴ 容器甲中原来水的深度。
⑵ 圆柱体乙的质量。
⑶ 请根据相关信息判断物块放入甲容器时，水是否溢出，并说明理由。
【答案】（1）0.1米；（2）0.5千克；③因为ΔF甲=G物 ，所以没有溢出。
【解析】
（1）h水=p水/（ρ水g）=p甲/（ρ水g）
=980帕/（1000千克/米3×9.8牛/千克）=0.1米
（2）G乙=F乙=p乙S乙=980帕×0.5×10-2米2=4.9牛
m乙=G乙/g=4.9牛/（9.8牛/千克）=0.5千克
（3）物块放入圆柱体乙时，可求圆柱体乙对地面压力的增加量
因为Δp乙=p乙后－p乙前=1960帕－980帕=980帕
所以ΔF乙=Δp乙S乙=980帕×0.5×10-2米2=4.9牛
即物体的重力G物=ΔF乙=4.9牛
物块放入容器甲中时，甲容器对地面压力的增加量
ΔF甲=Δp甲S甲 =（1470帕－980帕）×1×10-2米2=4.9牛
因为ΔF甲=G物
所以没有溢出。
【例题3】如图3所示，圆柱体甲的质量为3.6千克，高为0.2米，密度为1.8×103千克/米3。
① 求甲的体积。
② 求甲竖直放置时对水平桌面的压强。
③ 现有一薄壁圆柱形容器乙，质量为0.8千克。在容器乙中倒入某种液体，将甲竖直放入其中，并分别测出甲放入前后容器对水平桌面的压强p容、液体对容器底部的压强p液，如下表所示。

放入物体前
放入物体后
p容（帕）
1960
2940
p液（帕）
1568
1568
甲
0.2米
图3
乙

（a）求容器的底面积。
（b）求液体密度的最小值。
【答案】①2×10-3米3；②3528帕；③（a）S容＝2×10-2米2；（b）0.8×103千克/米3。
【解析】
① 根据密度知识 V甲＝m甲/ρ甲＝3.6千克/ 1.8×103千克/米3＝2×10-3米3
② 根据压强定义 p＝F/S＝ρg h＝1.8×103千克/米3×9.8牛/千克× 0.2米＝3528帕
③（a）注意求容器底面积用到的压强是放入物体前的两组数据：p容＝1960帕 p液＝1568帕。
因为液体的重力等于液体对容器底部的压力，可表示为 G液＝F液＝p液S容
容器对水平面的压强为 p容前＝F 容/ S容＝（G容+ G水）/ S容＝（G容+ p水S容）/ S容
代入数据 1960帕＝（0.8千克×9.8牛/千克+ 1568帕×S容）/ S容
可得 S容＝2×10-2米2
（b）因为放入物体甲前后Dp液＝0，即容器内的液体原来就是满的，放入物体甲后一定有液体溢出，容器对水平面增大的压力为甲的重力与溢出液体的重力之差：DF＝G甲－G溢
而G溢＝ρ液gV溢 容器对水平面增大的压强：
Dp′＝DF/ S容＝（G甲－G溢）/S容＝（m甲g－ρ液gV溢）/S容
可见当V溢最大等于甲的体积时液体的密度ρ液最小。
所以液体密度的最小值为
ρ液小＝（m甲g－Dp′ S容）/gV溢大
＝（m甲g－Dp′ S容）/gV甲
＝ 0.8×103千克/米3
【例题4】如图4所示，薄壁柱形容器A与实心正方体B放置在水平地面上。容器A中装有水，底面积为1.5×10-2米2，实心正方体B的边长为0.1米。现将实心柱体B浸没在容器A中，分别测出正方体B放入前后水对容器底部的压强p水、容器对水平地面的压强
p容，如下表所示。求：
A B
图4

放入前
放入后
p水(帕)
980
1470
p容(帕)
1470
2450


① 薄壁柱形容器A的质量mA。
② 放入正方体后，容器中水的深度的变化量Δh水。
③ 放入正方体后，通过计算说明判断水是否溢出。
④ 正方体B的质量mB。
【答案】①0.95千克；②0.05米；③有水溢出；④1.75千克。
【解析】
此类题提供的数据比较多，关键是分清解决某一问题用到的是哪组数据。另外能否判断容器里的液体是否溢出也是正确解题的关键因素。
①物体放入前，先利用水的压强980帕计算出水对容器底部的压力，即水的重力：
G水=F水S = p水S＝980帕×1.5×10-2米2＝14.7牛
再根据容器对地面的压强1470帕计算出容器对地面的压力：
FA = pAS＝1470帕×1.5×10-2米2＝22.05牛
因为FA = G容+G水 所以GA = FA-G水=22.05牛-14.7牛= 9.35牛
mA=0.95千克
②利用物体放入前后水的压强之差可求水深度的变化量Δh水（即水升高的高度）：
△P水=ρg△h水
△h水=△p水/（ρ水g）=490帕/（103千克/米3×9.8牛/千克）=0.05米
③利用水升高的高度Δh水可计算出水升高的体积：
ΔV水＝1.5×10-2米2×0.05米＝0.75×10-3米3
物体的体积VB为10-3米3，大于水升高的体积，所以B物体浸没在水中时，有水溢出。
V溢=10-3米3－1.5×10-2米2×0.05米= 2.5×10-4米3
m溢＝ρ水V溢＝1×103千克/米3×2.5×10-4米3＝0.25千克
Δp容=ΔF/S = mg - m溢g/S
980帕×1.5×10-2米2=(m-0.25千克) 9.8牛/千克
m=1.75千克
二、练习题
1．水平地面上有一个质量为1千克、底面积为1×10-2米2的薄壁圆柱形容器，容器内盛有质量为5千克的水。
① 求水的体积V水。
② 求容器对地面的压强p。
③ 现将一体积为1×10-3米3的物块浸没在水中，求水对容器底部压强增加量的范围。
【答案】
① V水=m水/ρ水=5千克/1.0×103千克/米3= 5×10-3米3
② p=F/S=G/S=mg/S=(6千克×9.8牛/千克) /10-2米2=5880帕
③ 当物块浸没后水未溢出，水对容器底部压强的增加量最大
Δpmax=ρgΔhmax=ρgV物/S
= (1.0×103千克／米3×9.8牛/千克×1×10-3米3)/1×10-2米2
=980帕
当原来容器里的水已满时，水对容器底部压强的增加量最小
Δpmin=0
所以水对容器底部压强增加量的范围：0----980帕。
2．薄壁圆柱形容器置于水平面上，容器重为0.2牛，底面积为2×10-2米2，其内盛有1千克的水。
①求水的体积V。
②求容器对水平面的压强p。
Dp水（帕）
Dp地（帕）
0
196
③现将一体积为1×10-4米3的实心均匀小球浸没在该容器的水中，放入前后水对容器底部压强变化量Dp水及容器对水平面的压强变化量Dp地如右表所示，求小球的密度ρ。
【答案】
① V＝m/ρ＝1千克/1×103千克/米3＝1×10-3米3
②F＝G总＝mg＋G容＝（1千克×9.8牛/千克＋0.2牛）＝10牛
　p＝F/S＝10牛/2×10-2米2＝500帕
③∵小球浸没且△p水＝0，∴溢出水的体积等于球的体积
△p地＝△F地/S
△p地S＝G球－G溢水
△p地S＝ρV球g－ρ水V溢g
196帕×2×10-2米2＝（ρ－1×103千克/米3）×9.8牛/千克×1×10-4米3
ρ＝5×103千克/米3
3．一个底面积为2×10-2米2的薄壁圆柱形容器放在水平桌面中央，容器高为0.12米，内盛有0.1米深的水，如图3（a）所示。另有质量为2千克，体积为1×10-3米3的实心正方体A，如图3（b）所示。求：




A
（a） （b）
图3

（1）水对容器底部的压强。
（2）实心正方体A的密度。
（3）将实心正方体A浸没在图16（a）的水中后，容器对地面压强的变化量。
【答案】
（1） p＝ρgh
＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
（2）ρA＝mA/VA
＝2千克/（10-3米3）＝2×103千克/米3
（3）△h = V排／S = VA／S =1×10-3米3／2×10-2米2=0.05米
∵容器的高度为0.12米，已装0.1米深的水，水溢出。
∴m溢=ρV溢
=1.0×103千克／米3×（0.1米＋0.05米－0.12米）×2×10-2米2
=0.6千克
△F =GA－G溢
=mA g－m溢g =（2－0.6）千克×9.8牛/千克
=13.72牛
∴△p = △F／S
=13.72牛／2×10-2米2
=686帕


4．如图4所示，体积为1×10-3米3、密度为5×103千克/米3的均匀实心正方体甲和盛有水的轻质柱形容器乙放在水平桌面上，乙容器的底面积为2×10-2米2。
水对容器底部的压强
放入甲物体前
放入甲物体后
p水(帕)
1960
2156
图4
甲
乙

①求甲的质量m甲；
②将甲物体浸没在乙容器的水中，测得甲物体放入前后水对容器底部的压强如表所示：
(a)求放入甲物体前乙容器中水的深度h水；
(b)请根据表中的信息，通过计算判断将甲物体放入容器时是否有水溢出？若无水溢出请说明理由；若有水溢出请求出溢出水的质量m溢水。
【答案】
① m甲=ρ甲V甲=5×103千克/米3×1×10-3米3=5千克
② （a） h水=p水/（ρ水g）=1960帕/（1000千克/米3×9.8牛/千克）=0.2米
（b）有水溢出。
h'水=p'水/（ρ水g） =2156帕/（1000千克/米3×9.8牛/千克）=0.22米
V溢水=V甲-(h'水-h水)S乙=1×10-3米3-(0.22米-0.2米)×2×10-2米2=6×10-4米3
m溢水=ρ水V溢水=1×103千克/米3×6×10-4米3=0.6千克
5．如图5所示，圆柱体甲和轻质薄壁圆柱形容器乙置于水平地面。甲的质量为4千克，乙容器的底面积为2×10-2米2，内有0.2米深的水。



乙


图5
甲

① 求甲对地面的压力F甲。
②求水对乙容器底部的压强p水。
③ 将甲浸没在乙容器的水中，容器对桌面的压强p乙为2940帕，通过计算说明容器中的水有无溢出。
【答案】
① F甲＝G甲＝m甲g＝4千克×9.8牛/千克＝39.2牛
② p水＝ρ水gh
＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1960帕
若水没有溢出，
p乙＝F/S＝G总/S乙＝（G水+ G甲）/S乙
＝（m水g+ m甲g）/S乙
＝ρ水gh+ m甲g/S乙
＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米+4牛×9.8牛/千克/（2×10-2米2）
＝3920帕
p乙 >2940帕 所以有水溢出。
Δp容（帕）
Δp水（帕）
980
0
6．将底面积为2×10-2米2、盛有深度为0.3米水的薄壁轻质圆柱形容器放置在水平地面上。求：
①水的质量m水。
②水对容器底部的压强p水。
③现将一体积为1×10-3米3实心均匀小球直接放入该容器后，小球浸没并静止在容器底，分别测得小球放入前后容器对水平地面的压强变化量Δp容及水对容器底部的压强变化量
Δp水，如右表所示，计算小球的密度。
【答案】
（1）m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×2×10-2米2 ×0.3米＝ 6千克
（2）p水＝ρ水gh水＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.3米＝2.94×103帕
（3）由于水对容器底部的压强变化量Δp水＝0，
所以小球浸没后，容器中的水溢出
Δp容＝ΔF/S容＝(G球－G溢)/S容＝(ρ球Vg－ρ水Vg) /S容
ρ球＝Δp容S容/Vg +ρ水
＝980帕×2×10-2米2/1×10-3米3×9.8牛/千克+1×103千克/米3
ρ球＝3×103千克/米3
7．如图10所示，将底面积为1×10-2米2盛有深度为0.3米水的薄壁轻质圆柱形容器放置在水平桌面上。求：
①水的质量m水。

②容器对水平桌面的压强p容。
③现将甲、乙两个实心均匀光滑小球分别放入该容器中，测得两小球放入容器前后水对容器底部的压强，已知甲、乙两小球的质量以及它们的密度，数据如下表所示，求两小球放入容器前后容器对水平桌面的压强变化量Δp甲和Δp乙之差。
小球
放入前压强（帕）
放入后压强(帕)
质量（千克）
密度（千克/米3）
甲
2940
3332
1.0
2500
乙
2940
3430
1.5
1500

【答案】
（1）m水＝r水V水＝1.0×103千克/米3×3×10-3米3＝3千克
（2）p容＝F容/s容＝G水/s容＝m水g/s容＝（3千克×9.8牛/千克）/1×10-2米2＝2940帕
（3）由表格中数据可知，两小球放入容器前后水对容器底部的压强差为392帕和490帕，水面升高分别为0.04米和0.05米，计算两小球的体积可确定甲球放入后水没有溢出，乙球放入后水溢出体积是乙球的一半体积。
Δp甲= m甲g/s容=980帕
Δp乙= （m乙- m溢）g/s容=980帕
∆p甲 - ∆p乙=0
8．盛有水的薄壁圆柱形容器置于水平地面，其底面积为2×10-2米2，甲和乙是由同种金属制成、体积不同的圆柱体。若只在圆柱形容器内轻放入甲（或乙）时，甲（或乙）浸没在水中，且有水溢出容器。现测得甲（或乙）轻放入容器后，容器对桌面的压强p、水对容器底部的压强p'以及溢出水的质量m，并记录在下表中。
所放的
圆柱体
容器对桌面的压强p（帕）
水对容器底部的压强p'（帕）
溢出水的质量m（千克）
甲
9800
4900
2
乙
11760
4900
4


① 求容器的高度h。
② 求放入甲后容器对桌面的压力F甲。
③（a）求甲、乙质量的差值∆m；
（b）求制成圆柱体金属的密度r。
【答案】
① h 容=h 水= = =0.5米
② F甲 = p甲S = 9800帕×2×10-2米2 =196牛
③（a）m 容甲= = = = 20千克
G容乙= F乙= p乙S=11760帕×2×10-2米2 =235.2牛
m 容乙= = = 24千克
∆m=（24千克+ 4千克）－（20千克+ 2千克）=6千克
（b）∆V =V水溢= = =2.0×10-3米3
ρ= = =3.0×103千克/米3
9．如图9所示，薄壁轻质圆柱形容器甲和均匀实心圆柱体乙置于水平桌面上。甲容器高为3h，底面积为2S，内盛有深为2h的水；圆柱体乙高为4h，底面积为3S。





图9
乙
甲

① 若甲容器中水的体积为4×10-3米3，求水的质量m水。
② 若h等于0.1米，求水对甲容器底部的压强p水。
③ 现沿竖直方向在圆柱体乙上切去底面积为S的部分，并将切去部分竖直置于容器甲的水中后，自然静止沉在容器底部，此时甲容器对水平桌面的压强p容′与切去后的乙对水平桌面的压强p乙′之比为5:8。求圆柱体乙的密度ρ乙。
【答案】
（1）m水＝ρ水V＝1×103千克/米3×4×10-3米3 ＝ 4千克
（2）p水＝ρ水gh水＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×2×0.1米＝1.96×103帕
（3）G水溢＝ρ水（S×3h－2S×h）g ＝ρ水Shg
F′＝G水+G切－G水溢＝4ρ水Shg +4ρ乙Shg－ρ水Shg ＝3ρ水Shg +4ρ乙Shg
p容′：p乙′＝5：8
F′/S 容 ：4ρ乙gh＝5：8
（3ρ水Shg +4ρ乙Shg）/2S ：4ρ乙gh＝5：8
ρ乙＝3×103千克/米3
10. 如图10所示，均匀圆柱体甲和薄壁圆柱形容器乙放置在水平地面上。甲的质量为2千克，底面积为5×10-3米2，乙的底面积为2×10-2米2。
① 若水深为0.15米，求水对容器乙底部的压强p水。
②现将实心圆柱体丙先后叠放至甲的上部、竖直放入容器乙水中静止。下表记录的是上述过程中丙浸入水中的体积V浸、甲对水平地面压强变化量和容器乙对水平桌面的压强变化量。
请根据上述信息求出丙的重力G丙和水对容器乙底部的压强变化量
甲 乙
图10


【答案】
① p水＝ρ水gh
＝103千克/米3×9.8牛/千克×0.15米=1470帕
② △P甲=△F甲/S甲
G丙=△F甲=△P甲S甲=5880帕×0.005米2=29.4牛
△F容=△P容S乙=980帕×0.02米2=19.6牛＜29.4牛，有溢出
V溢=（G丙-△F容）/（ρ水g）
=（29.4牛-19.6牛）/（103千克/米3×9.8牛/千克）
=0.001米3
△h=（V浸-V溢）/S乙 =（0.0015米3-0.001米3）/2×10-2米2=0.025米
△p水＝ρ水g△h＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.025米=245帕
11．质量为0.2千克、底面积为0.01米2、容积为2×10-3米3的薄壁容器内装入0.15米深的某液体后，容器对桌面的压力与液体对容器底部的压力恰好都为11.76牛。
（1）求该液体对容器底的压强。
（2）求该液体的密度、体积。
（3）若在容器内再放入一质量为1.5千克、体积为1.5×10-3米3的实心物块，且物块浸没。求物块静止后容器对桌面压强的增加量。
【答案】
（1）p液=F液/S=11.76牛/0.01米2=1176帕
（2）ρ液=p液/gh=1176帕÷（9.8牛/千克×0.15米）=800千克/米3
G液=F容-G容=11.76牛-0.2千克×9.8牛/千克=9.8牛
V液=m液/ρ液=G液/ρ液g
=9.8牛÷(9.8牛/千克×800千克/米3）=1.25×10-3米3
（3）V溢=V液+V物-V容=0.75×10-3米3
m溢=ρ液V溢=800千克/米3×0.75×10-3米3=0.6千克
ΔP容=ΔF容/S=ΔG容/S=(m物-m溢)g/S
=（1.5千克-0.6千克）×9.8牛/千克÷ 0.01米2
=882帕
12．如图12所示，均匀实心圆柱体A和盛有适量水的薄壁圆柱形容器置于水平地面上，它们的底面积分别为2S和3S，圆柱体A的质量为m。
①若从容器内抽出质量为0.5千克的水，求抽出的水的体积。
②求圆柱体A对水平地面的压强。
③若容器高为0.12米、底面积为3×10-2米2，现沿水平方向从圆柱体A上方截取一部分∆A放入水中，截取部分∆A的质量为4.8千克，分别测出∆A放入容器前后，容器对水平桌面的压强p容、水对容器底部的压强p水，如下表所示。求圆柱体A密度的最大值。
容器对桌面、水对容器底压强
∆A放入前
∆A放入后
p容（帕）
2450
3430
p水（帕）
980
1176



图12
A


【答案】
① V水＝m水/ρ水＝0.5千克/1×103千克/米3＝0.5×10-3米3
② pA＝FA/ SA＝GA/2 S＝mg /2 S
③ 因为DF容＜GΔA，所以有水溢出。
因为Dp容>Dp水，所以ΔA在水中一定沉底。
G溢＝GΔA－DF容＝17.64牛
V溢＝G溢/ρ水g ＝1.8×10-3米3
原来水的深度h＝p水前/ρ水g＝0.1米
原容器内空的体积V空＝3×10-2米2×0.02米＝0.6×10-3米3
V排= V溢+V空＝1.8×10-3米3+0.6×10-3米3＝2.4×10-3米3
VΔA≥2.4×10-3米3
圆柱体A密度的最大值
ρAmax＝mΔA/VΔAmin＝4.8千克/2.4×10-3米3＝2×103千克/米3
13．如图13所示，水平地面上置有轻质薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙。甲的底面积为0.01米2、高为0.3米，盛有0.2米深的水；乙的底面积为0.005米2、高为0.8米，质量为8千克。




图13
甲
0.2米
0.3米
0.8米
乙

①求水对甲底部的压强p水。
②求乙的密度r乙。
③若在乙上方沿水平方向切去一部分，并将切去部分竖直放在甲容器内，此时水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力，求甲容器对地面压强的变化量Δp甲。
【答案】
① p水＝ρ水gh＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1960帕
② ρ=m/V =8千克/(0.005米2×高为0.8米)=2×103kg/m3
③ 水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力F水 =F乙
因为F=PS
所以ρ水gh水S甲=ρ乙gh乙S乙
ρ水gh水2S乙=2ρ水gh乙S乙
h水=h乙 即水的深度等于乙剩余部分的高度
当（V水+V´乙）= V容 时（水刚好满）需乙的高度
h´乙=（V容-V水）/S乙=（3×10-3米3-2×10-3米3）/0.005米2 = 0.2米
所以h甲=h乙=0.3米
V溢=（V乙浸-V上升）=0.3米×0.005米2-0.1米×0.01米2=5×10-4米3
△P甲=△F甲/ S甲＝△G/S甲
＝（G乙切 – G溢）/ S甲
=（5千克–103千克/米3×5×10-4米3）×9.8牛/千克/0.01米2
＝4410Pa。
14．如图14所示，一个重为6牛、容积为V容的圆柱形容器放在水平地面上，容器的底面积S为2×10-2米2。



图14

① 求该容器对水平地面的压强p地面。
② 若在该容器中倒入体积为V水的水后，求水面下0.1米
深处水的压强p水。
③ 若将一个体积为V物的金属物块浸没在水中后，讨论水对容器底部压强增加量的变化范围。（要求：讨论中涉及的物理量均用字母表示）
【答案】
①p地面＝F/S＝G容器/S
＝6牛/（2×10-2米2）＝300帕
②p水＝ρ水gh
＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
③若容器中未装满水，且当物块体积V物块≥V容器－V水时，放入物块后，水对容器底部压强的增加量最大，即为：
△p1＝ρ水g△h＝ρ水g（V容器－V水）/S
若容器中装满水，则放入物块后，因水的溢出，水对容器底部的压强不变，即为：
△p2＝0
则水对容器底部压强增加量的变化范围为：
0≤△p≤ρ水g（V容器－V水）/S
15．质量为2千克，边长为0.1米实心正方体合金。底面积为0.1米2的薄壁圆柱形轻质容器放在水平地面上，容器内盛有10千克的水。
求：①正方体合金的密度ρ金
②水对薄壁圆柱形轻质容器底部的压强p水。
③若将实心正方体合金浸没在薄壁圆柱形轻质容器的水中后，发现容器对水平地面压强的变化量为147帕，实心正方体合金浸没后 （选填“有”或“没有”）水从容器中溢出。如果选择“有”，请计算溢出水的重力。如果选择“没有”，请说明理由。
【答案】
① ρ=m/V=2千克/（0.1米）3=2×103千克/米3
② F= G=mg =10千克×9.8牛/千克=98牛
p＝F /S =98牛/0.1米2=980帕
③ Δp＝ΔF /S =（2千克×9.8牛/千克）/0.1米2=196帕＞147帕。
所以“有”水溢出。
G溢=ΔF=ΔP′S
=(196帕–147帕) ×0.1米2
=4.9牛
16．如图16所示，薄壁轻质圆柱形容器甲和均匀实心圆柱体乙置于水平桌面上。甲容器高为3h，底面积为2S，内盛有深为2h的水；圆柱体乙高为4h，底面积为3S。





图16
乙
甲

① 若甲容器中水的体积为4×10-3米3，求水的质量m水。
② 若h等于0.1米，求水对甲容器底部的压强p水。
③ 现沿竖直方向在圆柱体乙上切去底面积为S的部分，并将切去部分竖直置于容器甲的水中后，自然静止沉在容器底部，此时甲容器对水平桌面的压强p容′与切去后的乙对水平桌面的压强p乙′之比为5:8。求圆柱体乙的密度ρ乙。
【答案】①4kg ； ② 1.96×103帕 ； ③ 3×103千克/米3。
【解析】
（1）m水＝ρ水V
＝1×103千克/米3×4×10-3米3
＝ 4千克
（2）p水＝ρ水gh水
＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×2×0.1米
＝1.96×103帕
（3）G水溢＝ρ水（S×3h－2S×h）g ＝ρ水Shg
F′＝G水+G切－G水溢＝4ρ水Shg +4ρ乙Shg－ρ水Shg
＝3ρ水Shg +4ρ乙Shg
p容′：p乙′＝5：8
F′/S 容 ：4ρ乙gh＝5：8
（3ρ水Shg +4ρ乙Shg）/2S ：4ρ乙gh＝5：8
ρ乙＝3×103千克/米3
17．重为2牛、底面积为1×10-2米2的薄壁容器内盛有0.2米深的水，放在水平桌面的中央，若容器对桌面的压强为1.4×103帕。求：
①水对容器底的压强p水。
②容器对桌面的压力F容器。
③若薄壁容器底面积范围为S～4S，现将一密度范围为0.6ρ水～6ρ水、体积为2×10-3米³的物体放入容器中，求容器对桌面压强变化量△p的最大值和最小值及其对应的条件。
【答案】
①p水=ρgh=1.0×103kg/m3×9.8N/kg×0.2m=1960Pa；
②容器对桌面的压力：F容器=pS=1.4×103Pa×1×10-2m2=14N；
③当容器内原来装满水，且物体密度为0.6ρ水～ρ水时，△pmin＝0
当放入物体后，容器内水未溢出，且物体密度为6ρ水，容器面积为S时容器对桌面压强变化量△p最大。
△p最大＝G/S＝12ρ水g×103米3/S
18．盛有水的薄壁圆柱形容器置于水平地面，其底面积为2×10-2米2，甲和乙是由同种金属制成、体积不同的圆柱体。若只在圆柱形容器内轻放入甲（或乙）时，甲（或乙）浸没在水中，且有水溢出容器。现测得甲（或乙）轻放入容器后，容器对桌面的压强p、水对容器底部的压强p'以及溢出水的质量m，并记录在下表中。




所放的
圆柱体
容器对桌面的压强p（帕）
水对容器底部的压强p'（帕）
溢出水的质量m（千克）
甲
9800
4900
2
乙
11760
4900
4


① 求容器的高度h。
② 求放入甲后容器对桌面的压力F甲。
③（a）求甲、乙质量的差值∆m；
（b）求制成圆柱体金属的密度r。
【答案】
① h 容=h 水= = =0.5米
② F甲 = p甲S = 9800帕×2×10-2米2 =196牛
③（a）m 容甲= = = = 20千克
G容乙= F乙= p乙S=11760帕×2×10-2米2 =235.2牛
m 容乙= = = 24千克
∆m=（24千克+ 4千克）－（20千克+ 2千克）=6千克
（b）∆V =V水溢= = =2.0×10-3米3
ρ= = =3.0×103千克/米3






六、在容器里加柱形物体后，柱形物体是否浸没
一、例题
【例题1】如图1所示，水平地面上有一质量为1千克的薄壁柱形容器，另有一个质量为4千克的圆柱体甲，甲的底面积是容器底面积的一半。容器中盛有水，将甲放入水中，分别测出甲放入容器前后，容器对水平桌面的压强p容、水对容器底部的压强p水，如下表所示。
容器对桌面、水对容器底压强
甲放入前
甲放入后
p容（帕）
2450
4410
p水（帕）
1960
2450
图1
甲


①求圆柱体甲放入容器前水的深度。
②求容器的底面积。
③放入圆柱体甲后，通过计算判断柱形容器的水是否有溢出。
④请判断甲在水中的状态并说明理由（提示：漂浮、浸没、未浸没等）。
⑤求圆柱体甲的密度。
【答案】①0.2米；②2×10-2米2 ；③无水溢出；④浸没；⑤4×103千克/米3。
【答案】
①h水＝p水前/ρ水g
＝1960帕/（1×103千克/米3×9.8牛/千克）＝0.2米
②Dp＝p容前－p水前＝DF/ S容＝G容/ S容
S容＝G容/Dp
＝（1千克×9.8牛/千克）/（2450帕－1960帕）＝2×10-2米2
③甲放入水中，容器对水平桌面增大的压力
DF容=Dp S容=（4410帕-2450帕）×2×10-2米2=39.2牛
DF容=G甲，所以无水溢出。
④因为Dp容>Dp水，所以圆柱体甲在水中一定沉底，且S甲=S/2，p水后<2p 水前，所以甲在水中一定浸没（若未浸没时，S甲=S/2，后来水的深度h水后=2h水前，p水后=2p 水前）。
⑤因为DF容=G甲，所以无水溢出
Dh水＝Dp水/ρ水g
＝490帕/1×103千克/米3×9.8牛/千克 ＝0.05米
V甲＝V排＝S容Dh水＝2×10-2米2×0.05米＝1×10-3米3
ρ甲＝m甲/V甲＝4千克/ 1×10-3米3＝4×103千克/米3
【例题2】如图2所示，水平桌面上放有轻质圆柱形容器A（容器足够高）和实心圆柱体B。容器A内装有深为0.1米的水，实心圆柱体B的质量为4千克、高为0.2米、底面积为0.01米2。求：




图2
A
B

（1）圆柱体B的密度。
（2）水对容器底部的压强。
（3）将圆柱体B竖直放入容器A中，能浸没在水中时，容器A对水平桌面压强的最小值。
【答案】（1）2×103千克/米3；（2）980帕；（3）2940帕。
【解析】
（1）VB=SBh B=0.2米×0.01米2=2×10-3米3
由密度公式ρB=mB/VB=4千克/（2×10-3米3）=2×103千克/米3
（2）p =ρ水gh水
=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
（3）因为容器A对水平桌面的压力等于水的重力与B的重力的和是不变的，要求容器A对水平桌面的压强最小，应该满足容器的底面积最大才可以，但水的体积是一定的，底面积大时不一定浸没，所以要同时满足这两个条件，只有物体竖直放入且刚好浸没时，才可以。
先求容器的最大底面积Smax：Smax×0.2米=0.1米×Smax+0.2×0.01米3
Smax=0.02米2
再求容器A对水平桌面压强的最小值：
Pmin=F/Smax=（G物+G水）/Smax
=m物g/Smax +ρ水gh水
Pmin=4千克×9.8牛/千克/0.02米2+1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米
Pmin=2940帕

【例题3】如图3所示，有一个底面积S2为3.0×10-2米2、足够深的柱状容器，其内有一个底面积S1为1.0×10-2米2高为0.2米的金属柱状实心物体，现不断向容器内注入水。





h
S2
S1
图3

①当加入水的体积为2×10-3米3时，求水对容器底部的压强；
②当加入水的质量为6千克时，求水对容器底部的压力。
【答案】①980帕；②78.4牛。
【解析】
此类问题的计算难点是判断容器内的水是否浸没物体，根据数学知识即可。
①如果物体未被浸没，则水为柱形，底面积为（S2—S1），高度为
h水=V水 / （S2—S1）＝2×10-3米3/（3.0×10-2米2－1.0×10-2米2）=0.1米
小于物体的高度高0.2m，所以物体没有被浸没，水的深度为0.1米。
水对容器底部的压强 p =ρ水gh水
=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
②若水的质量为6千克时，体积为
V水＝m水/ρ水＝6千克/ 103千克/米3＝6×10-3米3
如果物体未被浸没，则水的高度为
h水=V水 / （S2—S1）＝6×10-3米3/（3.0×10-2米2－1.0×10-2米2）=0.3米
可见大于物体的高度高0.2m，所以物体被浸没。
物体的体积为V甲＝1.0×10-2米2×0.2m＝2×10-3米3
水的深度为
h水=（V水 + V物）/ S2＝（6×10-3米3+2×10-3米3）/3.0×10-2米2=0.27米
水对容器底部的压强
p =ρ水gh水
=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.27米＝2646帕
水对容器底部的压力
F = pS＝2646帕×3.0×10-2米2＝78.4牛
二、练习题
1．如图1所示，薄壁柱形容器B置于水平地面上，均匀立方体A放置在容器B内，已知A的边长a为0.1米，重力大小为15牛；B的底面积为5×10-2米2。




图1
A
B

⑴求立方体A对容器B底部施加的压强pA。
⑵若再向容器B内缓慢注入质量为4千克的水，求水对容器B底部的压强p水。
【答案】
(1) 因为立方体A放置在水平面上不动，所以立方体A对容器B底部施加的压强为：
pA=FA/SA=G/S=15牛/ /10-2米2=1500帕
（2） V水＝ m水／ρ水=4千克/1.0×103千克/米3= 4×10-3米3
假设水倒入容器B后，水面没有超出立方体的顶部，则水深
h＝＝＝＝0.1米
因为水深h等于立方体A 的边长a，所以假设成立。
因此p水＝ρ水gh＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝9.8×102帕。
2．如图2所示，均匀实心圆柱体甲和盛有水的薄壁圆柱形容器置于水平地面上，容器足够高，它们的底面积分别为S和3S，容器中水的深度为h，甲的重力为G。



图2
甲

①求甲对水平地面的压强。
②若容器中水的体积为2×10-3米3，求水的质量。
③现沿水平方向将甲截去一定厚度，并将截去部分放入容器内的水中，发现甲所截的厚度H满足一定条件时，将它放入水中后，水对容器底的压强增加量△p水与H无关。请通过计算说明H应满足的条件及△p水。（水的密度表示为ρ水）
【答案】①G/ S；②2千克；③H≥1.5h； 0.5ρ水hg
【解析】
① P甲＝F甲/ S甲＝G/ S
② m水＝ρ水V水 ＝1×103千克/米3×2×10-3米3＝2千克
③圆柱体甲在水中沉底且不浸没时，水对容器底的压强增加量与甲的厚度H无关。
且S甲=S/3，水能上升到的最大深度为h水后＝1.5h，所以甲所截的厚度H≥1.5h
△h水＝1.5h－h＝0.5h
△p水＝0.5ρ水hg
3．如图3所示，圆柱体甲的体积为2×10-3米3，高为0.2米，甲的密度为2×103千克/米3。





放入物体前
放入物体后
p液（帕）
p0
2p0

图3
0.2米
甲
乙
0.25米

① 求甲的质量m甲。
② 求甲竖直放置时对水平地面的压强p甲。
③ 现有一底面积为2×10-2米2、高为0.25米的薄壁圆柱形容器乙放置在水平地面上。在容器乙中盛有质量为2千克的某种液体，将甲竖直放入其中至容器底，并分别测出甲放入前后液体对容器底部的压强p液，如下表所示。求容器乙中液体密度的最小值。
【答案】
①m甲＝ρ甲V甲＝2×103千克/米3×2×10-3米3＝4千克
②p甲＝ρ甲gh甲＝2.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝3920帕
③ 因为p液’=2p液，所以h液’=2h液，柱体不浸没或刚好浸没





4.如图4（a）所示，两个完全相同的薄壁圆柱形容器放在水平地面上。容器中分别盛有酒精和水，酒精的体积为米（已知千克/米）。将图4（b）所示的实心圆柱形金属块（底面积为容器底面积的一半），分别竖直放入酒精和水中（液体都不溢出），同时测出放入金属块前后酒精和水对容器底部的压强和，如下表所示。求：
①酒精的质量。
②放入金属块前容器中水的深度。

放入金属块前
放入金属块后
P酒（帕）
2352
4312
P水（帕）
1960
3920





图4
(b)
（a）
水
酒精

③已知金属块放入液体后有浸没、未浸没、恰好浸没三种状态。
i ) 分析比较金属块放入酒精前后，酒精的压强：，可推出；同时结合已知条件S金=S容/2，可分析推出：金属块在酒精中处于___________状态。
ii) 分析比较金属块放水中入前后，水的压强：__________，可知___________，可分析推出：金属块在水中处于未浸没或恰好浸没状态。
iii) 进一步综合分析，并通过计算说明金属块在水中所处的状态。
【答案】
①m酒＝ρ酒V酒＝0.8×103千克/米3×3×10-3米3＝2.4千克
②p水＝ρ水gh水＝103千克/米3×9.8牛/千克×h水
h水＝ 0.2m；
③ i）浸没；
ii）P'水=2P水；h'水=2h水，同时结合已知条件 S金=S容/2
iii) 方法一：
因为酒精的总体积不变，h酒=p酒/（ρ酒g）= 0.3米
h'酒=p'酒 /（ρ酒g）=0.55米
△h酒=0.25米
h金=△h酒S/(1/2S) =0.5米
所以金属块在水中未浸没。

方法二：
若金属块在水中恰好浸没
h金=2h水=0.4米 则△h酒= h金×（S/2）/S=0.2米
h''酒=h酒+△h酒=0.5米
但实际金属块放入后酒精高度为 h'酒=p'酒/（ρ酒g）=0.55米
h'酒＞h''酒
所以金属块在水中未浸没。
5．盛有水的柱形容器置于水平地面上，现有一个棱长分别为0.1米、0.1米和0.3米的实心长方体金属块A，将A平放入容器中后，A浸没在水中，如图5所示（图中水面位置未画出）。




图5

（1）求A所受浮力的大小。
（2）若A的质量为8.1千克，求A的密度。
（3）若容器的内底面积为0.05米2，现将A由原平放改成竖放在水中，求容器底受到水的压强变化量的范围。
【答案】
（1）因为浸没，所以V排=V物
F浮=ρ液gV排=ρ水gV排=1.0×103千克／米3×9.8牛/千克×3×10-3米3 =29.4牛
（2）ρ=m/V =8.1千克/0.003米3=2.7×103千克／米3
（3）若原水面高度（竖放后仍保持浸没）：则竖放后水面高度不变，压强的变化量△p水＝0
若原水面高度恰为0.1m：设竖放后水面高度的变化量为△h
则


压强的变化量范围是0~490pa

6．如图6（a）所示，轻质薄壁圆柱形容器甲置于水平地面，容器高0.2米，内盛0.15米深的水，水对容器底部压力为29.4牛。



（a） （b）
图6
0.2米
甲
0.15米
乙
h

① 求水对容器底部的压强p水。
② 求容器的底面积S容。
③ 现有面积为0.5S容、高为h、密度为5×103千克/米3圆柱体乙，如图6（b）所示，将乙竖直放入容器甲中，若要使水对容器底部的压强p水′最大，求h的最小值。
【答案】
① p水＝ρ水gh
＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.15米
＝1.47×103帕
② S容＝F/ p
＝29.4牛/（ 1.47×103帕）
＝2×10-2米2
③ V甲上＝V乙小
S甲×（0.2米－0.15米）＝0.5S甲×h乙小
h乙小＝0.1米
7. 薄壁圆柱形容器甲的质量为0.4千克，底面积为1×10-2米2，容积为3×10-3米3，置于水平桌面上，内盛0.2米深的水。
① 求甲底部受到的水的压强p水。
② 现将质量为3.6千克的物体乙轻放入甲内，且乙浸没在水中。
（a）求甲对桌面达到的最大压强p甲。
（b）当甲对桌面达到最大压强时，求乙的最小密度r乙。
【答案】
① P水=ρ水g h
=1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米3
=1960帕
②（a） F甲max=G max=（m容+m水+ m物）g
=6千克×9.8牛/千克=58.8牛
p甲max= Fmax/s=58.8牛/1×10-2米2=5880帕
（b）V乙max= V容- V水=3×10-3米3-2×10-3米3=1×10-3米3
ρ乙min= m物/ Vmax
=3.6千克/1×10-3米3=3.6×103千克/米3
8．如图8所示，放在水平地面上的薄壁圆柱形容器A、B，底面积分别为4×10-2米2、6×10-2米2，高均为0.5米。A中盛有6.4千克的酒精（已知ρ酒＝0.8×103千克/米3）、B中有一底面积为3×10-2米2、高为0.25米、质量为15千克的实心金属块甲，同时盛有水，水深0.12米。求：




A B
图8

甲


①甲的密度；
②酒精对容器底的压强；
③若再向两容器中分别倒入体积相同的酒精和水，是否有可能使液体对容器底的压强相同。若有可能请求出体积值，若不可能请通过计算说明。
【答案】
①ρ甲＝m甲/V甲
＝15千克/（3×10-2米2×0.25米）＝2×103千克/米3
②p酒＝F酒/S酒
＝m酒g/S酒
＝6.4千克×9.8牛/千克/4×10-2米2＝1568帕
③p水’＝p酒’
V1＝3×10-3米3
h水=0.22米＜h铜 成立。
V2＝7.5×10-3米3
0.25米＜h水’＜0.5米成立。


9．如图9所示，在水平桌面上放有两个完全相同的薄壁柱形容器A、B，底面积为5×10-3米2，高0.6米，容器中分别盛有0.7千克水和0.2米深的酒精（ρ酒精=0.8×103千克/米3），求：




铜柱
B
图9
A

①A容器中水的体积V水；
②B容器中酒精对容器底部的压强p酒精；
③将两个底面积为2.5×10-3米2、完全相同的实心铜质圆柱体分别放入A、B容器底部，要求：当圆柱体高度h为一定值时，容器内的液体对各自底部的压强大小相等（即p水’=
p酒精’）。计算出圆柱体高度的可能值。
【答案】
① V水=m水/ρ水=0.7千克/1×103千克/米3 =0.7 ×10-3米3
② p酒=ρ酒g h酒 =0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米=1568 帕
③ 因为容器内的液体对各自底部的压强大小相等 即p水’= p酒精’
所以 ρ酒g h酒’=ρ水g h水’
h酒’S容= h酒S容+h铜S容/2
h铜 =0.3m
ρ酒g h酒”=ρ水g h水”
ρ酒g（V酒+ S铜h铜”）/ S容=ρ水g（V水+ S铜h铜”）/ S容
h铜” =0.2m
10．如图10所示，水平地面上置有轻质薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙。甲的底面积为0.01米2、高为0.3米，盛有0.2米深的水；乙的底面积为0.005米2、高为0.8米，质量为8千克。




图10
甲
0.2米
0.3米
0.8米
乙

①求水对甲底部的压强p水。
②求乙的密度r乙。
③若在乙上方沿水平方向切去一部分，并将切去部分竖直放在甲容器内，此时水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力，求甲容器对地面压强的变化量Δp甲。
【答案】
① p水＝ρ水gh＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1960帕
② ρ=m/V =8千克/(0.005米2×高为0.8米)=2×103kg/m3
③ 水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力F水 =F乙
因为F=PS
所以ρ水gh水S甲=ρ乙gh乙S乙
ρ水gh水2S乙=2ρ水gh乙S乙
h水=h乙 即水的深度等于乙剩余部分的高度
当（V水+V´乙）= V容 时（水刚好满）需要乙的高度
h´乙=（V容-V水）/S乙=（3×10-3米3-2×10-3米3）/0.005米2 = 0.2米
所以h甲=h乙=0.3米
V溢=（V乙浸-V上升）=0.3米×0.005米2-0.1米×0.01米2=5×10-4米3
△P甲=△F甲/ S甲＝△G/S甲
＝（G乙切 – G溢）/ S甲
=（5千克–103千克/米3×5×10-4米3）×9.8牛/千克/0.01米2
＝4410Pa。






1