2021届高考物理一轮复习第13章振动波动光电磁波相对论实验19用单摆测重力加速度的大小教案（含解析）

实验十九　用单摆测重力加速度的大小

一、实验目的

1．练习使用秒表和刻度尺、测单摆的周期。

2．用单摆测重力加速度的大小。

二、实验原理

当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。

三、实验器材

带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。

四、实验步骤

1．让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。

2．把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。

3．测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出摆球直径D，则单摆的摆长l＝L＋。

4．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放摆球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期。

5．改变摆长，重做几次实验。

五、数据处理

1．公式法：测出30次或50次全振动的时间t，利用T＝求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度。

2．图象法：由单摆周期公式不难推出：l＝T2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l­T2的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k＝，即可利用g＝4π2k求重力加速度。

六、误差分析

1．系统误差

主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可视为质点，球、线是否符合要求，振幅是否足够小，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。

2．偶然误差

主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0,1,2，…在数“0”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应多次测量后取平均值。

七、注意事项

1．悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。

2．单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。

3．选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。

4．摆球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长L。

实验原理及操作

1．某实验小组在“利用单摆测定当地重力加速度”的实验中：

(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为         cm。

(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是        (填选项前的字母)。

A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时

B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为

C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大

D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小

[解析](1)游标卡尺读数为0.9 cm＋7×0.01 cm＝0.97 cm。

(2)单摆符合简谐运动的条件是摆线偏离平衡位置的夹角小于5°，并从平衡位置开始计时，故A错误；若摆球第一次过平衡位置计为“0”，则周期T＝，若摆球第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝，故B错误；由T＝2π 得g＝，其中l为摆长，即悬线长加摆球半径，若代入悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；选择密度较大体积较小的摆球，能够将摆球视为质点和减小空气阻力引起的误差，故D错误。

[答案](1)0.97　(2)C

2．根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。

甲　　　   　　乙　　　　

(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为         mm。

(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有          。(填正确选项序号)

a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些

b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的

c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度

d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T

e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝

[解析](1)按照游标卡尺的读数原则测得小钢球直径为18 mm＋7×0.1 mm＝18.7 mm。

(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小，密度大的；偏角不超过5°，故a、b正确，c错误。为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后计算出一次全振动所用的时间，故d错误，e正确。

[答案](1)18.7　(2)abe

数据处理与分析

1．某同学在用单摆测定重力加速度的实验中进行了如下的操作：

(1)用游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示，可读出摆球的直径为         cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长l。

(2)用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为1，单摆每经过最低点计一次数，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝         s(结果保留三位有效数字)。

(3)测量出多组周期T、摆长l的数值后，画出T2­l图线如图丙所示，此图线斜率的物理意义是        。

A．g   B．

C.   D．

(4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小        。

A．偏大   B．偏小

C．不变   D．都有可能

[解析](1)摆球的直径为d＝20 mm＋6× mm＝20.6 mm＝2.06 cm。

(2)停表的读数为t＝60 s＋7.5 s＝67.5 s，

根据题意有

t＝T＝T，所以周期T＝＝2.29 s。

(3)根据单摆的周期公式T＝2π，可得

T2＝l，所以T2­l图线的斜率k＝，选项C正确。

(4)因为＝＝k(常数)，所以＝＝k，

若误将摆线长当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足＝＝k，所以由图线的斜率得到的重力加速度不变。

[答案](1)2.06　(2)2.29　(3)C　(4)C

2．(1)在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝        。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是       m。若测定了40次全振动的时间为75.2 s，计算可得单摆周期是         s。

(2)为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上(如图乙所示)，即图中用“·”表示的点，则：

甲　　　　　　　　　　乙

①单摆做简谐运动应满足的条件是                      。

②根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝         m/s2(结果保留两位有效数字)。

[解析](1)由T＝2π ，可知g＝。由题图甲可知：摆长l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m。单摆周期T＝＝1.88 s。

(2)①单摆做简谐运动应满足的条件是摆线偏离平衡位置的夹角小于5°。②T2和l的关系图线如图所示，直线斜率k＝≈4.0，由g＝＝，可得g≈9.9 m/s2。

[答案](1)　0.875 0　1.88　(2)①摆线偏离平衡位置的夹角小于5°　②见解析图　9.9

实验拓展与创新

高考实验题一般源于教材而不拘泥于教材，是在教材实验的基础上创设新情境。因此，要发现创新角度，善于用基本实验的原理、方法和技巧处理新问题。本实验的常见创新角度如下：

1．(2019·江苏省扬州市期末检测)在“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验中，摆球在垂直纸面的平面内摆动，如图甲所示，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻。光敏电阻(光照时电阻比较小)与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为        。若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将        (选填“变大”“不变”或“变小”)。

甲　　            　　乙

[解析]　单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置，单摆都会挡住细激光束，从R­t图线可知周期为2t0。摆长等于摆线的长度加上小球的半径，根据单摆的周期公式T＝2π，摆长变大，所以周期变大。

[答案]　2t0　变大

2．某小组在做“用单摆测定重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2π ，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图甲所示，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50 kg。

甲　　　　　　　　乙

(1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示________。

(2)Ic的国际单位为________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后两位)。

(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。

[解析]　(1)由T＝2π ，可得T2r＝＋r2，所以图中纵轴表示T2r。

(2)Ic单位与mr2单位一致，因为mr2的国际单位为kg·m2，所以Ic的国际单位为kg·m2。

结合T2r＝＋r2和题图中的截距和斜率，解得Ic的值约为0.15。

(3)重力加速度g的测量值是通过求斜率得到的，与质量无关，所以若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值不变。

[答案]　(1)T2r　(2)kg·m2　0.15　(3)不变

3.在“利用单摆测重力加速度”的实验中：(1)某同学尝试用DIS测量周期。如图所示，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方。图中磁传感器的引出端A应接到数据采集器。使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于________。若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为________(地磁场和磁传感器的影响可忽略)。

(2)多次改变摆长使单摆做小角度摆动，测量摆长L及相应的周期T。此后，分别取L和T的对数，所得到的lg T­lg L图线为________(选填“直线”“对数曲线”或“指数曲线”)；读得图线与纵轴交点的纵坐标为c，由此得到该地重力加速度g＝________ 。

[解析]　(1)磁传感器的引出端A应接到数据采集器，从而采集数据。单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最低点(或平衡位置)。若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为。

(2)由T＝2π可知lg T＝lg ＋lg L，故lg T­lg L图线为直线。由题意可知lg ＝c，故g＝。

[答案]　(1)最低点　　(2)直线