2021届高考物理一轮复习第11章交变电流传感器第1节交变电流的产生及描述教案（含解析）

第1节　交变电流的产生及描述

一、交变电流、交变电流的图象

1．交变电流

大小和方向都随时间做周期性变化的电流。

2．正弦式交变电流的产生和图象

(1)产生：在匀强磁场里，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动。(如图所示)

(2)图象：线圈从中性面位置开始计时，如图甲、乙、丙所示。

甲　　　　　　 乙 　　　　　丙

二、正弦式交变电流的函数表达式、峰值和有效值

1．周期和频率

(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T＝。

(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数。单位是赫兹(Hz)。

(3)周期和频率的关系：T＝或f＝。

2．交变电流的瞬时值、峰值和有效值

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，一定会产生正弦式交变电流。   (×)

(2)线圈在磁场中转动的过程中穿过线圈的磁通量最大时，产生的感应电动势也最大。                            (×)

(3)矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动经过中性面时，线圈中的感应电动势为零，电流方向发生改变。              (√)

(4)交流电气设备上所标的电压和电流值是交变电流的有效值。

  (√)

(5)交流电压表和电流表测量的是交流电的峰值。 (×)

2．(人教版选修3－2P34T3改编)如图所示，单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，设磁感应强度为0.01 T，线圈边长AB为20 cm，AD为10 cm，转速n为50 r/s，则线圈转动时感应电动势的最大值为(　　)

A．1×10－2 V   B．3.14×10－2 V

C．2×10－2 V   D．6.28×10－2 V

D　[感应电动势最大值Em＝BSω＝BS·2πn＝6.28×10－2 V。]

3．(人教版选修3－2P35“思考与讨论”改编)某交变电流的i­t图象如图所示，则其电流的有效值为(　　)

A．1.5 A   B．2 A

C. A   D． A

[答案]　C

4．(沪科版选修3－2P59T4改编)如图为某正弦式交变电流的图象，则该电流的瞬时值表达式为(　　)

A．i＝10sin(100πt)A   B．i＝10sin(10πt)A

C．i＝20sin(50πt)A   D．i＝20sin(100πt)A

D　[由题图可知T＝0.02 s，则ω＝＝100π rad/s。当t＝0.002 5 s时，i＝14.14 A，代入i＝Imsin ωt得Im＝20 A。所以电流的瞬时值表达式为i＝20sin(100πt)A。]

5.(多选)(人教版选修3－2P34T5改编)如图所示，闭合的矩形导体线圈abcd在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，沿着OO′方向观察，线圈沿顺时针方向转动。已知匀强磁场的磁感应强度为B，线圈匝数为n，ab边的边长为L1，ad边的边长为L2，线圈电阻为R，转动的角速度为ω，则当线圈转至图示位置时(　　)

A．线圈中感应电流的方向为abcda

B．线圈中的感应电动势为2nBL2ω

C．穿过线圈的磁通量随时间的变化率最大

D．线圈ad边所受安培力的大小为，方向垂直纸面向里

[答案]　AC

交变电流的产生及变化规律　

1．一个矩形线圈在匀强磁场中转动产生的电动势e＝200·sin 100πt(V)，下列说法正确的是(　　)

A．该交变电流的频率是100 Hz

B．当t＝0时，线圈平面恰好与中性面垂直

C．当t＝ s时，e达到峰值

D．该交变电流的电动势的有效值为200 V

C　[由交变电流的电动势瞬时值表达式e ＝ nBSω·sin ωt可知， 交变电流的频率f ＝  ＝ Hz ＝50 Hz，选项A错误；在t＝0时，电动势瞬时值为0，线圈平面恰好在中性面处，选项B错误；当t＝ s时，e达到峰值Em＝200 V，选项C正确；该交变电流的电动势的有效值E＝＝200 V，选项D错误。]

2．(多选)(2016·全国卷Ⅲ)如图所示，M为半圆形导线框，圆心为OM；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为ON；两导线框在同一竖直面(纸面)内；两圆弧半径相等；过直线OMON的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面。现使线框M、N在t＝0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面且过OM和ON的轴，以相同的周期T逆时针匀速转动，则(　　)

A．两导线框中均会产生正弦交流电

B．两导线框中感应电流的周期都等于T

C．在t＝时，两导线框中产生的感应电动势相等

D．两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等

BC　[两导线框匀速转动切割磁感线产生感应电动势的大小不变，选项A错误；导线框的转动周期为T，则感应电流的周期也为T，选项B正确；在t＝时，切割磁感线的有效长度相同，两导线框中产生的感应电动势相等，选项C正确；M导线框中一直有感应电流，N导线框中只有一半时间内有感应电流，所以两导线框的电阻相等时，感应电流的有效值不相等，选项D错误。]

3．(2019·宣城市第二次调研)图甲为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的固定轴OO′(OO′沿水平方向)匀速转动，线圈的两端经集流环和电刷与电阻R＝10 Ω连接，与电阻R并联的交流电压表为理想电压表，示数是10 V。 图乙是矩形线圈中磁通量随时间t变化的图象。线圈内阻不计，则(　　)

甲　　　　　　　乙

A．此交流发电机的电动势平均值为10 V

B．t＝0.02 s时R两端的电压瞬时值为零

C．R两端的电压u随时间t变化的规律是u＝10cos (100πt) V

D．当ab边速度方向向上时，它所受安培力的方向也向上

C　[矩形线圈绕垂直于磁场的转轴匀速转动，产生正弦交流电，外电阻R＝10 Ω，电压表示数为10 V，说明＝10 V，即电动势最大值为Em＝10 V，所以平均值一定比Em＝10 V小，选项A错；根据题图乙知t＝0时磁通量等于0，可判断t＝0时电动势最大，所以电动势随时间变化的规律为u ＝ Emcosωt ＝10cos(100πt) V，选项C对；将t＝0.02 s代入电动势瞬时值表达式，得U＝10 V，选项B错；根据楞次定律，感应电流总是阻碍线圈的转动，所以当ab边速度方向向上时，它所受安培力的方向向下，选项D错。]

1．交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)

2.交变电流瞬时值表达式的书写

(1)确定正弦交变电流的峰值，根据已知图象读出或由公式Em＝nBSω求出相应峰值。

(2)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。如：

①线圈在中性面位置开始计时，则i­t图象为正弦函数图象，函数表达式为i＝Imsin ωt。

②线圈在垂直于中性面的位置开始计时，则i­t图象为余弦函数图象，函数表达式为i＝Imcos ωt。

有效值的理解与计算　

1.(2018·全国卷Ⅲ)一电阻接到方波交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q方；若该电阻接到正弦交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q正。该电阻上电压的峰值均为u0，周期均为T，如图所示。则Q方∶Q正等于(　　)

A．1∶   B．∶1

C．1∶2   D．2∶1

D　[根据焦耳定律知热量与方波中的电流方向的变化无关，故Q方＝T；而正弦交流电电压的有效值等于峰值的，故Q正＝T＝·T，所以＝，D正确。]

2．如图所示为一个经双向可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦交流电的每一个二分之一周期中，前面四分之一周期被截去。现在电灯上电压的有效值为(　　)

A．Um   B． 

C.   D．

D　[从u­t图象上看，每个周期正弦波形的有效值U1＝，根据有效值的定义：T＝××2＋0，解得：U＝，D正确。]

3.(多选)(2017·天津高考)在匀强磁场中，一个100匝的闭合矩形金属线圈，绕与磁感线垂直的固定轴匀速转动，穿过该线圈的磁通量随时间按图示正弦规律变化。设线圈总电阻为2 Ω，则(　　)

A．t＝0时，线圈平面平行于磁感线

B．t＝1 s时，线圈中的电流改变方向

C．t＝1.5 s时，线圈中的感应电动势最大

D．一个周期内，线圈产生的热量为8π2 J

AD　[A对：t＝0时，Φ＝0，故线圈平面平行于磁感线．

B错：线圈每经过一次中性面电流的方向改变一次，线圈经过中性面时，磁通量最大，故在t＝0.5 s、1.5 s时线圈中的电流改变方向。在t＝1 s时线圈平面平行于磁感线，线圈中的电流方向不变。

C错：线圈在磁场中转动，磁通量最大时，感应电动势为0，磁通量为0时，感应电动势最大，故t＝1.5 s时，感应电动势为0。

D对：线圈中感应电动势的最大值

Em＝nBωS＝nωΦm＝nΦm＝100××0.04 V＝4π V，

有效值E＝＝2π V，

故在一个周期内线圈产生的热量

Q＝T＝×2 J＝8π2 J。]

1．对有效值的理解

(1)交流电流表、交流电压表的示数是指有效值；

(2)用电器铭牌上标的值(如额定电压、额定功率等)指的均是有效值；

(3)计算热量、电功率及保险丝的熔断电流指的是有效值；

(4)没有特别加以说明的，是指有效值；

(5)“交流的最大值是有效值的倍”仅适用于正(余)弦式交变电流。

2．计算交变电流有效值的方法

(1)计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解。

(2)分段计算电热求和得出一个周期内产生的总热量。

(3)利用两个公式Q＝I2Rt和Q＝t可分别求得电流有效值和电压有效值。

(4)若图象部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I＝、U＝求解。

交变电流“四值”的理解和应用　

交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较

　如图甲所示为手机无线充电工作原理的示意图，由送电线圈和受电线圈组成。已知受电线圈的匝数为n＝50匝，电阻r＝1.0 Ω，在它的c、d两端接一阻值R＝9.0 Ω的电阻。设在受电线圈内存在与线圈平面垂直的磁场，其磁通量随时间按图乙所示的规律变化，可在受电线圈中产生电动势最大值为20 V的正弦交流电，设磁场竖直向上。求：

甲　　　　　　　　乙

(1)在t＝π×10－3 s时，受电线圈中产生电流的大小，c、d两端哪端电势高？

(2)在一个周期内，电阻R上产生的热量；

(3)从t1到t2时间内，通过电阻R的电荷量。

[解析](1)由题图乙知t＝π×10－3 s时受电线圈中产生的电动势最大，为Em＝20 V

线圈中产生感应电流的大小为I1＝Im＝＝2.0 A

由楞次定律可以得到此时c端电势高。

(2)通过电阻的电流的有效值为I＝＝ A

电阻在一个周期内产生的热量Q＝I2RT≈5.7×10－2 J

(3)线圈中感应电动势的平均值＝n

通过电阻R的电流的平均值为＝，

通过电阻R的电荷量q＝·Δt

由题图乙知，在～的时间内，ΔΦ＝4×10－4 Wb

解得q＝n＝2×10－3 C。

[答案](1)2.0 A　c端电势高　(2)5.7×10－2 J　(3)2×10－3 C

　交变电流峰值的应用

1．(多选)如图甲所示，标有“220 V　40 W”的电灯和标有“20 μF　300 V”的电容器并联接到交流电源上，V为交流电压表。交流电源的输出电压如图乙所示，闭合开关S，下列判断正确的是(　　)

甲　　　　　　　　乙

A．t＝时刻，V的示数为零

B．电灯恰正常发光

C．电容器有可能被击穿

D．交流电压表V的示数保持110 V不变

BC　[交流电压表V的示数应是电压的有效值220 V，故A、D错误；电压的有效值恰等于电灯的额定电压，电灯正常发光，B正确；电压的峰值220  V≈311 V，大于电容器的耐压值，故电容器有可能被击穿，C正确。]

　交变电流有效值和平均值的计算

2.(多选)如图所示，矩形线圈面积为S，匝数为N，线圈电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R。下列判断正确的是(　　)

A．电压表的读数为

B．当线圈由图示位置转过30°的过程中，通过电阻R的电荷量为

C．在线圈转过一周的过程中，电阻R上产生的焦耳热为

D．当线圈由图示位置转过30°时，通过电阻R的电流为

AD　[电动势的最大值Em＝NBSω，有效值E＝＝，电压表的示数为路端电压的有效值，解得U＝E＝，A正确；线圈由题图所示位置转过30°的过程中，通过电阻R的电荷量q＝＝＝，B错误；在线圈转过一周的时间内电阻R上产生的热量Q＝·＝，C错误；电流的最大值为Im＝＝，电流的瞬时值表达式为i＝Imsin ωt，从题图所示位置转过30°时，ωt＝，此时的电流为i＝＝，D正确。]

　交变电流瞬时值、峰值、有效值的计算

3．(多选)(2019·湖北黄冈中学模拟)如图甲所示是一种振动发电装置的示意图，半径为r＝0.1 m、匝数n＝20的线圈位于辐向分布的磁场中，磁场的磁感线均沿半径方向均匀分布(其右视图如图乙所示)，线圈所在位置的磁感应强度的大小均为B＝ T，线圈电阻为R1＝0.5 Ω，它的引出线接有R2＝9.5 Ω的小电珠L，外力推动线圈框架的P端，使线圈沿轴线做往复运动，线圈运动速度v随时间t变化的规律如图丙所示(摩擦等损耗不计)，则(　　)

甲　　　　　　　乙

丙

A．小电珠中电流的峰值为0.16 A

B．小电珠中电流的有效值为0.16 A

C．电压表的示数约为1.5 V

D．t＝0.1 s时外力的大小为0.128 N

AD　[由题意及法拉第电磁感应定律知道，线圈在磁场中做往复运动，产生的感应电动势的大小符合正弦曲线变化规律，线圈中的感应电动势的峰值为Em＝nBlv＝nB·2πrvm，故小电珠中电流的峰值为Im＝＝ A＝0.16 A，选项A正确，B错误；电压表示数为U＝·R2≈1.07 V，选项C错误；当t＝0.1 s，也就是时，外力的大小为F＝nB·2πrIm＝0.128 N，选项D正确。]

[模式简述]

1．线圈在匀强磁场中匀速转动。

2．线圈不动，匀强磁场匀速转动。

3．导体棒在匀强磁场中做简谐运动。

4．线圈不动，磁场按正弦规律变化。

5．在匀强磁场中导体棒的长度与时间按正弦规律变化。

[典例案例]

案例1　(导体棒在匀强磁场中做正弦式运动)如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，一端接阻值为R的电阻。一电阻为r、质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t＝0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律v＝vmsin ωt，不计导轨电阻。求：

(1)从t＝0到t＝时间内电阻R产生的热量；

(2)从t＝0到t＝时间内外力F所做的功。

[解析]　由导体棒切割磁感线产生的电动势E＝BLv得

e＝BLvmsin ωt

回路中产生正弦交流电，其有效值为E＝

在0～时间内产生的热量

Q＝R·＝

由功能关系得：外力F所做的功

W＝Q＝。

[答案](1)　(2)

案例2　(线圈不动，磁场按正弦规律变化)

如图甲所示，一固定的矩形导体线圈水平放置，线圈的两端接一只小灯泡，在线圈所在空间内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场。已知线圈的匝数n＝100匝，电阻r＝1.0 Ω，所围成的矩形的面积S＝0.040 m2，小灯泡的电阻R＝9.0 Ω，磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，线圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式为e＝nBmScos t，其中Bm为磁感应强度的最大值，T为磁场变化的周期。不计灯丝电阻值随温度的变化，求：

 甲　　　　　　　　乙

(1)线圈中产生感应电动势的最大值；

(2)小灯泡消耗的电功率；

(3)在磁感应强度变化的0～时间内，通过小灯泡的电荷量。

[解析](1)由瞬时值表达式可知线圈中感应电动势的最大值

Em＝nBmS＝8 V。

(2)产生的交流电的电流有效值I＝

小灯泡消耗的电功率P＝I2R＝2.88 W。

(3)0～时间内电流的平均值＝＝

通过小灯泡的电荷量q＝Δt＝n＝0.004 C。

[答案](1)8 V　(2)2.88 W　(3)0.004 C

案例3　(在匀强磁场中导体棒的长度与时间成正弦规律变化)　

如图所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C处分别接有短电阻丝(图中用粗线表示)，R1＝4 Ω、R2＝8 Ω(导轨其他部分电阻不计)，导轨OAC的形状满足方程y＝2sin(单位：m)。磁感应强度B＝0.2 T的匀强磁场方向垂直于导轨平面，一足够长的金属棒在水平外力F作用下，以恒定的速度v＝5.0 m/s水平向右在导轨上从O点滑动到C点，金属棒与导轨接触良好且始终保持与OC导轨垂直，不计金属棒的电阻，求：

(1)外力F的最大值；

(2)金属棒在导轨上运动时电阻丝R1上消耗的最大功率；

(3)在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系。

[解析](1)当金属棒滑至A位置时，有效切割长度最大，为2 m，产生的最大感应电动势

Em＝BLmv＝0.2×2×5 V＝2 V

电路的总电阻

R总＝＝ Ω，

最大感应电流Im＝＝ A＝0.75 A。

最大安培力F安＝BImLm＝0.2×0.75×2 N＝0.3 N，

由平衡条件可知，外力F的最大值Fm＝F安＝0.3 N。

(2)感应电动势最大时，电阻丝R1上消耗的功率最大，其最大功率

P1＝＝ W＝1 W。

(3)金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化

L＝2sin，x＝vt，E＝BLv

I＝＝·2sin＝sin A。

[答案](1)0.3 N　(2)1 W　(3)I＝sin A

正弦交流电的产生归根结底还是发生了“正弦式”的电磁感应，产生了正弦式感应电动势，根据E＝BLv，可以分别在B、L、v这三个物理量上做文章。感兴趣的考生可以再重温一下e＝Emsin ωt和Em＝nBSω的推导过程。