2020广东中考数学精准大二轮复习专题突破：7专题七 解直角三角形的应用

专题七　解直角三角形的应用

类型一 简单应用

(2019·惠阳区模拟)为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝100千米，∠A＝45°，∠B＝30°.

(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？

(2)开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)

【分析】 (1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在 Rt△ACD 中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；

(2)在Rt△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出答案．

【自主解答】

1．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C，测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°，上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)

类型二 仰角、俯角问题

(2019·空港经济区模拟)如图，为了测量矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，求警示牌的高度CD.(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)

【分析】 根据CD＝CM－DM，求出CM，DM即可解决问题．

【自主解答】

2．(2019·铜仁)如图，A，B两个小岛相距10 km，一架直升机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的h km，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A，B，P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，≈1.732)．

类型三 方向角问题

(2019·菏泽)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里．再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．

【分析】 过点B作BD⊥AC于点D，构建直角三角形进行解答即可．

【自主解答】

3．(2019·新疆)如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．

(1)求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离(结果保留根号)；

(2)若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)

类型四 坡度、坡角问题

如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除．(结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732)

【分析】 在Rt△ABC，Rt△DBC中，利用锐角三角函数分别计算AB，DB，然后计算DH的长，根据DH与3的关系得结论．

【自主解答】
 

4．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27)

参考答案

类型一

【例1】 (1)如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D.

∵AB⊥CD，

∴CD＝BC·sin 30°＝100×＝50(千米)，

AC＝＝50(千米)，

AC＋BC＝100＋50(千米)．

答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走(100＋50)千米．

(2)∵BD＝BC·cos 30°＝100×＝50(千米)，

CD＝BC＝50(千米)．

AD＝＝50(千米)，

∴AB＝AD＋BD＝50＋50(千米)，

∴AC＋BC－AB＝100＋50－(50＋50)＝50＋50－50(千米)．

答：开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走(50＋50－50)千米．

跟踪训练

1．解：在Rt△APC中，

AC＝PC·tan∠APC≈30×2.9＝87，

同理BC≈21，

∴AB＝AC－BC＝87－21＝66，

∴汽车的车速为＝11(米/秒)＝39.6(千米/小时)<40(千米/小时)．

答：该车没有超速．

类型二

【例2】 在Rt△ADM中，

∵AM＝4，∠MAD＝45°，∴DM＝AM＝4.

∵AB＝8，∴MB＝AM＋AB＝12.

在Rt△BCM中，

∵∠MBC＝30°，∴MC＝MB·tan 30°＝4，

∴DC＝MC－DM＝4－4≈2.9(米)．

答：警示牌的高度CD约为2.9米．

跟踪训练

2．解：由题意得，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝10 km，

在Rt△APM和Rt△BPM中，

tan A＝＝，tan B＝＝1，

∴AM＝＝h，BM＝h.

∵AM＋BM＝AB＝10，∴h＋h＝10，

解得h＝15－5≈6.

答：h约为6 km.

类型三

【例3】 如图，过点B作BD⊥AC于点D.

由题意得∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80.

在Rt△ADB中，

sin 60°＝＝，∴BD＝AB＝40.

在Rt△BCD中，

sin 45°＝＝，

∴BC＝BD＝40.

答：BC的距离是40海里．

跟踪训练

3．解：(1)如图，作PC⊥AB于C，

则∠PCA＝∠PCB＝90°.

由题意得PA＝80，∠APC＝45°，∠BPC＝90°－30°＝60°，

∴△APC是等腰直角三角形，∠B＝30°，

∴AC＝PC＝PA＝40.

答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里．

(2)海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处．

理由如下：∵∠PCB＝90°，∠B＝30°，

∴BC＝PC＝40，

∴AB＝AC＋BC＝40＋40，

∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间＝≈5.15(小时)>5小时，

∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处．

类型四

【例4】 由题意知，AH＝10米，BC＝10米．

在Rt△ABC中，

∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10米．

在Rt△DBC中，

∵∠CDB＝30°，∴DB＝＝10(米)，

∴DH＝AH－(DB－AB)＝10－10＋10

＝20－10≈2.7(米)．

答：该建筑物需要拆除．

跟踪训练

4．解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10，

∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin 30°＝5.

在Rt△ACD中，∠ACD＝15°，sin∠ACD＝，

∴AC＝＝≈19.2.

答：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2 m.