千题百炼——高中数学100个热点问题（三）：第97炼 不等式选讲

第97炼 不等式选讲

一、基础知识：

（一）不等式的形式与常见不等式：

1、不等式的基本性质：

（1）

（2）（不等式的传递性）

注：，等号成立当且仅当前两个等号同时成立

（3）

（4）

（5）

（6）

2、绝对值不等式：

（1）等号成立条件当且仅当

（2）等号成立条件当且仅当

（3）：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当

3、均值不等式

（1）涉及的几个平均数：

① 调和平均数：

② 几何平均数：

③ 代数平均数：

④ 平方平均数：

（2）均值不等式：，等号成立的条件均为：

（3）三项均值不等式：

①   

②

③

4、柯西不等式：

等号成立条件当且仅当或

（1）二元柯西不等式：，等号成立当且仅当

（2）柯西不等式的几个常用变形

① 柯西不等式的三角公式：

②

②式体现的是当各项系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。

③

5、排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，则有：

即“反序和乱序和顺序和”

（二）不等式选讲的考察内容：

1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立

2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”

3、解不等式（特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节）

二、典型例题：

例1：若不等式恒成立，则的取值范围为________．

思路：本题为恒成立问题，可知，所以只需求出的最小值即可，一种思路可以构造函数，通过对绝对值里的符号进行分类讨论得到分段函数：，进而得到，另一种思路可以想到绝对值不等式：，进而直接得到最小值，所以，从而

答案：

例2：若存在实数使得成立，求实数的取值范围

思路：本题可从方程有根出发，得到关于的不等式，从而解出的范围

解：依题意可知二次方程有解

即

当时，    

当时，恒成立 

当时，   

综上所述，可得

例3：已知函数

（1）当时，解不等式

（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围

（1）思路：所解不等式为，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式

解：（1）当时，   

当时，    

当时，  

综上所述：不等式的解集为

（2）思路：若不等式恒成立，可知只需即可，含绝对值，从而可通过分类讨论将其变为分段函数，通过分析函数性质即可得到，所以

解：恒成立

考虑

在单调递减，在单调递增

例4：已知都是正数,且,求的最大值

思路一：已知为常数，从所求入手，发现被开方数的和为也为常数，所以想到均值不等式中“代数平均数平方平均数”，进而求得最大值

解：

等号成立当且仅当

思路二：由所求可联想到柯西不等式（活用1）：，从而可得：即，所以可知

小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数”。证明的过程如下：

例5：已知是实数，且，则的最大值是__________

思路：考虑将向进行靠拢，由柯西不等式可知，对照条件可知令即可，所以，则

答案：

小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。

例6：已知实数满足，则的取值范围是____________

思路：本题的核心元素为，若要求的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于的不等关系，考虑到，联想到柯西不等式，则有，代入可得：解得：，验证等号成立条件：在时均有解。

答案：

例7：已知均为正数，求证：，并确定为何值时，等号成立

思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中互为倒数时，，右侧为一个常数。，从而将左侧的项均转化为与相关的项，然后再利用基本不等式即可得到最小值，即不等式得证

解：由均值不等式可得：

等号成立条件：

例8：已知

（1）若，求的最小值

（2）求证：

（1）思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与找到联系，从而想到柯西不等式的变式：，从而

解：

由柯西不等式可得：

（2）所证不等式等价于：，观察左右的项可发现对左边任意两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即： ，三式相加即完成证明

证明：由均值不等式可得：

三式相加：

即

小炼有话说：对于求倒数和（即为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可供使用：和，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，第一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。

例9：设，求证：

思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证不等式等价于，化简后可得：①，所证不等式为轮换对称式，则不妨给定序，即，则，由①的特点想到排序不等式，则为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必然较小，所以有，两式相加即可完成证明。

证明：

将所证不等式两边同取对数可得：

所证不等式为轮换对称式

不妨设

可得：

即证明不等式

小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即，从而能够使用排序不等式。

例10：设正数满足

（1）求的最大值

（2）证明：

（1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由得，则，下面考虑将进行转化，向 靠拢，利用基本不等式进行放缩，可得：，再求关于的表达式的最大值即可。

解：

的最大值为，此时

（2）思路：由（1）可知的最大值为，且所证不等式的左边分母含有项，所以考虑向的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：，可得：

，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可证明不等式

解：由柯西不等式可得：

由（1）知

等号成立条件：

三、历年好题精选

1、设

（1）求证：

（2）若不等式对任意非零实数恒成立，求的取值范围

2、（2014吉林九校联考二模，24）已知关于的不等式

（1）当时，求此不等式的解集；

（2）若此不等式的解集为，求实数 的取值范围．

3、（2015，福建）已知，函数的最小值为4

（1）求的值

（2）求的最小值

4、（2015，新课标II）设均为正数，且，证明：

（1）若，则

（2）是的充要条件

5、（2015，陕西）已知关于的不等式的解集为

（1）求实数的值

（2）求的最大值

6、已知定义在上的函数的最小值为

（1）求的值

（2）若是正实数，且满足，求证：

7、（2014，江西）对任意的，的最小值为（    ）

A.                B.                C.               D. 

8、（2014，浙江）（1）解不等式：

（2）设正数满足，求证：，并给出等号成立条件

9、（2016，苏州高三调研）设函数

（1）证明：

（2）若，求实数的取值范围

习题答案：

1、解析：（1）

（2）恒成立不等式为：

设

当时，

当时，不成立

当时，    

2、解析：（1）时，不等式为

或，解得

（2）问题转化为，不等式恒成立

设

或

3、解析：（1）

（2）

，等号成立条件：

4、解析：（1）

从而不等式得证

（2）若，则

即

，由（1）可得

若，则

即

综上所述：是的充要条件

5、解析：（1）

不等式解得：

（2）由（1）可得：

由柯西不等式可得：

6、解析：（1）

（2）由柯西不等式可得：

7、答案：C

解析：

8、解析：（1）当时，解得

当时，解得  

当时。解得   

综上所述：解集为

（2）由可得：

由柯西不等式可得：

等号成立条件：

9、解析：（1）

（2）即

时，不等式转化为：

解得：

当时，

解得：

综上所述：不等式的解集为：