山西省运城市2025-2026学年高二下学期7月期末考试试卷 数学（含解析）

这是一份山西省运城市2025-2026学年高二下学期7月期末考试试卷 数学（含解析），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知展开式中的系数为，则实数的值为（ ）
A．B．C．3D．6
4．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．若，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ ）
A．0B．C．D．
二、多选题
9．关于函数，则下列选项正确的是（ ）
A．图象关于直线对称B．在单调递增
C．的值域为D．有两个零点
10．已知随机变量，若，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．事件“”与事件“”相互独立
11．已知，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．的最小值为
C．的最小值为2D．最小值为
三、填空题
12．已知，，则__________．
13．在平面直角坐标系中，一个质点从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，4次移动后质点落在圆内，不同的移动方法共有______种.
14．给定正整数n，数集满足对于任意的，都存在使得.若，，且，则______.
四、解答题
15．已知集合，集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围.
16．蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集到一只蝗虫的产卵数y（单位：个）和温度x（单位：℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.
整理收集到的数据，得到下表：
表中，，，.
(1)根据残差图，选择哪个模型的拟合效果更好？说明理由.根据所选的模型，利用上表中的数据，求出y关于x的回归方程；
(2)据统计，该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.若该地每年平均温度达到30℃以上的概率为，设该地今后5年需要人工防治的年数为，求的均值和方差.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
17．已知定义在上的函数满足以下条件：①；②当时；③，均有，且.
(1)求，并用表示；
(2)证明是增函数；
(3)对，，恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数（且，），且函数为奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)设，证明：曲线为中心对称图形，并求的值；
(3)若函数图象与图象有3个交点，求实数a的取值范围.
19．某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：每局比赛胜者得1分.负者得0分，没有平局，总共进行奇数局比赛，全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是p（），各局比赛之间的结果互不影响.
(1)当时，若两队共进行3局比赛，求甲队最终获胜的概率；
(2)若两队共进行局比赛，.当，且时，记事件“在前局比赛中甲队赢了k（，1，2，…，）局”，事件“甲队最终获胜”，求，的值；
(3)若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，，在进行局比赛时获胜概率记为，已知.证明：单调递减.
参考答案
1．B
【详解】由解得.
因为，所以.
2．A
【详解】因带量词的命题的否定为：改变量词，否定结论，
故命题“，”的否定是“”.
3．B
【详解】对于，根据二项式展开式的通项公式得，
令的次数为，即，解得.
将代入得的系数，
由题意知，故实数的值为.
4．A
【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误；
CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误；
A选项，函数，定义域为，
，函数为奇函数，图象关于原点对称，
当或时，；当或时，.
A选项正确.
5．D
【详解】因，故A显然不合要求；
对于B，若取，显然满足，但得不出，
即不是的充分条件，不合题意；
对于C，因，故也不是的充分条件，不合题意；
对于D，，故可得，即是的充分条件；
同时，因，若取满足，但得不出，
即不是的必要条件，故D正确.
6．D
【详解】对数函数在上单调递增，且，
所以，即；
对数函数在上单调递增，且，
所以，即；
对数函数在上单调递增，且，
所以，即；
综上可得．
7．C
【详解】已知函数，，
则，因此是偶函数，图象关于轴对称，
若函数有且仅有个不同的零点，则且在有且仅有个不同的零点，
所以，即，
当时，，则，，
所以，
由于此时有且仅有个不同的零点，需满足，解得，
因此实数的取值范围是.
8．B
【详解】已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，
因为为奇函数，所以，则函数的图象关于点对称.
因为函数，且为偶函数，则，
所以函数的图象关于直线对称，即.
由，且，可得，，
则对任意成立，即，所以是奇函数.
由函数的图象关于点对称，且为奇函数，
可得，
用代替x，则，所以函数的一个周期为4.
因为是奇函数，其图象是一条连续不断的曲线，所以，
由，且，
令，可得，
令代入得，所以.
因为函数的周期为4，所以，，，.
由，可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
可以发现： ，，
依次类推：每4项为一个周期，每个周期的和为，40项中共有10个周期，
所以.
9．AD
【详解】函数
需满足，即定义域为，
由对数的运算法则得到，
对于A项，因为，
所以，即图象关于直线对称，故A正确；
对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴，
时，单调递增，时，单调递减，
因为外层函数在单调递增，
所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误；
对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增，
所以当时，函数有最大值，
又因为当或时，函数，，
所以函数的值域为，故C错误；
对于D项，令，即，得到，
整理得到，解得，
所以函数有两个零点，故D正确.
10．ABD
【详解】已知随机变量，则正态分布的均值，正态曲线关于对称，方差，逐个分析选项：
选项A：根据方差性质，因此，故A正确；
选项B：由对称性得，可得，
又，由对称性得，B正确；
选项C：.
由对称性.
因此，C不正确.
选项D：记事件，即，事件，
则，概率，
，
，则，故相互独立，D正确.
11．ACD
【详解】对于A，由去分母，整理得，因，，
则，且，因，则有，故A正确；
对于B，由A得，则，
因，则，当且仅当，
即时取等号，此时的最小值为，故B错误；
对于C，由去分母，得，即得，
因，，则，当且仅当时等号成立，
由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确；
对于D，由A得，代入，得，
设，则，
当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确.
12．1
【详解】由可得，又，
则.
13．132
【详解】因为质点每次移动一个单位，4次移动后横纵坐标均为整数，可得到横纵坐标同奇偶，原点，
满足，另外四个点分别为，，，，均满足，
情况1：到原点的路径数，分三类情况，
①仅上下移动：向上两步，向下两步，排列数为，
②仅左右移动：向左两步，向右两步，排列数，
③上下左右各1步：四个不同方向各走一步，全排列数为，
总路径数：，
情况2：到点的路径数，即向右比向左多一步，向上比向下多一步，总步数为4，分两类情况，
①抵消步为上下方向，向右一步，向上两步，向下一步，排列数为，
②抵消步为左右方向，向右两步，向左一步，向上一步，排列数为，
所以到的总路径数为，同理到，，三个点的路径数也均为24，
所以四个点总路径数为，所以所有符合条件的移动方法总数为：.
14．3
【详解】当 时，取 ，则，命题成立；
当 或 时，命题也显然成立；
由题意，对 ，应有
故或或，
解得
又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以
15．(1)
(2)
【详解】（1），
不等式，可化为，
所以，即，
所以，
当时，，
∴.
（2）∵，∴.
由（1），.
因为集合非空，∴，解得，
∴实数a的取值范围是.
16．(1)①拟合效果更好.理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好.
(2)，
【详解】（1）①拟合效果更好.
理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好.
令，则，，
所以，
因此z关于x的线性回归方程为，
所以产卵数y关于温度x的回归方程为.
（2）每年需要人工防治的概率为，且.
所以，.
17．(1)，
(2)，且，则，
因为，所以，所以，
因为当时，，则，所以，所以
又因为时，，所以，所以，
所以，即，
所以是上的单调递增函数.
(3)
【详解】（1）对③式，令，，则，由于，解得，
对③式，令，则，
又因为，即，所以.
（2）略.
（3）由（2）知，是单调递增函数，所以最大值为，
所以对任意，恒成立，即，
令，由于在上单调递增，故需满足最小值，
设，其在上单调递增且，故由，解得，
所以实数的取值范围为.
18．(1)
(2)，，
可知关于对称，即曲线为中心对称图形.
.
(3)
【详解】（1）∵为奇函数，∴，恒成立.
取得，解得（舍去）或，
当时，是奇函数，∴.
（2），，
∴关于对称，即曲线为中心对称图形. ∴.
，
所以.
（3）已知函数图象与图象有3个交点，
即有三个实根，即有三个实根，
令，则原方程等价于关于的二次方程，
因为，可知方程有两个根，
又因为，可知方程的两根一正一负，不妨设.
令，，则​，
令，解得；令，解得；
可知在 单调递增，在单调递减，则，
当趋近于，趋近于0；当趋近于0，趋近于；
若或，方程有且仅有1个不同的解；
若​，方程有且仅有2个不同的解；
若​，方程无实数解；
因为有三个实根，且方程有且仅有1个不同的解，
可知有且仅有2个不同的解，则，
因为，分离参数得，
记，可知在 上单调递减，
要使得，只需，即，
且，可得，
所以的取值范围为 .
19．(1)
(2)，
(3)由全概率公式得
∴，
当时，，
，
∵，∴
∴单调递减.
【详解】（1）甲队最终获胜记为事件M，甲队得分为3分的概率为.
甲队得分为2分的概率为，
.
（2）由题设，前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢k局，
则剩余2局的赢局数，总分满足，
所以对应，即，又，故；
对于对应，即，又，
所以；
（3）略24
2.9
646
168
422688
50.4
70308