2027年新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州高考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份2027年新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州高考数学一模试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知某批零件的长度误差，已知函数，一个频率分布表等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级．某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为，则该班（ ）
A．物理化学等级都是的学生至多有人
B．物理化学等级都是的学生至少有人
C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人
D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人
2．已知集合，，若，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则（ ）
A．B．4C．5D．
4．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，
．）
A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
6．已知函数（，且）在区间上的值域为，则（ ）
A．B．C．或D．或4
7．定义，已知函数，，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）
A．B．C．D．
10．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是 ( )
A．1B．2C．D．
11．的图象如图所示，，若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合，则可取的值的是（ ）
A．B．C．D．
12．从抛物线上一点 (点在轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．
14．已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为________.
15．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.
16．设函数，若存在实数m，使得关于x的方程有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数, ．
（1）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；
（3）求证：（参考数据：ln1.1≈0.0953）．
18．（12分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：
是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券．若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．
附表及公式：．
19．（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：
（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
② 参考数据：，，．
20．（12分）如图，三棱台中， 侧面与侧面是全等的梯形，若，且.
（Ⅰ）若，，证明：∥平面；
（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
21．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，，，求证：.
22．（10分）已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示。
（Ⅰ）求证：AE平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据题意分别计算出物理等级为，化学等级为的学生人数以及物理等级为，化学等级为的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知，名学生减去名全和一科为另一科为的学生人（其中物理化学的有人，物理化学的有人），
表格变为：
对于A选项，物理化学等级都是的学生至多有人，A选项错误；
对于B选项，当物理和，化学都是时，或化学和，物理都是时，物理、化学都是的人数最少，至少为（人），B选项错误；
对于C选项，在表格中，除去物理化学都是的学生，剩下的都是一科为且最高等级为的学生，
因为都是的学生最少人，所以一科为且最高等级为的学生最多为（人），
C选项错误；
对于D选项，物理化学都是的最多人，所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少（人），D选项正确.
故选：D.
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
2、D
【解析】
由题意可得，根据，即可得出，从而求出结果．
【详解】
，且，，
∴的值可以为．
故选：D．
考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．
3、D
【解析】
由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出，结合余弦定理即可求出 的值.
【详解】
解：，即
，即.
，则.
，解得.
，
故选:D.
本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角 的正弦值余弦值.
4、B
【解析】
试题分析：由题意
故选B．
考点：正态分布
5、D
【解析】
试题分析：，,故选D.
考点：点线面的位置关系.
6、C
【解析】
对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.
【详解】
分析知，.讨论：当时，，所以，，所以；当时，，所以，，所以.综上，或，故选C.
本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.
7、A
【解析】
根据分段函数的定义得，，则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【详解】
依题意得，，则,
(当且仅当，即时“”成立.此时,，，的最小值为，
故选：A.
本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出，再由基本不等式求得最值，属于中档题.
8、B
【解析】
计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.
【详解】
由题意可知，样本在的数据个数为，
样本在的数据个数为，
因此，样本在、内的数据个数为.
故选：B.
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
9、A
【解析】
结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．
【详解】
图象上相邻两个极值点，满足，
即，
，，且，
，，
，，，
当时，为函数的一个极小值点，而．
故选：．
本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．
10、D
【解析】
设等比数列的公比为q，，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q．
【详解】
由题意，正项等比数列中，，
可得，即，
与的等差中项为4，即，
设公比为q，则，
则负的舍去，
故选D．
本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．
11、B
【解析】
根据图象求得函数的解析式，即可得出函数的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果.
【详解】
由图象可得，函数的最小正周期为，，
，
则，，取，
，则，
，，可得，
当时，.
故选：B.
本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.
12、A
【解析】
根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标，进而求出点的坐标，代入斜率公式即可求解.
【详解】
设点的坐标为，
由题意知，焦点,准线方程，
所以，解得，
把点代入抛物线方程可得，
，因为，所以，
所以点坐标为，
代入斜率公式可得，.
故选：A
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
因为sin α∈[－1，1]，
所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．
答案：
14、
【解析】
由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.
【详解】
原问题等价于，
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
综上，满足条件的取值范围为.
故答案为：
本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.
15、1
【解析】
由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.
【详解】
因为，所以由正弦定理可得，所以;
所以，当，即时，三角形面积最大.
故答案为(1). 1 (2).
本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.
16、
【解析】
先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.
【详解】
由题意，当时，，此时，此时函数在单调递减，在单调递增，方程最多2个不相等的实根，舍；
当时，函数图象如下所示：
从左到右方程，有4个不相等的实根，依次为，，，，即，
由图可知，故，且，，
从而，
令，显然，
，要使该式在时有最小值，则对称轴，解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得导数，讨论a＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a的范围；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的导数和二阶导数，判断F'（x）的单调性，讨论a≤﹣1，a＞﹣1，F（x）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令；由（2）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，令，结合条件，即可得证．
【详解】
（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），
则，
①若a≤1，则，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）递增，
H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1；
②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）递增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，
且x→+∞时，H'（x）→+∞，则∃x0∈（0，+∞），
使H'（x0）=0进而H（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
所以当x∈（0，x0）时H（x）＜H（0）=0，
即当x∈（0，x0）时，f（x）＞h（x），不满足题意，舍去；
综合①，②知a的取值范围为（﹣∞，1]．
（Ⅱ）解：依题意得，则F'（x）=ex﹣x2+a，
则F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）递增，
所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞时，F'（x）→﹣∞；
①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，
故F（x）在（﹣∞，0）递减，所以F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）无零点；
②若1+a＞0，即a＞﹣1，则使，
进而F（x）在递减，在递增，，
且x→﹣∞时，，
F（x）在上有一个零点，在无零点，
故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．
综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞﹣1时有一个零点．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，
令，则即；
由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，
令，则，所以；
故有．
本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．
18、有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；.
【解析】
由题得，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；
获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．从中随机抽取人，所有基本事件有个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有个，进而求出获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.
【详解】
解析：由题得
所以，有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．
获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．
从中随机抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个．
其中仅有1人是女顾客的基本事件有：，，，，，，，，共个．
所以获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．
本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．
19、（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元.
【解析】
（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；
（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；
（ii）把代入（i）中的回归方程可得值．
【详解】
本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．
解：（1），
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好
（2）（i）先建立关于的线性回归方程.
由，得，即．
由于，
所以关于的线性回归方程为，
所以，则
（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，
代入得，，
又，所以，
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元
本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性
20、 (Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 连接，由比例可得∥，进而得线面平行；
（Ⅱ）过点作的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设，则求得平面的法向量为，设平面的法向量为，由求二面角余弦即可.
试题解析：
（Ⅰ）证明：连接，梯形，,
易知：；
又，则∥；
平面，平面，
可得：∥平面；
（Ⅱ）侧面是梯形，，
,,
则为二面角的平面角， ；
均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则
,故点，
；
设平面的法向量为，则有：；
设平面的法向量为，则有：；
，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
21、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）分、、三种情况解不等式，即可得出该不等式的解集；
（2）利用分析法可知，要证，即证，只需证明即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.
【详解】
（1）.
当时，由，解得，此时；
当时，不成立；
当时，由，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
（2）要证，即证，
因为，，所以，，，
.
所以，.故所证不等式成立.
本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.
22、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5
【解析】
（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AE⊥BD于E，能证明AE⊥平面BCD;
（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;
（Ⅲ）利用体积公式分别求出三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积，再作比写出答案即可．
【详解】
（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，
如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系E-xyz，
设AB=BD=DC=AD=2，
则BE=ED=1，∴AE=，BC=2，BF=，
则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，），
F（，0，0），C（，2，0），
，，
由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为，
设平面ADC的一个法向量，
则，取x=1，得，
∴，
∴二面角A-DC-B的平面角为锐角，故余弦值为．
（Ⅲ）三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比为：1:5.
本题考查线面垂直的证明、几何体体积计算、二面角有关的立体几何综合题，属于中等题.
满意
不满意
男
女
物理
化学