2027届新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州高考数学二模试卷（含答案解析）

这是一份2027届新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州高考数学二模试卷（含答案解析），共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，设复数满足为虚数单位)，则，明代数学家程大位等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙
D．甲的六大素养中数据分析最差
2．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（ ）
A．170B．10C．172D．12
3．已知向量，，则向量在向量上的投影是（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且点到该渐近线的距离为，则双曲线的实轴的长为
A．B．
C．D．
5．设复数满足为虚数单位)，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
8．把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
9．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（ ）
A．B．C．D．
10．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知i是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，，若，则正数可以为（ ）
A．4B．23C．8D．17
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面向量与的夹角为，，，则__________．
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________.
15．已知非零向量的夹角为，且，则______.
16．如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）椭圆：的左、右焦点分别是，，离心率为，左、右顶点分别为，.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、（不与点、重合），直线与直线相交于点，求证：、、三点共线.
18．（12分）己知的内角的对边分别为.设
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
19．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点．若，求取值范围．
20．（12分）已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，，求．
21．（12分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所．
（1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；
（2）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所．
（i）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率；
（ii）记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数，求随机变量的分布列及数学期望．
22．（10分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.
【详解】
根据雷达图得到如下数据：
由数据可知选C.
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.
2、D
【解析】
中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.
【详解】
由茎叶图知，甲的中位数为，故；
乙的平均数为，
解得，所以.
故选：D.
本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.
3、A
【解析】
先利用向量坐标运算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解
【详解】
由于向量，
故
向量在向量上的投影是.
故选：A
本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
4、B
【解析】
双曲线的渐近线方程为，由题可知．
设点，则点到直线的距离为，解得，
所以，解得，所以双曲线的实轴的长为，故选B．
5、B
【解析】
易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知，，所以.
故选：B.
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
6、C
【解析】
由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．
【详解】
①当时，，满足题意，
②当时，，，，，故不恒成立，
③当时，设，，
令，得，，得，
下面考查方程的解的个数，
设（a），则（a）
由导数的应用可得：
（a）在为减函数，在，为增函数，
则（a），
即有一解，
又，均为增函数，
所以存在1个使得成立，
综合①②③得：满足条件的的个数是2个，
故选：．
本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.
7、D
【解析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；
【详解】
解：函数，
要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位．
故选：D．
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．
8、D
【解析】
试题分析：把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象；再将图象向右平移个单位，可得的图象，那么所得图象的一个对称中心为，故选D.
考点：三角函数的图象与性质.
9、C
【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】
，；，；，；
，；，此时不满足，跳出循环，
输出结果为，由题意，得．
故选:
本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.
10、A
【解析】
根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．
【详解】
因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．
令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以
当时，，故，解得．
故选：A．
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
11、D
【解析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果
【详解】
故选
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。
12、C
【解析】
首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可；
【详解】
解：∵，∴当时，满足，∴实数可以为8.
故选：C
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由平面向量模的计算公式，直接计算即可.
【详解】
因为平面向量与的夹角为，所以，
所以;
故答案为
本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.
14、
【解析】
利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果.
【详解】
由正弦定理可知，
，即.
故答案为：.
本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题.
15、1
【解析】
由已知条件得出,可得，解之可得答案.
【详解】
向量的夹角为,且,,可得:,
可得, 解得，
故答案为:1.
本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.
16、.
【解析】
.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）根据已知可得，结合离心率和关系，即可求出椭圆的标准方程；
（2）斜率不为零，设的方程为，与椭圆方程联立，消去，得到纵坐标关系，求出方程，令求出坐标，要证、、三点共线，只需证，将分子用纵坐标表示，即可证明结论.
【详解】
（1）由于，将代入椭圆方程，
得，由题意知，即.
又，所以，.
所以椭圆的方程为.
（2）解法一：
依题意直线斜率不为0，设的方程为，
联立方程，消去得，
由题意，得恒成立，设，，
所以，
直线的方程为.令，得.
又因为，，
则直线，的斜率分别为，，
所以.
上式中的分子
，
.所以，，三点共线.
解法二：
当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，
代入椭圆的方程，得，，
直线的方程为.
则，，，
所以，即，，三点共线.
当直线的斜率存在时，
设的方程为，，，
联立方程消去，得.
由题意，得恒成立，故，.
直线的方程为.令，得.
又因为，，
则直线，的斜率分别为，，
所以.
上式中的分子
所以.
所以，，三点共线.
本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）由正弦定理将，转化，
即，由余弦定理求得， 再由平方关系得再求解.
（2）由，得，结合再求解.
【详解】
（1）由正弦定理，得，
即，则，
而，又，解得，
故.
（2）因为，则，
因为，故，
故，
解得，
故，
则.
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ），．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得，的坐标，结合椭圆离心率，及隐含条件列式求得，的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线，求得的坐标，再设直线，求出点的坐标，写出的方程，联立与，可求出的坐标，由，可得关于的函数式，由单调性可得取值范围．
【详解】
（Ⅰ），，，
，，
由，得，又，，
解得：，，．
椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设直线，则与直线的交点，
又，设直线，
联立，消可得．
解得，，
联立，得，，
直线，
联立，解得，，
，
，，，
，
，
函数在上单调递增，
，．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．
20、（1）;（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用已知及平面向量数量积运算可得，利用正弦定理可得，结合，可求，从而可求的值；（2）由三角形的面积可解得，利用余弦定理可得，故可得.
试题解析：（1）∵，，，
∴，
∴，
即 ，又∵，∴，
又∵，∴．
（2）∵，∴，
又，即，∴，
故．
21、（1） （2）（i）（ii）分布列见解析，
【解析】
（1）先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率，利用事件的独立性即得解；
（2）（i）分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；
（ii），利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计算数学期望即得解.
【详解】
（1）甲从五所高校中任选2所，共有
共10种情况，
甲、乙、丙同学都选高校，共有四种情况，
甲同学选高校的概率为，
因此乙、丙两同学选高校的概率为,
因为每位同学彼此独立，
所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为．
（2）（i）甲同学必选校且选高校的概率为，乙未选高校的概率为，
丙未选高校的概率为，因为每位同学彼此独立，
所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率为．
（ii），
因此
，
．
即的分布列为
因此数学期望为
．
本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望，考查了学生综合分析，概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于中档题.
22、（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.
【解析】
（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.
【详解】
（1），
当时，，在上单调递增；
当时，，，，，
∴在上单调递减，在上单调递增；
当时，，，，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知：
当时，，∴成立.
当时，，
，∴.
当时，
，
，∴，即.
综上.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
数学抽象
逻辑推理
数学建模
直观想象
数学运算
数据分析
甲
4
5
4
5
4
5
乙
3
4
3
3
5
4
0
1
2
3