2027届高考物理 人教版（2019）选修第二册一轮复习学案 专题12 磁场

这是一份2027届高考物理 人教版（2019）选修第二册一轮复习学案 专题12 磁场，文件包含2027届高考物理人教版2019必修第二册一轮复习学案专题07机械能解析版docx、2027届高考物理人教版2019必修第二册一轮复习学案专题07机械能原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。

掌握磁场和磁感应强度的概念，会用磁感线描述磁场，熟悉几种常见磁场模型的磁感线分布图；
会判断安培力的方向，能够计算安培力的大小，会分析计算安培力作用下导体的平衡与加速问题；
掌握洛伦兹力的概念，会分析和计算带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题，会分析计算带电粒子在组合场、叠加场中的问题；
掌握带电粒子在磁场中的多解问题、交变磁场和立体空间中的问题；
了解与磁场相关的仪器，重点掌握质谱仪、回旋加速器和霍尔效应的原理。
核心考点01 磁场中的概念
一、磁场
1、磁性
物质吸引 等物质的性质。
2、磁体
具有 的物体，如磁铁。
3、磁极
磁体上 最强的区域。任何磁体都有两个磁极，一个叫北极（N极），另一个叫南极（S极）。并且，任何一个磁体都有两个磁极，无论怎样分割磁体，磁极总是成对出现，不存在磁单极。
【注意】同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引。
4、磁场的定义
磁体或电流周围存在的一种特殊 ，能够传递磁体与磁体之间、磁体与电流之间、电流与电流之间的相互作用。
【注意】磁场与电场一样，也是一种物质，是一种看不见而又客观存在的特殊物质。存在于磁体、通电导线、运动电荷、地球等的周围。
5、磁场的产生
永磁体周围；电流的周围；运动电荷的周围。
【注意】电流是由于电荷做定向移动形成的，因此运动电荷周围不但有电场，同时也产生磁场。
6、磁场的基本性质
对放入其中的磁极、电流、运动的电荷有 的作用，而且磁体与磁体、磁体与电流、电流与电流间的相互作用都是通过磁场发生的。
7、磁场的方向
小磁针在磁场中其北极受力的方向，即小磁针静止时其 所指的方向。
8、安培分子的电流假说
在原子、分子等物质微粒的内部，存在着一种环形电流——分子电流，分子电流使每个物质微粒都成为微小的磁体，它的两侧相当于两个磁极。
【注意】该假说能够解释磁化、去磁等现象。分子电流的实质是原子内部带电粒子在不停地运动。
9、磁场的电本质
一切磁现象都是起源于电荷的运动。
二、磁感线
1、定义
为了形象描述磁场，在磁场中画出一系列有方向的曲线，在这些曲线上，每一点的曲线方向亦即该点的 方向，都跟该点的磁场方向相同，用其疏密表示磁场的强弱，这一系列曲线称为磁感线。
2、特点
为了形象描述磁场而引入的假想曲线，实际上并不存在。
磁感线上某点的切线方向就是该点的磁场方向。
磁感线的疏密定性地表示磁场的强弱，在磁感线较密的地方磁场相对较强；在磁感线较疏的地方磁场相对较弱。
磁感线是闭合曲线，没有起点和终点。在磁体外部，从N极指向S极；在磁体内部，由S极指向N极。
同一磁场的磁感线不中断、不相交、不相切。
磁感线布满磁体周围的整个空间，是立体的。
3、分类
①条形磁铁、蹄形磁铁、异名磁极、同名磁极的磁感线分别如下图所示：
条形磁铁的磁感线：在磁铁外部两极最密，中间稀疏；在磁铁内部最密，中垂线上磁感线方向与磁铁平行。
蹄形磁铁的磁感线：在磁铁外部两极最密，中间稀疏；在磁铁内部最密。
异名磁极的磁感线：沿中垂线从中点到无限远处，磁感线越来越稀疏，磁场越来越弱。
同名磁极的磁感线：两磁极连线中点磁感线最稀疏，磁场最弱。
②电流的磁感线如下表所示：
【注意】①直线电流的安培定则：用右手握住导线，让伸直的大拇指所指的方向跟电流的方向一致，那么弯曲的四指所指的方向就是磁感线的环绕方向；②环形电流的安培定则：让右手弯曲的四指和环形电流的方向一致，那么伸直的大拇指所指的方向就是环形导线中心轴线上磁感线的方向；③通电螺线管的安培定则：用右手握住螺线管，让弯曲的四指所指的方向跟电流的方向一致，那么大拇指所指的方向就是螺线管内部磁感线的方向，也就是说，大拇指指向通电螺线管的北极。
③地磁场：地球由于自身具有磁性而在其周围产生的磁场叫做地磁场。地磁场与条形磁铁的磁场相似，如下图所示。地磁南极（S极）在地理北极附近，地磁北极（N极）在地理南极附近，二者并不重合；地磁场B的水平分量（Bx）总是从地球南极指向北极，而竖直分量（By）则南北相反，在南半球垂直地面向上，在北半球垂直地面向下；在赤道平面上，距离地球表面相等的各点，磁场强弱相同，且方向水平向北。
④匀强磁场的磁感线：磁感线是疏密程度相同、方向相同的平行直线，如下图所示。
4、磁感线与电场线的比较
三、磁感应强度
1、定义
在磁场中垂直于磁场方向的通电导线受到的安培力F跟 I和导线 L的乘积IL的 叫做通电导线所在处的磁感应强度。
2、表达式
B＝eq \f(F,Il)。该式的使用条件为通电导线必须垂直于磁场方向放置，因为磁场中某点通电导线受力的大小，除和磁场强弱有关以外，还和导线的方向有关，导线放入磁场中的方向不同，所受磁场力一般不相同。通电导线受力为零的地方，磁感应强度B的大小不一定为零，可能是由于电流方向与B的方向在一条直线上。
【注意】磁感应强度是反映磁场强弱的物理量，它是用比值定义法定义的物理量，由磁场自身决定，与是否引入电流元、引入的电流元是否受力及受力大小无关，即B的大小与F、I、l无关。
3、单位
特斯拉，简称特，符号T，1T=1N/（A·m）。
4、物理意义
表征磁场强弱的物理量（用来描述磁场强弱和方向的物理量叫做磁感应强度）。
5、性质
磁感应强度是矢量。遵守矢量分解、合成的平行四边形定则。
6、方向
小磁针静止时N极所指的方向，即N极受力的方向。
小磁针静止时S极所指的反方向，即S极受力的反方向。
磁感应强度的方向就是该点的磁场方向。
磁感线的切线方向。
7、磁感应强度与电场强度的比较
8、磁场的叠加
磁感应强度是矢量，多个通电导体产生的磁场叠加时，合磁场的磁感应强度等于各场源单独存在时在该点磁感应强度的矢量和。
解题思路：①确定磁场场源，如通电导线；②定位空间中需求解磁场的点，利用安培定则判定各个场源在这一点上产生的磁场的大小和方向。如图所示为M、N在c点产生的磁场；③应用平行四边形定则进行合成，如图中的B为合磁场。
磁场的叠加类问题分析方法：①根据安培定则确定通电导线周围磁感线的方向；②磁场中每一点磁感应强度的方向为该点磁感线的切线方向；③磁感应强度是矢量，多个通电导体产生的磁场叠加时，合磁场的磁感应强度等于各场源单独存在时在该点磁感应强度的矢量和。
四、磁通量
1、定义
匀强磁场中 B和与 垂直的平面面积S的乘积。
【注意】磁场与平面不垂直时，这个面在垂直于磁场方向的投影面积S′与磁感应强度B的乘积表示磁通量。
2、单位
国际单位是韦伯，简称韦，符号是Wb，1Wb＝1 T·m2。
3、计算式
Φ＝BS。
4、适用条件
匀强磁场；磁感线与平面垂直（S为垂直磁场的有效面积）。
5、物理意义
相当于穿过某一面积的磁感线的条数。若有磁感线沿相反方向穿过同一平面，则磁通量等于穿过该平面的磁感线的净条数(磁通量的代数和)。
若磁感线与平面不垂直，则Φ＝BScs θ.其中Scs θ为面积S在垂直于磁感线方向上的投影面积S1，如下图所示。
磁通量的计算，如下图所示，矩形abcd、abb'a'、a'b'cd的面积分别为S1、S2、S3，匀强磁场的磁感应强度B与平面a'b'cd垂直，则：①通过矩形abcd的磁通量为BS1cs θ或BS3；②通过矩形a'b'cd的磁通量为BS3；③通过矩形abb'a'的磁通量为0。
同一线圈平面，当它跟磁场方向垂直时，磁通量最大；当它跟磁场方向平行时，磁通量为0；当正向穿过线圈平面的磁感线条数和反向穿过的一样多时，磁通量为0。
6、性质
磁通量是标量，但有正、负，当磁感线从某一面穿入时，磁通量为正值，则磁感线从此面穿出时磁通量为负值。
7、磁通量的变化
ΔΦ＝Φ2－Φ1。几种常见引起磁通量变化的情形：①B改变，S不变，ΔΦ＝ΔB·S； ②B不变，S变化，ΔΦ＝B·ΔS；③B、S两者都变化，ΔΦ＝Φ2－Φ1，不能用ΔΦ＝ΔB·ΔS来计算；④B和S均不变，磁感线方向与线圈平面的夹角θ变化（二者的相对位置发生改变），则ΔΦ＝BS（sin θ2－sin θ1）。
【注意】若磁感线沿相反方向穿过同一平面，且正向磁通量为Φ1，反向磁通量为Φ2，则穿过该平面的磁通量Φ＝Φ1－Φ2。
两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内，EO与O′Q在一条直线上，PO′与OF在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流I，电流方向如图所示．若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为( )
A．B、0 B．0、2B C．2B、2B D．B、B
核心考点2 安培力
一、安培力的方向
1、安培力
通电导线在磁场中受的力。
2、左手定则
伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从 进入，并使四指指向电流的 ，这时 所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。
【注意】安培力F、磁感应强度B、电流I的方向关系：已知I、B的方向，可用左手定则确定F的方向；已知F、B的方向，导线位置确定时，可确定I的方向；已知F、I的方向，不能唯一确定B的方向。
3、特点
通电导线在磁场中所受的安培力F，总垂直于电流与磁感线两者所决定的平面，即F⊥B，F⊥I， F垂直于B和I决定的平面。也就是安培力一定垂直B和I，但B与I不一定垂直。
使用左手定则判断定安培力方向时，左掌手心应迎B垂直于I的分量（B⊥＝Bsinθ）。磁感线方向（磁感应强度方向）不一定垂直于电流方向。
4、判断方法
①弄清楚导体所在位置的磁场分布情况；②利用左手定则准确判定导体的受力情况；③确定导体的运动方向或运动趋势的方向。
【注意】电荷在电场中所受的电场力方向与电场线的方向在同一直线上，而通电导线在磁场中所受的安培力与磁感线垂直。磁场与电场有很多相似之处，但安培力比库仑力复杂得多，点电荷在电场中受力方向与电场方向不是相同就是相反；而电流元在磁场中受安培力的方向与磁场方向和电流方向决定的平面垂直。
安培力的方向总是既与磁场方向垂直，又与电流方向垂直，也就是说安培力的方向总是垂直于磁场和电流所决定的平面，所以判断时要首先确定磁场与电流所确定的平面，从而判断出安培力的方向在哪一条直线上，然后再根据左手定则判断出安培力的具体方向。
当电流方向跟磁场方向不垂直时，安培力的方向仍垂直电流与磁场所决定的平面，所以仍可用左手定则来判断安培力的方向，只是磁感线不再垂直穿过手心，而是斜穿过手心。
5、左手定则与安培定则的比较
二、安培力的大小
1、计算公式
当磁感应强度B的方向与导线方向成θ角时，F＝BILsinθ，这是一般情况下的安培力的表达式。
有两种特殊情况：磁场和电流垂直时：F＝BIL；磁场和电流平行时：F＝0。
【注意】磁场对磁铁一定有力的作用，而对电流不一定有力的作用。当电流方向和磁感线方向平行时，通电导体不受安培力作用。
2、适用范围
一般只适用于匀强磁场。
【注意】对于非匀强磁场，仅适用于电流元（把很短一段通电导线中的电流与导线长度的乘积称为电流元）。非匀强磁场的求解方法：如果导线各部分所处的位置B的大小、方向不相同，应将导体分成若干段，使每段导线所处的范围B的大小和方向近似相同，求出各段导线受的磁场力，然后再求合力。
3、有效长度
弯曲通电导线的有效长度等于两端点所连直线的长度，相应的电流方向由始端指向末端，如下图所示。因为任意形状的闭合线圈，其有效长度L＝0，所以通电后在匀强磁场中，受到的安培力的矢量和一定为零。
4、对公式F＝BILsinθ的理解
F＝BILsinθ中的B对放入的通电导线来说是外加磁场的磁感应强度，不必考虑导线自身产生的磁场对外加磁场的影响；θ是B和I方向的夹角，当θ＝90°时sin θ＝1，公式变为F＝ILB；L指的是导线在磁场中的“有效长度”， 弯曲导线的有效长度。
当B与I垂直时，F最大，F＝ILB；当B与I平行时，F＝0。
公式中的B与L垂直；匀强磁场或通电导线所在区域的磁感应强度的大小和方向相同。
5、电流方向选取原则
当已知磁感线的方向，要判断产生该磁场的电流方向时，选用安培定则判断电流的方向；当已知导体所受安培力的方向时，用左手定则判断电流的方向。
三、安培力作用下导体的平衡与加速问题
1、问题分类
安培力作用下静态平衡问题：通电导体在磁场中受安培力和其它力作用而处于静止状态，可根据磁场方向、电流方向结合左手定则判断安培力方向。
安培力作用下动态平衡问题：此类题目是平衡问题，只是由于磁场大小或方向、电流大小或方向的变化造成安培力变化，与力学中某个力的变化类似的情景。
安培力作用下加速问题：此类题目是导体棒在安培力和其它力作用下合力不再为零，而使导体棒产生加速度，根据受力特点结合牛顿第二定律解题是常用方法。
2、分析思路
明确研究对象：通电导线或通电导体棒；
画平面图：立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，导体棒或导线用圆圈⭕表示，电流方向用“×”或“●”表示，电流垂直纸面向里画，电流垂直纸面向外画⊙；
受力分析和运动分析：分析重力、弹力、摩擦力等，然后由左手定则判断安培力的方向，分析研究对象的运动情况；
列平衡方程或牛顿第二定律的方程式进行求解。
3、求解关键
电磁问题力学化；立体图形平面化（如下图所示）。
4、安培力作用下导体的分析技巧
安培力作用下导体的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法相同，只不过多了安培力，解题的关键是画出受力分析示意图。
安培力作用下导体的加速问题与动力学问题分析方法相同，关键是做好受力分析，然后根据牛顿第二定律求出加速度。
5、安培力做功的特点和实质
安培力做功与路径有关，不像重力、电场力做功与路径无关。
安培力做功的实质是能量转化：①安培力做正功时将电源的能量转化为导线的动能或其他形式的能；②安培力做负功时将其他形式的能转化为电能后储存起来或转化为其他形式的能。
6、安培力作用下导体运动情况的判定方法
如图(a)，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图(b)所示．导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ.下列说法正确的是( )
A．当导线静止在图(a)右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B．电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tan θ与电流I成正比 D．sin θ与电流I成正比
核心考点3 洛伦兹力
一、洛伦兹力
1、定义
磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。
2、方向
判定方法（左手定则）：伸开左手，使 与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从 进入，并使四指指向 运动的方向，这时 所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向.负电荷受力的方向与正电荷受力的方向相反。
【注意】掌心——磁感线垂直穿入掌心；四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；拇指——指向洛伦兹力的方向。
方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
【注意】决定洛伦兹力方向的因素有三个：电荷的电性(正、负)、速度方向、磁感应强度的方向。
3、表达式
，θ为v与B的夹角。
当v∥B（θ＝0°或180°）时，洛伦兹力F＝0；当v⊥B（θ＝90°）时，洛伦兹力F＝0；当v=0时，洛伦兹力F＝0。
4、特点
洛仑兹力方向既重直于磁场方向，也垂直地粒子运动的速度方向，因此洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。
洛仑兹力的大小和方向都与带电粒子运动状态有关，当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
左手判断洛伦兹力方向，但一定分正、负电荷。负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向。
公式F＝qvB中的v是带电粒子相对于磁场的运动速度。
洛伦兹力一定不做功，因为洛伦兹力与速度方向如果始终垂直，则洛伦兹力对物体始终不做功。洛伦兹力对运动电荷永不做功，它不能改变运动电荷速度的大小和动能大小，仅能够改变运动电荷的速度方向。洛伦兹力影响的是带电体所受其他力的大小和带电体的运动时间等。
5、洛伦兹力与安培力的关系
区别：①洛伦兹力是指单个运动电荷所受到的磁场力，而安培力是指电流(即大量定向移动的电荷)所受到的磁场力；②安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
联系：①洛伦兹力是安培力的微观实质，安培力是洛伦兹力的宏观体现，二者是相同性质的力，都是磁场力。②方向关系：洛伦兹力与安培力的方向特点一致，均可用左手定则进行判断；③大小关系：F安＝NF洛(N是导体中定向运动的电荷数)。
【注意】①尽管安培力是自由电荷定向移动时受到的洛伦兹力的宏观表现，但也不能认为安培力就简单地等于所有定向移动电荷所受洛伦兹力的和，一般只有当导体静止时才能这样认为；洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现。
由安培力公式推导洛伦兹力公式：设导体内单位体积上自由电荷数为n，自由电荷的电荷量为q，定向移动的速度为v，设长度为L的导线中的自由电荷在t秒内全部通过面积为S的截面A，如下图所示，导线与磁场垂直，通过导体的电荷量为Q，则有Q＝nqSL＝ngS·vt，又因为I＝eq \f(Q,t)，F安＝BIL，故F安＝Beq \f(Q,t)L＝Beq \f(nqSvt,t)·L＝Bqv·SnL，则洛伦兹力F洛＝eq \f(F安,SnL)，故F洛＝qvB。
6、洛伦兹力与电场力的比较
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1、规律
带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况：①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动；②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺旋线运动。
2、圆周运动的计算公式
①向心力公式：qvB＝meq \f(v2,r)；
②轨道半径公式：r＝eq \f(mv,Bq)；
③周期公式：T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)；f＝eq \f(1,T)＝eq \f(Bq,2πm)；ω＝eq \f(2π,T)＝2πf＝eq \f(Bq,m)。T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关；
④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间；
⑤动能：。
3、圆周运动的三个确定
三个确定为圆心、半径、运动时间的确定。
圆心的确定：
①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。
②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。
③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。
④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。
半径的确定：
①物理方程法：半径R＝eq \f(mv,qB)。
②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝eq \f(L2＋d2,2d)。
圆心角与时间的确定：
圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝ωt，如图所示；②偏转角φ与弦切角α的关系：φ180°时，φ＝360°－2α。

运动时间的计算：①由圆心角求，t＝eq \f(θ,2π)·T；②由弧长求，t＝eq \f(θR,v)。
【注意】当带电体的速度一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；当带电体的速度变化时，圆心角大的运动时间长。
4、带电粒子在磁场做圆周运动的分析方法
画轨迹确定圆心。
确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。
运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。
如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场．若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则eq \f(v1,v2)为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(3),2) D．3
三、有界匀强磁场的运动模型
1、问题的描述
带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题。
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
2、数学知识
几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交，构造图像中的三角形。
确定角度：若有已知角度，则利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；若没有已知角度，则利用边长关系确定。
对称性（如下图所示）：圆与直线相交，圆弧轨迹关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相交，圆弧轨迹关于两圆心的连线轴对称。
3、极值的求解
物理方法：利用临界条件求极值；利用问题的边界条件求极值；利用矢量图求极值。
数学方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求极值；利用不等式的性质求极值；利用图像法、等效法、数学归纳法求极值。
【注意】带电粒子刚好穿出磁场边界的条件：带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；时间最长或最短的临界条件：①当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；②当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长。
4、直线边界模型
该模型粒子进出磁场具有对称性，模型图如下：
时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t=T2=πmBq；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=1−θπT=1−θπ2πmBq=2m(π-θ)Bq；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=θπT=2θmBq。
5、平行边界
该模型往往存在临界条件，模型图如下：
时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t1=θmBq，t2=T2=πmBq；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=θmBq；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=1−θπT=1−θπ2πmBq=2m(π-θ)Bq；图丁中粒子在磁场中运动的时间t=θπT=2θmBq。
6、圆形边界
沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性，如下图所示，粒子做圆周运动的半径r＝eq \f(R,tan θ)，粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)，运动角度关系为：θ＋α＝90°。
不沿径向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示。
正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有，则磁偏转半径，根据半径公式联立求解时间1tanα2。速度v0越大，则磁偏转半径r越大，圆心角α越小，时间t越短。若r=R，构成正方形。
不正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，左边两个图有两个等腰三角形，一条共同的底边；最后一个图示当r=R时，构成菱形。
7、环形磁场模型
环形磁场模型的临界圆如下图所示，三个环形磁场的临界半径分别为：；；由勾股定理(R2-R1)2=R12+r2，解得：。
如图所示，在等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，O为ab边的中点，在O处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率不断向磁场中释放相同的带正电的粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为q，直角边ab长为，不计重力和粒子间的相互作用力。则（ ）
A．从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
B．从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
C．粒子能从bc边射出的区域长度为L D．粒子能从bc边射出的区域长度为2L
四、动态圆模型
1、临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直。
2、解题方法
3、临界情况
公共弦为小圆直径时，出现极值。当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大；当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大。
4、放缩圆模型
模型概述：以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法。
适用条件：速度方向一定，大小不同，粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。
特点：轨迹圆圆心共线，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。
5、旋转圆模型
模型概述：以入射点为圆心，将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法。
适用条件：速度大小一定，方向不同。粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示。
特点：轨迹圆圆心共圆，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq \f(mv0,qB)的圆上。
6、平移圆模型
模型概述：将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法。
适用条件：速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上。粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示。
特点：轨迹圆圆心共线，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。
7、磁聚焦会聚模型
模型概述：大量带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出，如下图所示。
证明方法：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。
8、磁聚焦发散模型
模型概述：有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行，如下图所示。
证明方法：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同，为水平方向。
真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae) C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
五、带电粒子在组合场中的运动
1、组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。
2、分析思路
过程的划分：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。
关键点的寻找：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
运动轨迹的绘制：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题。
3、解题方法
4、类型
磁场与磁场的组合：磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。
先磁场后电场：①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如下图所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式进行求解；②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如下图所示，粒子在电场中做类平抛运动，利用相关知识进行求解。
先电加速后磁偏转：带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如下图所示。
先电偏转后磁偏转：带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如下图所示。
如图所示，直角坐标系xOy中，x轴、y轴和线为理想磁场和电场边界。第一象限区域在直线与y轴之间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在第二象限存在沿y轴负方向的匀强电场，一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，自点沿y轴正方向射入第一象限，垂直于y轴离开，自离开第二象限，不计重力。求：
（1）带电粒子的比荷；
（2）电场强度E及粒子自M到N的运动时间t；
（3）如果只改变M点坐标，坐标为，求粒子在第二象限离开x轴时的速率。

六、带电粒子在叠加场中的运动
1、叠加场
电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。
2、分类
电场力、重力并存，即电场力+重力＝F等效（恒力）：①带电粒子静止或匀速直线运动，则F电＝mg且方向相反（即F等效＝0）；②带电粒子做匀变速直线运动，则F等效≠0且与v共线；③带电粒子做匀变速曲线运动，则F等效≠0且与v不共线。
【注意】该情景带电粒子没有圆周运动。
洛伦兹力、重力并存：①带电粒子做匀速直线运动，则F洛＝mg且方向相反，运动方向与F洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则重力和洛伦兹力不平衡，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒。
【注意】该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。
磁场力、电场力并存（不计重力的微观粒子）：①带电粒子做匀速直线运动，则F洛＝F电且方向相反，运动方向与F洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解。
【注意】该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。
静电力、洛伦兹力、重力并存：①带电粒子静止，则F电＝mg且方向相反，且F洛＝0；②带电粒子做匀速直线运动，则F电、mg、F洛三力平衡；③带电粒子做匀速圆周运动，则F电＝mg且方向相反，且F洛＝Fn；④带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则合力不为零且与速度方向不垂直，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。
【注意】该情景带电粒子无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动。
3、带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解。
4、分析方法
叠加场的组成：弄清电场、磁场、重力场叠加情况；
受力分析：先分析场力（重力、电场力、磁场力），然后分析接触力（弹力、摩檫力），最后分析其它力；
运动分析：注意运动情况和受力情况的结合；
分段分析：粒子通过不同种类的场时，分段讨论；
画出轨迹：①静止或匀速直线运动（运用平衡条件）；②匀速圆周运动（运用牛顿运动定律和圆周运动规律）；③复杂曲线运动（运用动能定理或能量守恒定律）；④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。
【注意】牢记三点：①受力分析是基础：一般要从受力、运动、功能的角度来分析．这类问题涉及的力的种类多，含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等；②运动过程分析是关键：包含的运动种类多，含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动以及其他曲线运动；③根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的定理列方程（牛顿运动定律、运动学规律、动能定理、能量守恒定律等）求解。
5、带电粒子两种运动的总结
直线运动：①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解；②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解
曲线运动：①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解；②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解。
如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy中，y轴竖直，第一象限内有竖直向上的匀强电场E1、垂直于xOy平面向里的匀强磁场B1=4T；第二象限内有平行于xOy平面且方向可以调节的匀强电场E2；第三、四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场B2=T。x、y轴上有A、B两点，OA=(2+）m，OB=1m。现有一质量，电荷量q=10-3C的带正电小球，从A点以速度v0垂直x轴进入第一象限，做匀速圆周运动且从B点离开第一象限。小球进入第二象限后沿直线运动到C点，然后由C点进入第三象限。已知重力加速度为，不计空气阻力。求：
（1）第一象限内电场的电场强度E1与小球初速度v0的大小；
（2）第二象限内电场强度E2的最小值和E2取最小值时小球运动到C点的速度vc；
（3）在第（2）问的情况下，小球在离开第三象限前的最大速度vm。
七、带电粒子在交变电磁场中的运动
1、常见类型
①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；③电场和磁场周期性变化。
2、分析思路
仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相关联。应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。
把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。
把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一个阶段上的受力情况确定粒子的运动规律。
3、分析方法
先读图，看清并且明白不同场的变化情况；受力分析，分析粒子在不同的变化场区的受力情况；过程分析，分析粒子在不同时间段内的运动情况；找衔接点，找出衔接相邻两个过程的速度大小及方向；选规律，联立不同阶段的方程求解。
如图甲所示，边长为L的正方形abcd区域内存在匀强磁场，磁感强度大小为，方向垂直于abed所在平面，且周期性变化（周期T可根据需要调整），如图乙所示，设垂直abcd平面向里为磁感强度的正方向。现有一电子在时刻由a点沿ab方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，图中边界上有两点f、g，且，关于电子在磁场中的运动，以下说法中正确的是（ ）

A．调整磁场变化周期T，让电子沿bc方向经过c点，电子的速度大小一定是
B．调整磁场变化周期T，让电子经过d点，电子的速度大小一定是
C．要想让电子经过点f点，则磁场变化周期一定是
D．要想让电子垂直bc边过g点，则磁场变化周期一定是
八、带电粒子在磁场中的多解问题
1、问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。
2、问题的类型
①带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同初速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如下图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
②临界状态不是唯一的形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此粒子的运动情况为可能从边界穿过去了或者转过180°后从入射面边界反向飞出，如下图所示。
③磁场方向不确定形成多解：磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如下图所示，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
④运动的往复性形成多解：带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如下图所示。
如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则以下说法正确的是（ ）

A．质子的速度可能为B．质子的速度可能为
C．质子由A到C的时间可能为D．质子由A到C的时间可能为
九、带电粒子在立体空间的运动
1、原因
匀强磁场在空间中的分布是三维的，因此带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。
2、螺旋线运动
空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。
方法：这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
3、带电粒子在立体空间中的偏转
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。
中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0