中考数学二轮复习训练专题16菱形（知识清单）（2大考点+15大题型+6大易错+6大技巧方法+测试）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮复习训练专题16菱形（知识清单）（2大考点+15大题型+6大易错+6大技巧方法+测试）（2份，原卷版+解析版），文件包含高中物理练测析-单元卷-必修1pdf、高中物理练测析-单元卷-必修1答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养
02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系
03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（2个核心考点）
考点01菱形的定义与性质
考点02菱形的判定
04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（15大重难题型）
题型01题型01利用菱形的性质求角 题型02利用菱形的性质求边长
题型03菱形面积的计算 题型04菱形性质的有关计算与证明
题型05菱形的判定条件 题型06证明四边形是菱形
题型07菱形的性质与判定 题型08菱形与多结论判断问题
题型09菱形与翻折问题 题型10菱形与最值问题
题型11菱形与动点问题 题型12菱形与规律探究
题型13菱形与函数问题 题型14菱形与新定义问题
题型15菱形压轴问题
05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点）
易错点01误用菱形的判定条件
易错点02没有分清菱形的性质与判定
易错点03菱形的实际生活应用
易错点04菱形的探究与变式综合问题
06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（7大方法技巧）
技巧01：证明一个四边形是菱形
技巧02：利用菱形的性质计算线段的长度
技巧03：菱形与动点问题
技巧04：菱形与折叠问题
技巧05：菱形与几何最值问题
技巧06：菱形与存在性问题
技巧07：菱形与函数综合问题
07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力
1.探索并证明菱形的性质定理，会利用菱形的性质和判定进行有关的计算与证明
2.探索并证明菱形的判定定理，会证明一个四边形是菱形
3.掌握菱形的常考题型：菱形性质的有关计算与证明；菱形的判定及证明；菱形的性质与判定综合问题；菱形的几何综合问题；菱形与函数综合问题
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点01菱形的定义与性质
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2.菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
几何语言：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=AD=BC
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
几何语言：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD，
∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
3.菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=．（a、b是两条对角线的长度）
【解题方法】
(1)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
(2)菱形（正方形除外）是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，
(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且把菱形分成四个全等的直角三角形，进而可得菱形边长的平方等于两条对角线长一半的平方和。
(4)菱形的四条边相等，故可连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题，
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点02菱形的判定
菱形的判定方法：
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
几何语言：∵平行四边形ABCD中，AB=BC.
∴四边形ABCD是菱形
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵在平行四边形ABCD中，AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形
2.菱形的判定思路
题型01利用菱形的性质求角
【典例1】（2025·辽宁·一模）如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， 于点 ，连接 ，，则 的度数为 ．
【变式练习】
1．（2024·广东·模拟预测）若菱形中两个相邻内角的度数比是，那其中较大的角的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，在菱形中，，点E是对角线上的点，点O 是和的平分线的交点，则关于下列说法正确的是（ ）
A．大小为定值，等于
B．大小不确定，可以等于
C．大小为定值，等于
D．大小不确定，随着点 E 的变化而变化
3．（2025·陕西渭南·一模）如图，为菱形的一条对角线，过点C作于点E，若，则的度数为 ．
题型02利用菱形的性质求边长
【典例2】（2025·四川雅安·二模）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于 ．
【变式练习】
4．（2025·四川雅安·一模）如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ）
A．4B．C．5D．
5．（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形中，，．若M、N分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为E、F，则的值为（ ）
A．3B．C．9D．
6．（2025·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，，，点、分别在边和的延长线上，连接、、AC，与边交于点，若，，则线段的长为 ．
题型03菱形面积的计算
【典例3】（2025·福建福州·模拟预测）如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为 ．
【变式练习】
7．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知菱形的边长为10，，此菱形的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·海南·模拟预测）如图，菱形的对角线与交于点，过点作于点，连接，若，则的面积等于（ ）
A．24B．18C．14D．12
9．（2025·宁夏银川·二模）如图，把图1中周长为的菱形分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的弦图，且弦图中间的小正方形面积为，则菱形的面积为 ．
题型04菱形性质的有关计算与证明
【典例4】（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，垂足为，，求的值．
【变式练习】
10．（2025·云南丽江·一模）如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若菱形的面积为48，求矩形的面积．
11．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
12．（2025·上海静安·二模）如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点，当，时，直接写出的长．
题型05菱形的判定条件
【典例5】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，点、分别在边、上，且．在不添加任何辅助线的情况下，现只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【变式练习】
13．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知∠A．尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．则可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ）
A．四条边相等的四边形是菱形B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
14．（2025·山西长治·二模）如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·河南洛阳·一模）如图，在四边形中，，，下列条件①；②；③平分；④，能判定四边形是菱形的有 填写序号
题型06证明四边形是菱形
【典例6】（2025·山东青岛·二模）如图，是的中线，过点D作的平行线交于点E，O是的中点，连接并延长，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，四边形为菱形？写出你的猜想并证明．
【变式练习】
16．（2025·江苏南京·三模）如图，在中，点，分别在，上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，当的长为___________时，四边形是菱形．
17．（2025·浙江金华·三模）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求菱形的面积．
18．（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，为的中点，垂直平分，交于点．
(1)请判断四边形的形状；
(2)若，，求四边形的面积．
题型07菱形的性质与判定
【典例7】（2025·安徽阜阳·三模）如图，的对角线与相交于点O，点E在上，且点E又同时在边，的垂直平分线上，连接，，旋转得到，使得点F落在的延长线上．
(1)求证：是菱形．
(2)如图1，当时，求证：．
(3)如图2，当时，求的值．
【变式练习】19．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①连接；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，；③作直线交于点，交于点E，交于点F；④连接，．若，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为等腰三角形
C．四边形为菱形D．
20．（2024·湖南·模拟预测）如图，以的三边为边分别作为等边、等边和等边，连接和．
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，求四边形的面积．
21．（2025·浙江温州·三模）如图，在平行四边形中，连结，点是上一点，连结，，已知．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)记菱形的面积为，四边形的面积为．若，，．求的长．
题型08菱形与多结论判断问题
【典例8】（2022·四川德阳·模拟预测）如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．
【变式练习】
22．（2025·浙江舟山·一模）如图，矩形周长为8，且．连接，作点C关于的对称点E，连接，连接交于点P，作交于点G，下列说法中正确的有（ ）个．
①；②三角形的周长为定值4
③当变大时，四边形的面积先变大后变小；④当变大时，反而变小
A．1B．2C．3D．4
23．（2025·浙江·模拟预测）如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，P是对角线上的动点，且于点M，于点N．有以下结论：①为等边三角形，②，③，④．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③④C．②③④D．①②③④
24．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论：
①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．
其中正确结论的序号是 ．
题型09菱形与翻折问题
【典例9】（2022·山东青岛·一模）如图，在菱形纸片ABCD中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为 ．
【变式练习】
25．（2021·山东青岛·一模）如图，在菱形中，分别是菱形边上的点，将沿着折叠，点恰好落在边中点上，已知，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
26．（2025·河南驻马店·三模）如图，菱形中，，为边上一点，且，折叠菱形使点B与点P重合，展开后得到折痕，分别与交于点．则的长为（ ）
A．1B．C．D．
27．（2025·湖北·模拟预测）在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ．
题型10菱形与最值问题
【典例10】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，E，F，G分别为，，上的点，连接，．若，则菱形面积的最大值为 ．
【变式练习】
28．（2025·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，，，E、F分别是、上的动点，连接、，M、N分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
29．（2025·河北保定·三模）如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（ ）
A．7B．6C．5D．6.5
30．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长为的菱形中，，对角线和交于点O，E为线段上一动点，连接，的垂直平分线交于点M，交于点N，则线段的最大值为 ．
题型11菱形与动点问题
【典例11】（2019·江苏无锡·一模）如图，在菱形中，已知，对角线长12．

(1)求菱形的周长；
(2)动点P从点A出发，沿的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动时间为t（）
①当恰好被平分时，试求t的值；
②连接，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，恰好是一个直角三角形？
【变式练习】
31．（2025·新疆伊犁·模拟预测）如图1，在菱形中，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点为第2段函数图象上的最低点，结合图象判断以下结论：①；②为等边三角形；③菱形的面积为；④最低点的坐标为．其中结论正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
32．（2025·河北邯郸·三模）如图①，菱形的对角线与相交于点O，P，Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图②所示．有以下四个结论：①；②；③当点P在段上运动，点Q在段上运动时，y随x增大而增大；④当点P在段上运动且P，Q两点间的距离最短时，P，Q两点的运动路程之和为厘米．其中正确结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
33．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，四边形是平行四边形．
(2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
题型12菱形与规律探究
【典例12】（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在菱形中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且，，以为边构造等边三角形，将和菱形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，第一次旋转结束时点E的对应点记为，第二次旋转结束时记为，依次类推，第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式练习】
34．（2024·河南·三模）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
35．（2025·广东·模拟预测）如图，作出边长为1的菱形，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；….按此规律所作的第2023个菱形的边长为 ．
36．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形的面积是 ．
题型13菱形与函数问题
【典例13】（2025·江西抚州·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，边在第一象限，，抛物线恰好经过点与点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上一点，点在直线上．
①若为该抛物线的顶点，求证：点A，P，C三点共线；
②若，直接写出点的坐标．
【变式练习】
37．（2025·江西·二模）如图，菱形中，在x轴的正半轴上，点A的坐标为．反比例函数的图象经过点C．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)试判断线段的中点E是否在反比例函数的图象上，若在，请说明理由：若不在，请你将线段沿x轴方向平移，使得的中点E落在反比例函数的图象上，直接写出平移方向和距离．
38．（2025·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值．
题型14菱形与新定义问题
【典例14】（2025·浙江杭州·一模）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用表示．如图，菱形和菱形是组合菱形，其中与共线，且满足．
(1)组合比___________；
(2)若，求的长；
(3)若，求证：．
【变式练习】
39．（2025·山东聊城·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，是“神奇四边形”的是______（填序号）；
(2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连．
①判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由；
②如图2，点M，N，P，Q分别是，的中点．判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由．
40．（2025·山东青岛·一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究．
定义：对角线相等的四边形是等对四边形．
(1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________；
①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形
(2)操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上；
(3)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形．
题型15菱形压轴问题
【典例15】（2025·山西忻州·二模）综合与探究
如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上．
问题解决：
（1）线段与之间的数量关系是_________；
（2）求的度数．
拓展探究：
（3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长．
【变式练习】
41．（2025·浙江·模拟预测）在菱形中，，连接．
(1)判断的形状并说明理由．
(2)如图，分别为边上的动点，，交于点．
如图，连接，若，求证：，
若，直接写出动点到直线的最大距离．
42．（2025·贵州·模拟预测）综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线．
（1）【操作判断】
如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度；
（2）【问题探究】
如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由：
（3）【拓展延伸】
如图③，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转交射线于点F．若菱形的边长为4，．求的长．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点01误用菱形的判定条件
【错因】菱形的判定条件掌握不熟练
【避错关键】熟练掌握菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【典例】
1．如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ）
A．添加“”，则四边形是菱形
B．添加“”，则四边形是矩形
C．添加“”，则四边形是菱形
D．添加“”，则四边形是正方形
3．如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接，，，．
(1)求证：；
(2)已知__________（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：平分．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点02没有分清菱形的性质与判定
【错因】对于菱形的性质与判定不能进行灵活的应用
【避错关键】解决此类问题时，要先利用菱形的判定证明四边形是菱形，再通过菱形的性质进行求解或证明，要注意两者的联系和区别，
【典例】
4．如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，有下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中一定正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
6．如图，在矩形和矩形中，与相交于点M，与相交于点N，连接，并延长与相交于点P，若，则下列结论正确的是 ．
①；②；③；④连接，若，四边形与四边形的面积之比为．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点03菱形的实际生活应用
【错因】对于实际应用问题，不能正确的运用菱形的性质进行求解
【避错关键】利用数学知识解决实际问题时，应将实际问题中的数量关系转化到图形中求解此类题主要考查了菱形的性质、三角形的有关计算、勾股定理、方程思想等.
【典例】
7．如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离为（ ）
A．36B．60C．72D．96
8．如图1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图，为衣架的墙角固定端，为固定支点，为滑动支点，四边形和四边形是菱形，且，点在上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点和点间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果，伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为，当点向点移动时，外延长度为.
（1）则菱形的边长为 .
（2）如图3，当时，为对角线（不含点）上任意一点，则的最小值为 .
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点04菱形的探究与变式综合问题
【错因】对于菱形的探究与变式综合问题，不能正确的找到变化与不变之间的几何关系
【避错关键】在给定条件下，菱形中或与菱形相关的某种特殊图形（等腰、直角、相似、全等）是否存在。 几何最值：利用菱形对称性、两点之间线段最短、垂线段最短等原理求最值
【典例】
9．在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形．
(1)如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形；
(2)如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值；
(3)如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值．
10．如图，在菱形中，，为对角线．点是边延长线上的任意一点，连接交于点，平分交于点．
(1)当点恰好为的中点时，求证：；
(2)若，．
①求菱形的面积；②求证：；③求的值．
(3)若，当的大小发生变化时（）．在上找一点．使为定值，说明理由并求出的值．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧01：证明一个四边形是菱形
【典例】
1．如图，在矩形中，是对角线．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边，分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，，求证：四边形为菱形．
2．如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，，求的长．
3．在中，，为边上一点，连接，，于点．
(1)如图，若，连接求证：四边形为菱形；
(2)如图，连接交于点，若平分求证：．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧02：利用菱形的性质计算线段的长度
【典例】
4．如图，是菱形对角线的交点，，，连接．若，，则的长为（ ）
A．1B．C．D．
5．如图，菱形沿射线平移，得到菱形，延长，交于点，延长，交于点．若，，则的长是 ．
6．如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使与交于点．
(1)求证：；
(2)已知．
①当时，求的面积；
②当将分成的两部分的面积之比为时，试求出的值．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧03：菱形与动点问题
【典例】
7．如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①点的运动速度为每秒3个单位长度；②菱形的边长为6；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①④
8．如下图，在菱形中，对角线，相交于点，，，为上的一个动点，以的速度从点出发，沿向点运动．设运动时间为，当为何值时，为等腰三角形？
6．如图，在菱形中，．动点P从点A出发以的速度沿射线运动，以为一边在射线的上方作等边．设点P的运动时间为与菱形重叠部分图形的面积为．
(1)的边的长为________．（用含x的代数式表示）
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧04：菱形与折叠问题
【典例】
10．如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
11．如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
12．实践探究：两位同学利用菱形纸片进行翻折问题的自主探究，已知纸片为菱形，其边长为4，一个内角；
(1)如图，他们将沿直线翻折得到，使得点正好落在边上，且，两位同学发现了不同的解法来求出图中线段的长度，一位同学找到了图中的一个特殊的等腰三角形，另一位同学则利用轴对称图形对应边相等这一性质；请聪明的你利用提示来求出线段的长度；
(2)如图，两位同学又将沿直线翻折得到，使得点正好是边的中点，那么此时线段的长度是多少呢？
(3)如图，点为边上一点，将沿直线翻折得到，，的延长线分别交于S，T两点，若，求线段的长度．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧05：菱形与几何最值问题
【典例】
13．如图，在边长为4的菱形中，，点M是边的中点，点N是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为 ．
14．如图，在菱形中，，是边的中点，是菱形内一动点，若的面积是6，则的最小值是 ．
15．如图，点M是菱形内部的动点，，点N是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的堤大值为 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧06：菱形与存在性问题
【典例】
16.如下图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是（）．过点作于点，连接，．
(1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由．
(2)当_______________时，为直角三角形．
17.如图1，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在上的点处，延长，交的延长线于点，连接．
(1)线段的长为______________．
(2)求证：四边形是菱形．
(3)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），设，且．是否存在符合条件的点，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
18.．如图，在中，，，，点在边上（点不与点重合），点在射线上，且，连接，以为对角线作菱形，使、且点在左侧．
(1)求的长．
(2)当点M在边上时，求的长．
(3)连接，当与的边平行时，求的长．
(4)作直线交边于点E，当为直角三角形时，直接写出的长．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧07：菱形与函数综合问题
【典例】
19．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．
(1)当点在边上时，的长为________；（用含的代数式表示）
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
21．如图，在菱形中，，对角线．动点从点出发，以的速度沿匀速运动；动点同时从点出发，以的速度沿的延长线方向匀速运动．当点到达点时，点同时停止运动．设运动时间为，过点作，交于点，以为边作平行四边形，连接．
(1)当为何值时，为的中点？
(2)当为何值时，为直角三角形？
(3)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式．
一、单选题
1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（ ）
A．4B．5C．6D．10
2．（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ）
A．9B．C．D．
3．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形是平行四边形，给出下列四个条件：①；②；③；④平分．若添加其中一个条件，不能使四边形是菱形的为（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ）
A．4B．5C．8D．10
5．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点O，，，．点E为延长线上一点，连接交于点F．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江苏淮安·中考真题）如图在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法不正确的是( )
A．当时，
B．当点落在上时，四边形是菱形
C．在点运动的过程中，线段的最小值为2
D．连接，则四边形的面积始终等于
8．（2025·安徽合肥·一模）在中，对角线与交于点O，点E在上，点F
在上，连接．下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
二、填空题
9．（2025·四川巴中·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为 ．
10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是 ．
11．（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，，，分别是，边上的中点，于点D，过点E作交于点G，连结，则的长为 ．
C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论：
①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．
其中正确结论的序号是 ．
13．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②四边形是菱形；③若，．则；④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
14．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线．
【第一次操作】
作的平分线交于点M，过点M作，交于点N，则四边形为菱形，且另一个四边形为平行四边形．
【第二次操作】
作【第一次操作】所得的某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形．
【第三次操作】
作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形．
……重复上述操作．
（1）若四边形是菱形，则x的最小正整数值为 ；
（2）若对进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x有 个不同的取值．
三、解答题
15．（2023·陕西·中考真题）如图，已知四边形，．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）

16．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长．
17．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
(1)求证：是菱形；
(2)若，求的面积．
18．（2025·江苏徐州·中考真题）已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证：
(1)；
(2)四边形是菱形．
19．（2024·湖南·模拟预测）如图，以的三边为边分别作为等边、等边和等边，连接和．
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，求四边形的面积．
20．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当________秒时，四边形为矩形．
(2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由．
(3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由．
21．（2025·上海·一模）在平行四边形中，对角线交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作的平行线，交于点E，交于点F、G，连接．
(1)如图1，如果，求证：；
(2)如图2，如果，，且与相似，并求的值；
(3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数．
22．（2026·浙江·模拟预测）在菱形中，
(1)如图1，求的长．
(2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转．
当时，求的值．
如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值．
（2025·辽宁·一模）如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， 于点 ，连接 ，，则 的度数为 ．
《方法技巧》
菱形的判定思路：
1.基于“四边形”直接判定 四条边都相等 如果一个四边形的四条边长度都相等，那么它一定是菱形。 （这是最直接的判定，不需要先证平行四边形）
2.基于“平行四边形 + 额外条件”判定
如果已知四边形是平行四边形，那么满足以下任一条件即可判定为菱形：
（1）.一组邻边相等的平行四边形.因为平行四边形对边相等，若有一组邻边相等，则四条边全等。
（2）.对角线互相垂直的平行四边形.平行四边形对角线互相平分，若还互相垂直，那么根据垂直平分线的性质可推出邻边相等，从而四条边相等。
二、常见的题目类型：
题目通常不直接给“四条边相等”，而是给：
平行四边形 + 邻边相等 ；
平行四边形 + 对角线垂直 ；
一般四边形 + 对角线垂直平分 ；
三角形 + 中位线或对称条件推出四边相等.
《方法技巧》
利用菱形的性质求线段的长的一般方法：
在菱形中求线段长时，往往是根据菱形的相关性质，将问题转化到三角形（如直角三角形、等腰三角形）中，利用勾股定理等腰三角形的性质等进行求解，
《方法技巧》
菱形中点的运动引起线段长度、角度、面积的变化，求函数关系或最值，菱形已知部分顶点，某个顶点（或相关点）在某一轨迹上运动，求满足特定条件（如线段长度、角度、面积等）时动点的位置或相关量的最值。
《方法技巧》
折叠问题通常将图形的一部分沿一条直线翻折，使某些点重合，形成新的几何关系。对于菱形中的折叠，一般有以下几种情况： 1. 沿对角线折叠；2. 沿一条不过对角线的直线折叠；3. 沿一条平行于菱形边的直线折叠.
2.解题思路：明确折叠的对称轴（折痕），找到折叠前后的对应点、对应线段、对应角 标记相等线段、相等角；设未知数 利用菱形性质（四边相等、对角线垂直平分等）， 利用折叠性质（对称性、全等、中垂线） 构造直角三角形（常用勾股定理）， 建立方程求解 必要时求长度、面积、角度、比值等.
《方法技巧》
关于“菱形与几何最值问题”可以有很多不同的具体形式，但核心思路是结合菱形的特殊性质（四边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分对角等）与最值常用的方法（如对称、两点间线段最短、垂线段最短、三角形不等式等）来求解
《方法技巧》
在给定条件下，菱形中或与菱形相关的某种特殊图形（等腰、直角、相似、全等）是否存在。这类问题通常在平面直角坐标系或几何背景下，已知几个点，问是否存在点构成菱形，或给出部分点/边，确定另一个点使四边形为菱形
《方法技巧》
“菱形与函数综合问题” 通常会给出一个菱形（坐标已知或含参数），并与一次函数、二次函数或反比例函数图象相交，要求求点的坐标、参数的值、面积或存在性等