中考数学二轮复习训练专题04 最值模型：隐圆模型35种题型全归纳（精选近2年中考真题+模拟）（专项训练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮复习训练专题04 最值模型：隐圆模型35种题型全归纳（精选近2年中考真题+模拟）（专项训练）（2份，原卷版+解析版），文件包含苏教版六上科学第一单元单元测试卷答案版docx、苏教版六上_苏教版六上科学第一单元单元测试卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
题型一直角三角形+定弦定直角+点圆最值
题型二正方形+定弦定直角+瓜豆原理+点圆最值
题型三矩形（直角梯形）+折叠模型+定点定长+点圆最值
题型四等腰三角形+定点定长+对称+面积最值
题型五正方形+折叠模型+定点定长+点圆最值
题型六直角三角形+定长定角+点圆最值
题型七矩形+定弦定直角+点圆最值
题型八正方形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值
题型九直角三角形+特殊角度+圆+点圆最值
题型十坐标系+定点定长+瓜豆原理+点圆最值
题型十一菱形+折叠模型+定点定长+点圆最值
题型十二菱形+定角定弦+瓜豆原理+点圆最值
题型十三矩形+动点+对角线+定弦定直角2
题型十四等边三角形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值
题型十五正方形+定弦定角+点圆最值
题型十六正多边形+折叠模型+定点定长+点圆最值
题型十七等腰直角三角形+旋转+定点定长+点圆最值
题型十八等边三角形+旋转+瓜豆原理+定弦定角+点圆最值
题型十九旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值
题型二十正方形+定长定直角+面积最值
题型二十一等腰三角形+旋转+瓜豆原理+点圆最值
题型二十二四点共圆+定弦定角
题型二十三定弦定角+圆的切线+点圆最值
题型二十四平行四边形+定弦定角+点圆最值
题型二十五正方形/四边形+定弦定角+点圆最值
题型二十六矩形+对称+定长定点+点圆最值+面积
题型二十七矩形+折叠模型+定长定点+点圆最值
题型二十八直角三角形+圆的切线+点到直线距离+最值
题型二十九定长定直角+面积最值+相似
题型三十坐标系+中点轨迹+定点定长+点圆最值
题型三十一直角三角形+勾股逆定理+定弦定直角+点圆最值+面积计算
题型三十二圆+特殊角度+对角互补+面积最值
题型三十三矩形+动点+定弦定直角+隐圆轨迹+路径长计算
题型三十四定弦定角+隐圆+面积平分+轨迹路径
题型三十五坐标系+矩形+折叠对称+隐圆+交点范围
题型一直角三角形+定弦定直角+点圆最值
1．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，则CDDE的最小值是 ．
题型二正方形+定弦定直角+瓜豆原理+点圆最值
2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED、∠E=90°，点F在DE上．连接BF．若2BE=3DF．则BF的最小值为（ ）
A．6B．62−5C．35D．45−22
题型三矩形（直角梯形）+折叠模型+定点定长+点圆最值
3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB=4，AD=DC=2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF（如图的所有点在同一平面内），连接A'B，A'C，则△A'BC面积的最小值为（ ）
A．2−2B．3−2C．10−2D．4−2
题型四等腰三角形+定点定长+对称+面积最值
4．（2025·陕西·中考真题）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P为矩形ABCD内一点，且满足S△BPC=9，△BPC周长的最小值；
问题解决
（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP:AQ=2:3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB=120m，AC=BC=180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）
题型五正方形+折叠模型+定点定长+点圆最值
5．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE=15°，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF=BC，CF与AB相交于点H．有下列结论：①AE=CE；②BE+AE=EF；③AHHB=23−1；④点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q，连结DQ，则DQ的最小值为7+3−22．其中正确的结论有 ．（填序号）
题型六直角三角形+定长定角+点圆最值
6．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践
【问题提出】
原题呈现（人教版九年级下册85页第14题）
如图1，在锐角△ABC中，探究asin∠BAC，bsin∠ABC，csin∠ACB之间的关系．
【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E．
在Rt△ABD中，sin∠ABC=ADc，
∴AD=c⋅sin∠ABC，
在Rt△ADC中，sin∠ACB=ADb，
∴AD=b⋅sin∠ACB，
∴c⋅sin∠ABC=b⋅sin∠ACB，即bsin∠ABC=csin∠ACB，
同理，在Rt△AEB中，BE=_____，
在Rt△BEC中，BE=_____，
∴______=_____，
即asin∠BAC=csin∠ACB，
∴asin∠BAC=bsin∠ABC=csin∠ACB；
【结论应用】
（2）如图2，在△ABC中，AB=23，∠A=70°，∠B=50°．求AC，BC的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：sin50°≈0.77，sin70°≈0.94．）
【深度探究】
（3）如图3，⊙O是锐角△ABC的外接圆，半径为R．
求证：asin∠BAC=bsin∠ABC=csin∠ACB=2R．
【拓展应用】
（4）如图4，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．则线段EF长度的最小值是________．
题型七矩形+定弦定直角+点圆最值
7．（2025·江苏宿迁·三模）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E为CD边上的一个动点（点E不与点C、D重合），过点C作射线AE的垂线，垂足为F，则AEEF的最小值为（ ）．
A．7B．8C．739D．10
题型八正方形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值
8．（2025·山东德州·一模）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE=AB，将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，连接AF，则AF长的最小值为（ ）．
A．2−2B．2−1C．2D．22−2
题型九直角三角形+特殊角度+圆+点圆最值
9．（2025·河北邢台·二模）如图，直径为2的半圆O与Rt△ABC的边AC相切，圆心O在边AB上，若∠C=90°，AC=6，BC=8，P，Q分别是BC与半圆弧上的动点，则PQ的最大值和最小值之积是（ ）
A．314B．66316C．12716D．11516
题型十坐标系+定点定长+瓜豆原理+点圆最值
10．（2025·广东深圳·一模）如图，已知A，B两点的坐标分别为5,0,0,5，点C，F分别是直线x=−7和x轴上的动点，CF=14，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠EAO的值是（ ）
A．45B．712C．34D．47
题型十一菱形+折叠模型+定点定长+点圆最值
11．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=6，点E在边CD上，且DE=4，F是边AD上一动点，将△DEF沿直线EF折叠，点D落在点N处，当点N在四边形ABCD内部（含边界）时，DF的长度的最小值是（ ）
A．2B．213C．4D．42
题型十二菱形+定角定弦+瓜豆原理+点圆最值
12．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（ ）
A．2B．43−2C．23D．4
题型十三矩形+动点+对角线+定弦定直角2
13．（2025苏州市模拟预测） 如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（ ）

A．6B．4C．5D．9
14．（2025苏州市零模）如图，矩形ABCD的边AB=8，AD=6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，满足∠ADP=∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为
题型十四等边三角形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值
15．（2025·天津·一模）如图，M是等边三角形ABC的边BC的中点，P为平面内一点，连接AP，将线段AP以点A为中心逆时针旋转60°，得到线段AQ，连接MQ．若AB=6，点M、P之间的距离为1，则MQ的最小值为 ，最大值为 ．
题型十五正方形+定弦定角+点圆最值
16．（2025宁波市模拟预测）如图，已知正方形ABCD，边长为4，正方形内有一动点E，∠BEC=135°．连接AE，则线段AE的最小值为 ．
题型十六正多边形+折叠模型+定点定长+点圆最值
17．（2025·河北·一模）如图，在正五边形ABCDE中，AB=2，点P在边BC上（不与点C重合），连接DP，将△CDP沿PD折叠得到△QDP，连接AQ．
（1）∠DQP= °；
（2）AQ的最小值为 ．
题型十七等腰直角三角形+旋转+定点定长+点圆最值
18．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为AC边的中点，连接BD并取BD的中点P，连接CP，在AD绕点A旋转的过程中，线段CP的最小值为 ，最大值为 ．
题型十八等边三角形+旋转+瓜豆原理+定弦定角+点圆最值
19．（2025·河南焦作·二模）如图，在等边△ABC中，AB=3，D是平面内一点，线段AD绕点A逆时针旋转60°至AE，直线BD与CE交于点F，若AD=3，则BF的最大值是 ，最小值是 ．
题型十九旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值
20．（2025·河南漯河·三模）如图，AB=32，点C是平面内一动点，且BC=2，连接AC，将AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，则BD的最小值为 ，最大值为

题型二十正方形+定长定直角+面积最值
21．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F，且AE=BF，AF交DE于点O．连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交AC于点P，GE交AF于点Q．
【活动猜想】
（1）GD与GE的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若AD=3，AE=1，求QF的长；
【综合探究】（4）若AD=3，则当AP=_______时，△DPG的面积最小．
题型二十一等腰三角形+旋转+瓜豆原理+点圆最值
22．（2025·重庆·中考真题）在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD．将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接DE．
(1)如图1，α=∠BAC=60°，∠CAE=20°，求∠ADB的度数；
(2)如图2，α=∠BAC=90°，BD”、“∠PMQ．
【迁移应用】如图3，点P3,0，点Q9,0，点A为y轴正半轴上的一个动点，当∠PAQ最大时，请求出点A的坐标．
题型二十四平行四边形+定弦定角+点圆最值
25．（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出
（1）如图①，△ABC内接于⊙O，BC边上的高AD经过圆心O，若BC=8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积；
问题解决
（2）为培养学生的劳动实践能力，某校计划在学校东南角开辟出一块四边形劳动实践基地，将其分成三个三角形区域用于种植不同的果蔬，并将四边形的四周用栅栏保护，如图②，劳动实践基地为▱ABCD，∠ABC=60°，BM平分∠ABC交对角线AC于点M，在点M处安装喷灌装置，且BM=24m，为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形ABCD的周长最小，你认为该学校的想法能否实现？若能，请求出四边形ABCD周长的最小值；若不能，请说明理由．
题型二十五正方形/四边形+定弦定角+点圆最值
26．（2025·陕西西安·一模）问题提出
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E是其内部一点，连接BE，CE，且∠BEC=90°．若AB=4，求DE的最小值；
问题解决
（2）如图2，是某公园的一块四边形ABCD空地的平面图，其中∠ADC=120°，∠B=∠C=90°，CD=200m，BC=4003m，园区管理员计划在空地中找一点E，修建四条观光小路EA，EB，EC，ED（小路宽度不计），将其分成四个区域，用来种植不同的花卉．根据实际要求：∠BEC=120°，且△AED的面积最小，请问是否存在这样的点E，使得∠BEC=120°，且△AED的面积最小？若存在，请确定出点E的位置，并求出△AED面积的最小值；若不存在，请说明理由．
题型二十六矩形+对称+定长定点+点圆最值+面积
27．（2024台山市一模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 ．

题型二十七矩形+折叠模型+定长定点+点圆最值
28．（2025·广西玉林·三模）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF．若AB=5，BC=6，则CF的最小值为 ．
题型二十八直角三角形+圆的切线+点到直线距离+最值
29．（2025兰溪市模拟预测）如图，在Rt△AOB中，OB=23,∠A=30°,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为 ．
题型二十九定长定直角+面积最值+相似
30．（2024秭归县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D、E分别在边AB、AC上，且DB=2AD，AE=3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．
题型三十坐标系+中点轨迹+定点定长+点圆最值
31．（2024德阳市模拟）（1）如图①，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，−3)，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 ．
（2）如图②，点A、B的坐标分别为A(2，0)、B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ．

题型三十一直角三角形+勾股逆定理+定弦定直角+点圆最值+面积计算
32．（2023·湖北黄石·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=43，BC=6．点P为△ABC内一点，且满足PA2+PC2=AC2．当PB的长度最小时，则△ACP的面积是 ．

题型三十二圆+特殊角度+对角互补+面积最值
33．（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图所示，⊙O的半径是3，直线l与⊙O相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是⊙O上的两个动点，且∠ANB=135°，则四边形MANB面积的最大值是（ ）
A．9B．92C．18D．182
题型三十三矩形+动点+定弦定直角+隐圆轨迹+路径长计算
34．（2024·江苏扬州·三模）在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MD方向以每秒4个单位长度的速度向点D匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NB方向以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点C作EF的垂线，垂足为P．在整个运动过程中，点P所经过的路径长是 ．
题型三十四定弦定角+隐圆+面积平分+轨迹路径
35．（2024·陕西·中考真题）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，AB=15，∠C=30°，作△ABC的外接圆⊙O．则ACB的长为________；（结果保留π）
问题解决（2）如图2所示，道路AB的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在AC上，且AE=EC，∠DAB=60°，∠ABC=120°，AB=1200m，AD=BC=900m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC=60°．再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分．

请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）
题型三十五坐标系+矩形+折叠对称+隐圆+交点范围
36．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y=axa>0上第一象限内的两个动点OD>OB，以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y=kx的图象经过点A．
【构建联系】（1）求证：函数y=kx的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为1,2时，求k的值．
【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP=32，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围．