广东省惠州市2026-2027学年高考数学全真模拟密押卷（含答案解析）

这是一份广东省惠州市2026-2027学年高考数学全真模拟密押卷（含答案解析），共11页。试卷主要包含了双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图若输入，则输出的的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
3．在中，在边上满足，为的中点，则（ ）.
A．B．C．D．
4．如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱 AB，BC，的中点，M为棱AD的中点，设P，Q为底面ABCD内的两个动点，满足平面EFG，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7．双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）
A．14种B．15种C．16种D．18种
9．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．3B．C．D．
10． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
14．定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个点，，，在半径为的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________.
15．数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，且.若任意，成立，则实数的取值范围为__________.
16．定义在R上的函数满足：①对任意的，都有；②当时，，则函数的解析式可以是______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围.
18．（12分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线： 于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线， ， 轴都相切，设的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线， 分别与轴相交于点， .当线段的长度最小时，求的值.
19．（12分）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．
(Ⅰ)求证：平面平面．
(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．
20．（12分）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（1）求,的值：
（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求△的面积．
21．（12分）已知数列，满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）分别求数列，的前项和，.
22．（10分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：
是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券．若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．
附表及公式：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由程序语言依次计算，直到时输出即可
【详解】
程序的运行过程为
当n=2时，时，，此时输出.
故选：C
本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题
2、C
【解析】
首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.
【详解】
设公差为d，由题知，
，
解得，，
所以数列为，
故.
故选：C.
本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.
3、B
【解析】
由，可得，，再将代入即可.
【详解】
因为，所以，故
.
故选：B.
本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.
4、A
【解析】
根据线面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率．
【详解】
由已知平面，，可得，从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法，而选取的个表面互相垂直的有种情况，故所求事件的概率为．
故选：A．
本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．
5、C
【解析】
把截面画完整，可得在上，由知在以为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得的最小值．
【详解】
如图，分别取的中点，连接，易证共面，即平面为截面，连接，由中位线定理可得，平面，平面，则平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，∴．
正方体中平面，从而有，∴，∴在以为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形内的部分）上，
显然关于直线的对称点为，
，当且仅当共线时取等号，∴所求最小值为．
故选：C．
本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．
6、C
【解析】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.
【详解】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，
在中，，故，即.
故选：.
本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.
7、A
【解析】
根据题意得到，化简得到，得到答案.
【详解】
根据题意知：焦点到渐近线的距离为，
故，故渐近线为.
故选：.
本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8、D
【解析】
采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起
【详解】
首先将黑球和白球排列好，再插入红球.
情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种；
情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.
综上所述，共有14+4=18种.
故选：D
本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题
9、B
【解析】
由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：
直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为，
∴几何体的体积，故选B.
点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.
10、C
【解析】
先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.
【详解】
解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，
则基本事件总数为，
则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，
∴6和28不在同一组的概率.
故选：C.
本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.
11、A
【解析】
结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】
由，则，所以；而
当，则，解得或.所以
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.
12、B
【解析】
求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；
【详解】
f （x）的定义域为（﹣1，+∞），
因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，
可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，
故选：B．
本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
不妨设双曲线，焦点，令，由的长为实轴的二倍能够推导出的离心率.
【详解】
不妨设双曲线，
焦点，对称轴，
由题设知，
因为的长为实轴的二倍，
，
，
，故答案为.
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.
14、
【解析】
先找到平面区域内任意两点的最大值为，再利用三角恒等变换化简即可得到最大值.
【详解】
由已知及正弦定理，得，所以，
，取AB中点E，AC中点F，BC中点G，
如图所示
显然平面区域任意两点距离最大值为，
而
，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
本题考查正弦定理在平面几何中的应用问题，涉及到距离的最值问题，在处理这类问题时，一定要数形结合，本题属于中档题.
15、
【解析】
当时，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根据定义求出，再借助单调性求解．
【详解】
解：当时，，则，，
当时，，
，
，
，
，
（当且仅当时等号成立），
，
故答案为：．
本题主要考查已知求，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题．
16、（或，答案不唯一）
【解析】
由可得是奇函数，再由时，可得到满足条件的奇函数非常多，属于开放性试题.
【详解】
在中，令，得；令，
则，故是奇函数，由时，，
知或等，答案不唯一.
故答案为：（或，答案不唯一）.
本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（为参数），；（2）
【解析】
分析：（1）直线的参数方程为（为参数），其中表示之间的距离，而极坐标方程可化为，从而的直角方程为.
（2）设，则 ，利用在圆上得到满足的方程，最后利用韦达定理就可求出两条线段的和.
详解：（1）直线的参数方程为（为参数）.
曲线的极坐标方程可化为.
把，代入曲线的极坐标方程可得
，即.
（2）把直线的参数方程为（为参数）代入圆的方程可得：.
∵曲线与直线相交于不同的两点，
∴，
∴，又，
∴.
又，.
∴，
∵，∴，
∴.
∴的取值范围是.
点睛：（1）直线的参数方程有多种形式，其中一种为（为直线的倾斜角， 是参数），这样的参数方程中的参数有明确的几何意义，它表示 之间的距离.
（2）直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.
18、 (1) ．(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）设根据题意得到，化简得到轨迹方程；（2）设， ，，，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值.
解析：
（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，
设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，
所以圆的半径为，点 ，则直线的方程为，即，
所以，又，所以，即，
所以的方程为 ．
（2）设， ，，
由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以，，
所以，，
所以．
令，，则，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值， 此时．
点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
19、 (Ⅰ)见解析. (Ⅱ) .
【解析】
(I)证明平面得出平面，根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当平面时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案．
【详解】
(I)证明：
分别为的中点
，，又
平面
平面，又平面
平面平面
(II)，为定值
当平面时，三棱锥的体积取最大值
以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系
则
，
设平面的法向量为，则
即，令可得
平面 是平面的一个法向量
平面与平面所成角的正弦值为
本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，关键是能够根据体积的最值确定垂直关系，从而可以建立起空间直角坐标系，利用空间向量法求得二面角，属于中档题．
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出，；
（2）设直线方程为，联立直线与圆的方程可以求出，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．
【详解】
（1）焦点为F（1，0），则F1（1，0），F2（1，0），
，解得，＝1，＝1，
（Ⅱ）由已知，可设直线方程为，，
联立得，易知△＞0，则
＝＝
＝
因为，所以＝1，解得
联立 ，得，△＝8＞0
设，则
本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力．
21、（1）（2）；
【解析】
（1），，可得为公比为2的等比数列，可得为公差为1的等差数列，再算出，的通项公式，解方程组即可；
（2）利用分组求和法解决.
【详解】
（1）依题意有
又.
可得数列为公比为2的等比数列，为公差为1的等差数列，
由，得
解得
故数列，的通项公式分别为.
（2），
.
本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.
22、有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；.
【解析】
由题得，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；
获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．从中随机抽取人，所有基本事件有个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有个，进而求出获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.
【详解】
解析：由题得
所以，有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．
获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．
从中随机抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个．
其中仅有1人是女顾客的基本事件有：，，，，，，，，共个．
所以获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．
本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．
满意
不满意
男
女