内蒙古自治区乌海市2027年高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析）

这是一份内蒙古自治区乌海市2027年高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析），共24页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知椭圆，若，则下列不等式不能成立的是，已知数列中，，，则等于等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（ ）
A．48B．63C．99D．120
3．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个坐位的宽度()，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
7．已知数列中，，()，则等于（ ）
A．B．C．D．2
8．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
9．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形，将平行四边形沿对角线折起，使平面平面，则直线与所成角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
141 432 341 342 234 142 243 331 112 322
342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为________．
14．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)
15．设函数 满足,且当时,又函数,则函数在上的零点个数为___________.
16．在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱锥中，，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：
（1）是的中点；
（2）平面平面.
18．（12分）已知函数.
（1）讨论的零点个数；
（2）证明：当时，.
19．（12分）2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际，学校组织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A类题、4道B类题，参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛.
（1）求甲同学至少抽到2道B类题的概率；
（2）若甲同学答对每道A类题的概率都是，答对每道B类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类题，用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.
20．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时.
（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；
（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.
21．（12分）在四棱锥的底面中，，，平面，是的中点，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得，若存在指出点的位置，若不存在请说明理由.
22．（10分）在中，内角的边长分别为，且．
（1）若，，求的值；
（2）若，且的面积，求和的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.
【详解】
，且，，.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.
2、C
【解析】
观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n.
【详解】
解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1
所以
故选：C.
本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.
3、B
【解析】
为弯管，为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧所在圆的半径为，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解.
【详解】
如图所示，为弯管，为6个座位的宽度，
则
设弧所在圆的半径为，则
解得
可以近似地认为，即
于是，长
所以是最接近的，其中选项A的长度比还小，不可能，
因此只能选B，260或者由，
所以弧长.
故选：B
本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.
4、C
【解析】
根据等差数列的性质设出，，，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率.
【详解】
由已知，，成等差数列，设，，.
由于，据勾股定理有，即，化简得；
由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以；
在直角中，由勾股定理，，∴离心率.
故选：C
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.
5、B
【解析】
根据不等式的性质对选项逐一判断即可.
【详解】
选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；
选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；
选项C：由于，所以，所以，所以成立；
选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.
故选：B.
本题考查不等关系和不等式，属于基础题.
6、B
【解析】
设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率.
【详解】
由题意可知点，设点、，设直线的方程为，
由于点是的中点，则，
将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得，
由韦达定理得，得，，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：B.
本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
7、A
【解析】
分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决.
【详解】
解：∵，()，
，
，
，
，
…，
∴数列是以3为周期的周期数列，
，
，
故选：A.
本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.
8、D
【解析】
根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.
【详解】
依题意有， ①
， ②
①②得，又因为，
所以，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选:D.
本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.
9、A
【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.
【详解】
如图所示：
设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，
因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，
又因为，所以，
又因为，
所以，所以，
所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.
故选：A.
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.
10、C
【解析】
利用建系，假设长度，表示向量与，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
由平面平面，
平面平面，平面
所以平面，又平面
所以，又
所以作轴//,建立空间直角坐标系
如图
设，所以
则
所以
所以
故选：C
本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.
11、A
【解析】
求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率．
【详解】
不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，
因为，所以圆心到的距离为：，
即，因为，所以解得．
故选A．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.
12、A
【解析】
由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.
【详解】
由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.
则恰好第三次就停止摸球的概率为.
故选：A.
本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意求出以线段AB为直径的圆E的方程，且点D恒在圆E外，即圆E上存在点，使得，则当与圆E相切时，此时，由此列出不等式，即可求解。
【详解】
由题意可得，直线的方程为，联立方程组，可得，
设，则，，
设，则，，
又，
所以圆是以为圆心，4为半径的圆，所以点恒在圆外．
圆上存在点，使得以为直径的圆过点，即圆上存在点，使得，设过点的两直线分别切圆于点，
要满足题意，则，所以，
整理得，解得，
故实数的取值范围为
本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中准确求得圆E的方程，把圆上存在点，使得以为直径的圆过点，转化为圆上存在点，使得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。
14、
【解析】
首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.
【详解】
首先选派男医生中唯一的主任医师，
然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生，
故选派的方法为：.
故答案为．
解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
15、1
【解析】
判断函数为偶函数，周期为2，判断为偶函数，计算，，画出函数图像，根据图像到答案.
【详解】
知，函数为偶函数，，函数关于对称。
，故函数为周期为2的周期函数，且。
为偶函数，，，
当时，，，函数先增后减。
当时，，，函数先增后减。
在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有1个公共点，
则函数在上的零点个数为1．
故答案为：.
本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键.
16、
【解析】
由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得，即，解得，
故的面积.
故答案为：
本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
（1）推导出，由是的中点，能证明是有中点．
（2）作于点，推导出平面，从而，由，能证明平面，由此能证明平面平面．
【详解】
证明：（1）在三棱锥中，
平面，平面平面，
平面，
，
在中，是的中点，是有中点．
（2）在三棱锥中，是锐角三角形，
在中，可作于点，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，，
，，
平面，
平面，平面平面．
本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
18、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）求出，分别以当，，时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令，结合导数求出；同理可求出满足，从而可得，进而证明.
【详解】
解析：（1），，
当时，，单调递减，，，此时有1个零点；
当时，无零点；
当时，由得，由得，∴在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值，
若，则，此时没有零点；
若，则，此时有1个零点；
若，则，，求导易得，此时在，上各有1个零点.
综上可得时，没有零点，或时，有1个零点，时，有2个零点.
（2）令，则，当时，；当时，，∴.
令，则，
当时，，当时，，∴，
∴，，∴，即.
本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明.
19、（1）；（2）分布列见解析，期望为．
【解析】
（1）甲同学至少抽到2道B类题包含两个事件：一个抽到2道B类题，一个是抽到3个B类题，计算出抽法数后可求得概率；
（2）的所有可能值分别为，依次计算概率得分布列，再由期望公式计算期望．
【详解】
（1）令“甲同学至少抽到2道B类题”为事件，则抽到2道类题有种取法，抽到3道类题有种取法，
∴；
（2）的所有可能值分别为，
，，
，，
∴的分布列为：
本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键是掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式．
20、（1）见解析，40元（2）6000元
【解析】
（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可
（2）根据（1）结果求均值.
【详解】
解：（1）由题设知可能取值为0，20，40，60，80，则
；
；
；
；
.
故的分布列为：
所以数学期望（元）
（2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：（元）
考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.
21、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，点为线段的中点.
【解析】
（Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形，得到证明.
（Ⅱ）建立如图所示坐标系，平面法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案.
（Ⅲ）设，计算，，根据垂直关系得到答案.
【详解】
（Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形.
平面.
（Ⅱ）平面，四边形为正方形.
所以，，两两垂直，建立如图所示坐标系，
则，，，，
设平面法向量为，则，
连结，可得，又所以，平面，
平面的法向量，
设二面角的平面角为，则.
（Ⅲ）线段上存在点使得，设，
，，，
所以点为线段的中点.
本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理计算即可得到所求值；
（2）运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC，运用正弦定理和三角形的面积公式可得a，b的方程组，解方程即可得到所求值．
【详解】
解：（1）由余弦定理

由正弦定理得
（2）由已知得：

所以------①
又所以------②
由①②解得
本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
0
1
2
3
0
20
40
60
80