朝阳市2027年高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析）

这是一份朝阳市2027年高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析），共3页。试卷主要包含了的展开式中的系数为，已知集合，则集合，设等差数列的前项和为，若，则，复数满足 ,则的值是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A．B．
C．D．
2．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（ ）
A．B．C．D．
3．的展开式中的系数为（ ）
A．5B．10C．20D．30
4．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
5．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg
6．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
8．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）
A．1B．2C．D．4
9．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．复数满足 (为虚数单位),则的值是( )
A．B．C．D．
11．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
A．B．C．D．4
12．若P是的充分不必要条件，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，其中，，则的值为_______________．
14．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分別为4，5，则输出的值为______.

15．的展开式中，的系数为____________.
16．设等差数列的前项和为，若，，则______，的最大值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn为等差数列{an}的前n项和，.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设bn＝an⋅3n，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，.
（1）证明：平面平面；
（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置.
19．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）
（1）求的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.
20．（12分）在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且轴，直线交轴于点，，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，且满足，求的面积.
21．（12分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，，若，，成等比数列．
（1）求及；
（2）设，设数列的前项和，证明：．
22．（10分）如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE.

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．
【详解】
当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，
当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．
故选：C．
本题主要考查数学归纳法，属于中档题./
2、D
【解析】
首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及的关系，最终得出选项．
【详解】
经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，
第一次循环：；
第二次循环：；
第三次循环：，
此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，，故选D．
题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．
3、C
【解析】
由知，展开式中项有两项，一项是中的项，另一项是与中含x的项乘积构成.
【详解】
由已知，，因为展开式的通项为，所以
展开式中的系数为.
故选：C.
本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.
4、D
【解析】
弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.
【详解】
因，所以，故，又， ，则，
故集合.
故选：D.
本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.
5、D
【解析】
根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选D．
6、A
【解析】
将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.
【详解】
当时，
又，，
由在上的值域为
解得：
本题正确选项：
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.
7、B
【解析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
8、B
【解析】
因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知的值为2，选B.
【详解】
请在此输入详解！
9、D
【解析】
连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案
【详解】
连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.
本题考查向量的线性运算问题，属于基础题
10、C
【解析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【详解】
由得：
本题正确选项：
本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
11、D
【解析】
模拟程序运行，观察变量值的变化，得出的变化以4为周期出现，由此可得结论．
【详解】
；如此循环下去，当时，，此时不满足，循环结束，输出的值是4.
故选：D．
本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．
12、B
【解析】
试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
由p是的充分不必要条件知“若p则”为真，“若则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则”为真，“若则q”为假，故选B．
考点：逻辑命题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据题意，判断出，根据等比数列的性质可得，再令数列中的，，，根据等差数列的性质，列出等式，求出和的值即可.
【详解】
解：由，其中，，
可得，则，令，，
可得.①
又令数列中的，，，
根据等差数列的性质，可得，
所以.②
根据①②得出，.
所以.
故答案为.
本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.
14、1055
【解析】
模拟执行程序框图中的程序，即可求得结果.
【详解】
模拟执行程序如下：
，满足，
，满足，
，满足，
，满足，
，不满足，
输出.
故答案为：1055.
本题考查程序框图的模拟执行，属基础题.
15、16
【解析】
要得到的系数，只要求出二项式中的系数减去的系数的2倍即可
【详解】
的系数为.
故答案为：16
此题考查二项式的系数，属于基础题.
16、
【解析】
利用等差数列前项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式，可求出的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出的最大值.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以，数列的通项公式为；
（2），，
令，则且，，
由双勾函数的单调性可知，函数在时单调递减，在时单调递增，
当或时，取得最大值为.
故答案为：；.
本题考查等差数列的通项公式、前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）.（2）
【解析】
（1）先设等差数列{an}的公差为d（d＞0），然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程，解出d的值，即可得到数列{an}的通项an；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用错位相减法计算前n项和Tn.
【详解】
（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d（d＞0），则
a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，
整理，得12d2+7d﹣10＝0，
解得d（舍去），或d，
∴an＝1（n﹣1），n∈N*.
（2）由（1）知，bn＝an⋅3n•3n＝（2n+1）•3n﹣1，
∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）•3n﹣1，
∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n，
两式相减，可得：
﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）•3n
＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n
＝3+2（2n+1）•3n
＝﹣2n•3n，
∴Tn＝n•3n.
本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n项和.考查了转化与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.
18、（1）证明见解析；（2）为线段上靠近点的四等分点，且坐标为
【解析】
（1）先通过线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出的坐标从而位置可确定.
【详解】
（1）证明：因为，，，
所以，即.
又因为，，所以，
，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：连接，因为，是的中点，所以.
由（1）知，平面平面，所以平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则平面的一个法向量是，，，.
设，，
，，
代入上式得，，，所以.
设平面的一个法向量为，，，
由，得.
令，得.
因为二面角的平面角的大小为，
所以，即，解得.
所以点为线段上靠近点的四等分点，且坐标为.
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.
19、 (1)a=-1,b=1;(2)-1.
【解析】
（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根据对任意恒成立，等价于对任意恒成立，构造，求出的单调性，由，，，，可得存在唯一的零点，使得，利用单调性可求出，即可求出的最大值.
（1），.
由题意知.
（2）由（1）知：，
∴对任意恒成立
对任意恒成立
对任意恒成立.
令，则.
由于，所以在上单调递增.
又，，，，
所以存在唯一的，使得，且当时，，时，. 即在单调递减，在上单调递增.
所以.
又，即，∴.
∴ .
∵ ，∴ .
又因为对任意恒成立，
又，∴ .
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据离心率以及，即可列方程求得，则问题得解；
（2）设直线方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，根据题意中转化出的，即可求得参数，则三角形面积得解.
【详解】
（1）设，由题意可得.
因为是的中位线，且，
所以，即，
因为
进而得，
所以椭圆方程为
（2）由已知得两边平方
整理可得.
当直线斜率为时，显然不成立.
直线斜率不为时，
设直线的方程为，
联立消去，得，
所以，
由得
将代入
整理得，
展开得，
整理得，
所以.即为所求.
本题考查由离心率求椭圆的方程，以及椭圆三角形面积的求解，属综合中档题.
21、（1），；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据题中条件求出等差数列的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列的通项和前项和；
（2）根据裂项求和求出，根据的表达式即可证明.
【详解】
（1）设的公差为，
由题意有，
且，
所以，
；
（2）因为，
所以，
.
本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.
22、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由折叠过程知与平面垂直，得，再取中点，可证与平面垂直，得，从而可得线面垂直，再得线线垂直；
（2）由已知得为中点，以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，由已知求出线段长，得出各点坐标，用平面的法向量计算二面角的余弦．
【详解】
（1）易知与平面垂直，∴，
连接，取中点，连接，
由得，，
∴平面，平面，∴，
又，∴平面，∴；
（2）由，知是中点，
令，则，
由，，
∴，解得，故．
以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，设平面的法向量为，
则，取，则．
又易知平面的一个法向量为，
．
∴二面角的余弦值为．
本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．证线线垂直，一般先证线面垂直，而证线面垂直又要证线线垂直，注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化．求空间角，常用方法就是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．