长沙市2027年高考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份长沙市2027年高考数学一模试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了已知.给出下列判断等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．13D．
2．的内角的对边分别为，若，则内角（ ）
A．B．C．D．
3．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知复数满足，则（ ）
A．B．2C．4D．3
5．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（ ）
A．300，B．300，C．60，D．60，
7．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A．α∥β且∥αB．α⊥β且⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于D．α与β相交，且交线平行于
8．年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人心抗击疫情.下图表示月日至月日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（ ）
A．月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势
B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，月下旬单日治愈人数超过确诊人数
C．月日至月日新增确诊人数波动最大
D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在月日左右达到峰值
9． 的内角的对边分别为，已知，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
10．已知.给出下列判断：
①若，且，则；
②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；
④若在上单调递增，则的取值范围为.
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线的斜率为
A．1B．C．D．
12．已知函，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．0D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数的最小值为2，则_________．
14．设点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则线段PQ长度的最小值为_________
15．如图,已知，，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最小值是_____．
16．设实数，若函数的最大值为，则实数的最大值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设点，若直线与曲线相交于、两点，求的值
18．（12分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)
19．（12分）在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD.
（1）证明：BD⊥EG；
（2）若三棱锥，求菱形ABCD的边长.
20．（12分）已知（）过点，且当时，函数取得最大值1.
（1）将函数的图象向右平移个单位得到函数，求函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，函数，求在上的值域.
21．（12分）已知函数．
(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
22．（10分）已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即
点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
2、C
【解析】
由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．
【详解】
∵，由正弦定理可得，
∴，
三角形中，∴，∴．
故选：C．
本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．
3、A
【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.
【详解】
由，，可知平面．
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．
由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，
记的外心为，由为等边三角形，
可得．又，故在中，，
此即为外接球半径，从而外接球表面积为．
故选：A
本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
4、A
【解析】
由复数除法求出，再由模的定义计算出模．
【详解】
．
故选：A．
本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题．
5、C
【解析】
如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案.
【详解】
如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，
，故，，
设球半径为，则，解得，故.
故选：.
本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
6、B
【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率．
【详解】
由频率分布直方图得：
在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，
∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，
行驶速度超过的频率为：．
故选：B．
本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7、D
【解析】
试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
8、D
【解析】
根据新增确诊曲线的走势可判断A选项的正误；根据新增确诊曲线与新增治愈曲线的位置关系可判断B选项的正误；根据月日至月日新增确诊曲线的走势可判断C选项的正误；根据新增确诊人数的变化可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于A选项，由图象可知，月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，A选项正确；
对于B选项，由图象可知，随着全国医疗救治力度逐渐加大，月下旬单日治愈人数超过确诊人数，B选项正确；
对于C选项，由图象可知，月日至月日新增确诊人数波动最大，C选项正确；
对于D选项，在月日及以前，我国新型冠状病毒肺炎新增确诊人数大于新增治愈人数，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数不在月日左右达到峰值，D选项错误.
故选：D.
本题考查统计图表的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
9、A
【解析】
先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B.
【详解】
由正弦定理可得，即，即有，因为，则，而，所以.
故选：A
此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.
10、B
【解析】
对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.
【详解】
因为，所以周期.
对于①，因为，所以，即，故①错误；
对于②，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；
对于③，令，可得，则，
因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，
所以，即，解得，故③正确；
对于④，因为，且，所以，解得，又，所以，故④正确.
故选：B.
本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.
11、C
【解析】
根据抛物线定义，可得，，
又，所以，所以，
设，则，则，
所以，所以直线的斜率．故选C．
12、B
【解析】
，利用整体换元法求最小值.
【详解】
由已知，
又，，故当，即时，.
故选：B.
本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.
【详解】
根据题意可知，
可以发现当或时是分界点，
结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点，
故，解得，故答案是.
本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14、
【解析】
由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于对称,则点到的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值.
【详解】
由题,因为与互为反函数,则图象关于对称,
设点为,则到直线的距离为,
设,
则,令,即,
所以当时,,即单调递减；当时,,即单调递增,
所以,则,
所以的最小值为,
故答案为:
本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.
15、
【解析】
建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出的表达式,求出其最小值即可.
【详解】
建立直角坐标系如图所示：
则点,,,
设点,
所以,
由平面向量数量积的坐标表示可得,
,其中,
因为,
所以的最小值为.
故答案为:
本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算求解能力;建立直角坐标系,把表示为关于角的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;属于中档题.
16、
【解析】
根据，则当时，，即.当时，显然成立；当时，由，转化为，令，用导数法求其最大值即可.
【详解】
因为，又当时，，即.
当时，显然成立；
当时，由等价于，
令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，则，
又，得，
因此的最大值为.
故答案为：
本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）.
【解析】
（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，利用两角和的正弦公式以及可将直线的极坐标方程化为普通方程；
（2）设直线的参数方程为（为参数），并设点、所对应的参数分别为、，利用韦达定理可求得的值.
【详解】
（1）由，得，，
曲线的普通方程为，
由，得，直线的直角坐标方程为；
（2）设直线的参数方程为（为参数），
代入，得，则，
设、两点对应参数分别为、，，，
，，.
本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.
18、 (Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.
【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.
(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.
，，.
故分布列为：
.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.
故的最小值为.
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）取中点，连，可得，结合平面EAD⊥平面ABCD，可证
平面ABCD，进而有，再由底面是菱形可得，可得，
可证得平面，即可证明结论；
（2）设底面边长为，由EFAB，AB＝2EF，，求出体积，建立的方程，即可求出结论.
【详解】
（1）取中点，连，
底面ABCD为菱形，，
，平面EAD⊥平面ABCD，
平面平面平面，
平面平面，
底面ABCD为菱形，，
为中点，，
平面，
平面平面，；
（2）设菱形ABCD的边长为，则，
，
，
，
，所以菱形ABCD的边长为.
本题考查线线垂直的证明和椎体的体积，注意空间中垂直关系之间的相互转化，体积问题要熟练应用等体积方法，属于中档题.
20、 (1)；(2).
【解析】
试题分析：
(1)由题意可得函数f(x)的解析式为，则.
(2)整理函数h(x)的解析式可得：，结合函数的定义域可得函数的值域为.
试题解析：
(1)由函数取得最大值1，可得,函数过得，
，∵，∴
，.
(2) ，
，
，值域为.
21、 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可； (Ⅱ)将原问题进行等价转化为，，恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数的取值范围即可．
【详解】
解：(Ⅰ)当时，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得：；由得：．
∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是．
(Ⅱ)对任意的和，恒成立等价于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：，，，
则得，
由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，，即
又∵，
∴实数的取值范围是：．
本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.
（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，等价于，根据绝对值不等式易求，根据二次函数易求，
然后解不等式即可.
【详解】
解：（1）当时，，则
当时，由得，，解得；
当时，恒成立；
当时，由得，，解得.
所以的解集为
（2）对任意，都存在，得成立，等价于.
因为，所以，
且|
，①
当时，①式等号成立，即.
又因为，②
当时，②式等号成立，即.
所以，即
即的取值范围为：.
知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；中档题.