2027年长沙市高考数学全真模拟密押卷（含答案解析）

这是一份2027年长沙市高考数学全真模拟密押卷（含答案解析）试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，偶函数关于点对称，当时，，求，在中，，，，则边上的高为，已知集合，，则=等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）
A．B．C．D．
2．函数f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝sin(2x＋)B．f(x)＝sin(2x－)
C．f(x)＝sin(2x＋)D．f(x)＝sin(2x－)
3．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是( )
A．任意，使方程无实根
B．任意，使方程有实根
C．存在，使方程无实根
D．存在，使方程有实根
5．偶函数关于点对称，当时，，求（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，，，则边上的高为（ ）
A．B．2C．D．
7．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（ ）
A．4B．8C．9D．27
8．已知集合，，则=( )
A．B．C．D．
9．执行如图所示的程序框图若输入，则输出的的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则下述四个结论：
①②③④点为函数的一个对称中心
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
12．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数，满足，则的最大值为______.
14．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．
15．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测：
甲说：第1个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
乙说：第2个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
丙说：第4个盒子里放的是，第2个盒子里放的是
丁说：第4个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”
可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________
16．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线是曲线的切线.
（1）求函数的解析式，
（2）若，证明:对于任意，有且仅有一个零点.
18．（12分）设函数.
（1）时，求的单调区间；
（2）当时，设的最小值为，若恒成立，求实数t的取值范围.
19．（12分）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，过左焦点的直线交椭圆于、两点（异于、两点），当直线垂直于轴时，四边形的面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线、的交点为；试问的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
20．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，
21．（12分）在边长为的正方形，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，构成一个三棱锥.

（1）判别与平面的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体的体积.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin.
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n的值，进而求解的值，得到答案.
【详解】
由题意，，
第1次循环，，满足判断条件；
第2次循环，，满足判断条件；
第3次循环，，满足判断条件；

可得的值满足以3项为周期的计算规律，
所以当时，跳出循环，此时和时的值对应的相同，即.
故选：C.
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
2、D
【解析】
由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到 ，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.
【详解】
分析：由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.
详解：因为函数的最小正周期是，
所以，解得，所以，
将该函数的图像向右平移个单位后，
得到图像所对应的函数解析式为，
由此函数图像关于直线对称，得：
，即，
取，得，满足，
所以函数的解析式为，故选D.
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
3、A
【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
【详解】
解：.
故选：A
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
4、A
【解析】
只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.
【详解】
由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是
“任意，使方程无实根”.
故选：A
本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.
5、D
【解析】
推导出函数是以为周期的周期函数，由此可得出，代值计算即可.
【详解】
由于偶函数的图象关于点对称，则，，
，则，
所以，函数是以为周期的周期函数，
由于当时，，则.
故选：D.
本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
6、C
【解析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得边上的高.
【详解】
过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.
故选：C
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.
7、D
【解析】
设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.
【详解】
设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，
作正四面体的高为，
则，
，
，
设内切球的半径为，内切球的球心为，
则，
解得：；
设外接球的半径为，外接球的球心为，
则或，，
在中，由勾股定理得：
，
，解得，
，

故选：D
本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.
8、C
【解析】
计算，，再计算交集得到答案.
【详解】
，，故.
故选：.
本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
9、C
【解析】
由程序语言依次计算，直到时输出即可
【详解】
程序的运行过程为
当n=2时，时，，此时输出.
故选：C
本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题
10、C
【解析】
根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】
∵a>0，b>0，a+b=1，
∴，
当且仅当时取“＝”号．
答案：C
本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.
11、B
【解析】
首先根据三角函数的平移规则表示出，再根据对称性求出、，即可求出的解析式，从而验证可得；
【详解】
解：由题意可得，
又∵和的图象都关于对称，∴，
∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，
∴①③④正确，②错误.
故选：B
本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.
12、A
【解析】
由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可.
【详解】
因为，所以，又，所以，
，所以.
故选：A.
本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
画出不等式组表示的平面区域，将目标函数理解为点与构成直线的斜率，数形结合即可求得.
【详解】
不等式组表示的平面区域如下所示：
因为可以理解为点与构成直线的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，斜率取得最大值，
故的最大值为.
故答案为：.
本题考查目标函数为斜率型的规划问题，属基础题.
14、（-4，2）
【解析】
试题分析：因为当且仅当时取等号，所以
考点：基本不等式求最值
15、A或D
【解析】
分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可．
【详解】
解：假设甲说：第1个盒子里面放的是是对的，
则乙说：第3个盒子里面放的是是对的，
丙说：第2个盒子里面放的是是对的，
丁说：第4个盒子里面放的是是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是；
假设甲说：第3个盒子里面放的是是对的，
则丙说：第4个盒子里面放的是是对的，
乙说：第2个盒子里面放的是是对的，
丁说：第3个盒子里面放的是是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是．
故第4个盒子里面放的电影票为或．
故答案为：或
本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．
16、
【解析】
先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果.
【详解】
一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：
1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个，
其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件，
因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：.
故答案为：.
本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）对函数求导，并设切点，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得，即可得答案；
（2）当x充分小时，当x充分大时，可得至少有一个零点. 再证明零点的唯一性，即对函数求导得，对分和两种情况讨论，即可得答案.
【详解】
（1）根据题意，，设直线与曲线相切于点.
根据题意，可得，解之得，
所以.
（2）由（1）可知，
则当x充分小时，当x充分大时，∴至少有一个零点.
∵，
①若，则，在上单调递增，∴有唯一零点.
②若令，得有两个极值点，
∵，∴，∴.
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴极大值为.，又，
∴在(0，16)上单调递增，
∴，
∴有唯一零点.
综上可知，对于任意，有且仅有一个零点.
本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意零点存在定理的运用.
18、（1）的增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
（1）求出函数的导数，由于参数的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究函数的单调区间；
（2）由（1）的结论，求出的表达式，由于恒成立，故求出的最大值，即得实数的取值范围的左端点．
【详解】
解：（1）解：，
当时，，解得的增区间为，
解得的减区间为.
（2）解：若，由得，由得，
所以函数的减区间为，增区间为；
，
因为，所以，，
令，则恒成立，
由于，
当时，，故函数在上是减函数，
所以成立；
当时，若则，故函数在上是增函数，
即对时，，与题意不符；
综上，为所求．
本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的单调区间，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细．
19、（1）
（2）是为定值，的横坐标为定值
【解析】
（1）根据“直线垂直于轴时，四边形的面积为1”列方程，由此求得，结合椭圆离心率以及，求得，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线的方程，并求得两直线交点的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得的横坐标为定值.
【详解】
（1）依题意可知，解得，即；而，即，结合解得，，因此椭圆方程为
（2）由题意得，左焦点，设直线的方程为：，，．
由消去并整理得，∴，．
直线的方程为：，直线的方程为：．
联系方程，解得，又因为．
所以．所以的横坐标为定值．
本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
20、 (1) (2)见证明
【解析】
(1)由题意将递推关系式整理为关于与的关系式，求得前n项和然后确定通项公式即可；
(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.
【详解】
（1）由，得，即，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即，
当时，，
当时，，也满足上式，所以；
（2）当时，，
所以
给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
21、（1）平行，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由题意及图形的翻折规律可知应是的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）利用条件及线面垂直的判定定理可知，，则平面，在利用锥体的体积公式即可．
【详解】
（1）证明：因翻折后、、重合，
∴应是的一条中位线，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）解：∵，，
∴面
且，，
，
又，
．
本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及锥体的体积公式，属于基础题．
22、（1）（2）(2，)．
【解析】
（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式求解.
（2）先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可.
【详解】
（1）∵曲线C的极坐标方程为，
∴，则,
即.
（2），
∴，
联立可得，
（舍）或，
公共点(，3)，化为极坐标(2，)．
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.