数学五年级上册（2024）*格点多边形的面积教案及反思

这是一份数学五年级上册（2024）*格点多边形的面积教案及反思，共12页。教案主要包含了学情分析，教材分析，核心素养教学目标，教学重难点，教学过程，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
五年级学生已经完整学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式，熟练掌握分割法、添补法计算组合图形面积，会借助方格纸数方格估算图形面积，具备转化思想与方格纸观察计数的基础能力。学生能够把陌生多边形拆解为熟悉的基础图形开展运算，但对于“格点”“内部格点”“边界格点”这类全新数学概念较为陌生。学生数边界格点时容易出现顶点重复计数、漏数边上格点的问题。学生习惯于依靠割补计算面积，缺少从多组数据当中提炼数学规律的探究经验，自主发现面积与两类格点数之间的数量关系存在思维障碍。不少学生能够机械记住公式，但很难理解公式每一部分的含义，遇到结构复杂的格点多边形容易计数出错。本节课依托教材方格图例，借助表格收集整理数据，引导学生经历猜想、验证、归纳的完整探究过程，把具象图形转化为抽象数学模型，进一步发展学生几何直观与推理意识。
二、教材分析
《格点多边形的面积》安排在人教版2026秋季新教材五年级上册第六单元《多边形的面积》末尾，属于单元综合探究实践课，是多边形面积知识的拓展深化内容。教材设置两道核心例题，例1出示方格纸上的简单格点多边形，先回顾分割法、添补法，引出格点、格点多边形概念，区分内部格点与边界格点，借助统计表记录图形面积、内部格点数、边界格点数，初步感知三者之间的内在联系。例2进一步开展探究，变换多组格点多边形，通过控制变量的方式对比数据，归纳出格点多边形面积计算公式，也就是皮克定理 S=a+b2−1，教材简单介绍定理的数学背景。教材配套做一做习题，兼顾概念辨析、数据统计、公式运用，同时要求学生对比割补法与公式法，体会不同解法的优劣。本课立足方格纸载体，巩固多边形面积旧知，渗透数形结合、从特殊到一般、数学建模的思想，落实2022版新课标几何直观、推理意识、模型意识的素养要求，为后续图形与几何的探究积累数学活动经验。
三、核心素养教学目标
1.几何直观：认识格点、格点多边形，能够清晰区分内部格点与边界格点，掌握格点的计数方法；能够熟练使用分割法、添补法计算格点多边形面积，建立方格纸上图形与统计数据之间的对应联系。
2.推理意识：经历观察图形、统计数据、提出猜想、举例验证、归纳规律的完整探究过程，发现格点多边形面积与内部格点数、边界格点数的数量关系，体会从特殊实例推导一般规律的探究方法，养成有理有据的思考习惯。
3.模型意识：理解格点多边形面积公式每一个字母代表的实际含义，能正确代入公式计算格点多边形面积，感受数学模型给复杂图形计算带来的便利，明确公式适用前提条件。
4.应用意识：能够根据格点多边形的复杂程度，灵活选择割补法或者公式法求解面积，养成仔细观察、严谨计数、主动验算的学习习惯。
四、教学重难点
教学重点：认识格点多边形，会准确数出内部格点数、边界格点数；探究归纳格点多边形面积公式，运用公式计算格点多边形面积。
教学难点：边界格点计数，避免顶点重复、漏数；理解格点多边形面积公式的由来；把握公式的适用条件。
五、教学过程
第1课时 格点多边形的面积（例1，认识格点多边形，统计探究数据）
（一）复习旧知，导入新课，出示教材例1方格主题图
教师出示教材例1主题方格图，说明方格纸每一个小正方形边长为1厘米，每个小方格面积是1平方厘米。
师：同学们，前面我们学习了多边形的面积，请大家回忆，在方格纸上求不规则多边形面积，我们学过哪些方法？
生：可以用分割法，把图形拆成平行四边形、三角形、梯形，分别计算面积再相加；也可以用添补法，补上一部分变成大长方形，用大图形面积减去补上部分的面积；还可以数方格进行估算。
师：说得很完整，分割法和添补法本质都是运用我们非常熟悉的转化思想，把陌生图形转化成已经会计算的基础图形。请大家仔细观察课本例1方格纸上横竖线相交的这些交点，在数学上，这些交点就叫作格点。教师板书概念：格点。
师：大家再看图上的多边形，这个多边形所有的顶点都正好落在格点上面，像这样顶点全部在格点上的多边形，我们叫作格点多边形。板书课题：格点多边形的面积。
师：今天我们就专门来研究方格纸上这类特殊的多边形，除了分割、添补，看看能不能找到更加简便的计算方法。请大家看向课本例1的第一个格点多边形，请大家用之前学过的分割法或者添补法，算一算这个图形的面积。大家把计算过程写在课本旁边空白位置。
【设计意图】复习组合图形面积的旧方法，依托教材例1直接给出格点、格点多边形的定义，搭建本节课的基础概念，用旧方法求解格点多边形面积，为后续数据探究做好铺垫。
（二）教学教材例1，区分内部格点、边界格点，填写统计表格
学生独立计算，教师巡视课堂，收集学生不同的解题思路。
师：哪位同学愿意分享你的计算思路，说一说你算出的面积是多少？
生1：我使用分割法，把这个格点多边形分成一个梯形和两个三角形，分别算出面积之后相加，得到总面积是7平方厘米。
生2：我用添补法，把图形外围补成一个大长方形，用大长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积，算出来结果同样是7平方厘米。
师：两种不同的转化方法，计算得到的面积结果保持一致，说明这个格点多边形面积就是7平方厘米。
师：现在我们换一个观察角度，不去拆分图形，我们来数一数这个图形上面的格点。大家仔细观察，格点有的被包裹在图形的里面，有的落在多边形的边线、顶点上面。数学上我们把完全处在多边形内部，不接触边线的格点叫作内部格点，用字母 a 表示；落在多边形边线以及各个顶点上的格点叫作边界格点，用字母 b 表示。教师板书：内部格点 a，边界格点 b。
师：请同学们看向课本例1的统计表，表格当中包含三列，分别是面积 S、内部格点数 a、边界格点数 b。我们先来数这个图形的内部格点，只数图形里面，不要碰到边线，大家在课本图上数一数。
生：内部一共有5个格点。
师：接下来数边界格点，我们沿着多边形的边线一圈依次点数，要特别注意，多边形的顶点属于边界格点，但是每一个顶点只能够数一次，不能重复计数。大家跟着老师一起沿着边线数一遍。
生：边界一共6个格点。
教师在黑板板书表格，填入第一组数据：S=7，a=5，b=6。
师：教材例1方格纸上还有第二个格点多边形，请同学们按照同样的步骤完成操作。第一步，使用分割法或者添补法算出图形的面积；第二步，数清楚内部格点数 a 和边界格点数 b，把数据填写到课本统计表的第二行。
学生独立完成，教师巡视课堂，重点查看学生数边界格点，纠正顶点重复计数的错误。
师：我们一起来核对第二个图形的数据，谁来汇报你的结果？
生：用添补法算出面积是5平方厘米，内部格点 a=3，边界格点 b=6。教师将数据填入黑板表格。
师：例1还有第三个格点多边形，请大家继续完成计算与计数，填写表格第三行。
生汇报结果：面积 S=3 平方厘米，内部格点 a=1，边界格点 b=6。教师填入表格。
师：大家观察表格当中的三组数据，这三个图形边界格点数 b 全部都是6，但是内部格点数 a 不一样，图形的面积也不一样。大家想一想，格点多边形的面积，会和什么因素有关系？同桌之间互相说一说你的猜想。
生：格点多边形的面积既和内部格点数有关系，也和边界格点数有关系。
师：猜想很有价值。仅仅依靠这三组数据，还不能够总结出完整的规律，我们还需要更多格点多边形的数据继续开展探究。
【设计意图】依托教材例1落实两个核心概念，着重强调边界格点的计数注意事项，借助统计表收集多组真实数据，引导学生建立猜想，突出本课数学探究的课堂属性。
（三）教材做一做第一部分，巩固格点计数与面积计算
师：请同学们翻开课本做一做第一题，方格纸上给出两个简单格点多边形，请大家完成两项任务。第一，用分割法或者添补法计算图形面积；第二，数出每一个图形的内部格点数 a 和边界格点数 b。
两名学生到黑板方格简图上面进行点数，其余学生在课本上完成练习。
师：数边界格点的时候，有什么需要提醒全班同学的地方？
生：沿着多边形的边线一周数，顶点只数一遍，不能重复数；区分清楚内部格点和边界格点，不要把内部格点算进边界格点。
师：说得很到位。内部格点完全在图形内部，不触碰边线；边界格点分布在边和顶点上，计数沿着边线有序进行，避免漏数、重复数。
师：我们把这两组新的数据继续补充到黑板的统计表当中。现在我们已经收集五组格点多边形的数据，请大家再次观察表格当中的数字，尝试找一找面积、内部格点数、边界格点数三者之间的运算关系，同桌之间互相交流。
学生观察表格，开展同桌交流。
师：部分同学已经有初步想法，但是还没有形成统一完整的关系式。下一节课，我们继续分析这些数据，归纳出格点多边形面积的通用计算规律。
（四）第1课时课堂过渡小结
师：第1课时我们学习教材例1，认识了格点与格点多边形，分清内部格点 a、边界格点 b。复习分割法、添补法计算格点多边形的面积。我们收集多组图形的面积、内部格点数、边界格点数的数据，发现格点多边形的面积同时受内部格点、边界格点两个条件影响。数边界格点要沿着边线有序计数，顶点只能计数一次。下一节课，我们结合教材例2，对收集的数据进一步分析，归纳格点多边形面积的计算公式。
第2课时 格点多边形的面积（例2，归纳公式，运用公式计算）
（一）复习旧知，导入新课
师：上一节课我们认识格点多边形，谁来回顾说一说，什么是内部格点，什么是边界格点，计数的时候有哪些注意点？
生：内部格点是图形里面不碰边线的格点；边界格点是边线、顶点上的格点，数的时候顶点不能重复数。
教师出示黑板完整的数据统计表，回顾五组探究数据。
师：上节课我们用割补法算出各个图形面积，统计了 a 内部格点数、b 边界格点数。今天我们学习教材例2，继续探究，从这些数据当中找到格点多边形面积的通用计算方法。板书课题：格点多边形的面积。
【设计意图】复习第一课时概念与统计数据，直接出示教材例2探究任务，完成课时之间知识衔接。
（二）教学教材例2，数据分析，归纳格点多边形面积公式
师：请同学们看向课本例2，课本继续给出多组格点多边形，表格预留填写位置。我们先来观察第一组图形，图形内部格点数 a=0，边界格点数 b=4。请大家用添补法算一算它的面积。
生：面积等于1平方厘米。
师：记录数据：a=0，b=4，S=1。大家尝试对0和4做运算，看一看怎样运算可以得到结果1。学生口算尝试。
师：再看例2第二个图形，内部格点数 a=1，边界格点数 b=4，割补法算出面积 S=2。第三个图形 a=2，b=4，算出面积 S=3。
师：这一组图形边界格点数 b 固定为4，内部格点数 a 每增加1，图形面积也跟着增加1。这说明内部格点每多一个，面积就增加1平方厘米。
师：接下来我们换一组图形，保持内部格点数 a 不变，改变边界格点数 b，观察面积的变化。看教材例2另外一组图形，a=1，边界格点数分别是6、8，请大家算出对应的面积。
生：a=1，b=6，面积是3；a=1，b=8，面积是4。
师：内部格点不变，边界格点每增加2，面积增加1。这提示我们边界格点数要除以2参与运算。
师：结合我们前面全部表格当中多组图形的数据，数学家皮克专门研究格点多边形，经过大量举例验证，得到格点多边形面积计算公式。教师板书公式：
S=a+b2−1
师：教师逐项讲解公式含义，S 代表格点多边形的面积；a 代表多边形内部格点数；b 代表多边形边界格点数；计算的时候要先算除法 b2，再依次进行加减运算。
师：我们拿第1课时例1当中第一组数据进行验算，a=5，b=6，请大家在练习本代入公式计算。
生：S=5+6÷2−1=5+3−1=7，和割补法算出来的面积7平方厘米完全一致。
师：我们再拿 a=0，b=4 代入公式，S=0+4÷2−1=0+2−1=1，计算结果同样正确。
师：请大家自主挑选表格当中另外一组数据，代入公式验算，对比割补法得到的面积，看一看结果是否一致。学生自主验算。
师：这个公式叫作皮克定理，但是大家要记住重要前提，这个公式只适用于格点多边形，也就是多边形所有顶点都落在格点上。如果图形顶点不在格点上，就不能直接使用这个公式。
【设计意图】依托教材例2，采用控制变量的探究方式，分别固定内部格点、固定边界格点观察面积变化，理解公式每一部分的意义，借助旧数据完成验算，完成从具体数据到数学模型的建构，落实本课教学重点。
（三）教材例2示范讲解，明确公式完整解题步骤
师：教材例2当中给出示范格点多边形，我们完整走一遍使用公式解题的全部步骤。方格每个小方格面积1平方厘米。
师：第一步，判断图形，确认这是格点多边形，所有顶点全部落在格点之上。
第二步，数格点，数出内部格点数 a，只数图形内部，不触碰边线；再沿着边线一周数边界格点数 b，顶点只计数一次。这个示范图形数出来内部格点 a=7，边界格点 b=12。
第三步，把 a、b 的数值代入公式 S=a+b2−1。
第四步，按照四则运算顺序开展计算，S=7+12÷2−1=7+6−1=12，得到面积12平方厘米。
师：计算完成之后，我们还可以用添补法重新计算一遍，用来检验计算结果是否正确。
师：老师提醒大家，很多同学出错，不是公式不会，而是边界格点数错。大家数边界格点的时候，可以用笔点着每一个边界格点，数一个做一个小小的标记，防止漏数、重复数顶点。
【设计意图】完整示范教材例题实操流程，把抽象公式拆解成可操作的四步解题流程，点明高频易错点，提升课堂教学实用性。
（四）教材做一做习题巩固，割补法与公式法对比练习
师：请同学们翻开课本做一做第二大题，方格纸上给出两个格点多边形。题目要求用两种方法计算面积，第一种分割或者添补，第二种使用格点多边形面积公式。
学生独立完成练习，两名学生板演。
师：我们来看第一位板演同学，说一说你数出来的 a、b 分别是多少？代入公式算出的面积是多少？分割添补得到的结果是多少，两组结果是否一致？
生：内部格点 a=3，边界格点 b=8，S=3+8÷2−1=3+4−1=6；分割法计算面积同样是6平方厘米，结果一致。
师：第二幅图形结构相对复杂，如果用分割添补，需要拆分成多个小图形，计算步骤繁琐。我们只要数准内部格点和边界格点，代入公式就可以快速算出面积。大家对比感受两种方法各自的特点。
生：简单格点多边形，割补法计算很方便；图形复杂零碎的时候，数格点套公式更加快捷。
师：所以以后面对格点多边形，我们可以根据图形复杂程度灵活选择解题方法。图形简单，直接割补；图形复杂，优先选用格点公式。
师：我们再完成课本配套练习题，三角形格点多边形，请大家数出 a 和 b，代入公式计算面积，再用三角形面积公式底×高÷2进行验证。
生：a=2，b=6，S=2+6÷2−1=2+3−1=4；底4，高2，4×2÷2=4，结果一致。
师：三角形同样属于格点多边形，只要顶点落在格点上，就可以使用这个公式。
（五）易错情境辨析，巩固公式适用条件
师：老师出示一个图形，这个多边形有一个顶点没有落在格点上，能不能直接套用 S=a+b2−1 这个公式？
生：不能，它不是格点多边形，公式只适用于顶点全部落在格点上的多边形。
师：说得很准确。遇到非格点多边形，我们依旧只能使用分割法、添补法、数方格的方法计算面积，不能够直接使用皮克定理。
六、课堂小结
第1课时小结
师：第1课时我们学习教材例1，认识格点、格点多边形，分清内部格点 a与边界格点 b。复习分割法、添补法计算格点多边形面积。我们收集多组格点多边形的面积、内部格点数、边界格点数的数据，发现格点多边形面积同时和内部格点、边界格点有关系。数边界格点要沿着边线有序点数，顶点格点只能计数一次，避免重复或者遗漏。
第2课时小结
师：第2课时学习教材例2，归纳出格点多边形面积公式 S=a+b2−1，也就是皮克定理。其中 a 代表内部格点数，b 代表边界格点数。使用公式解题分为四步：第一，确认图形是格点多边形；第二，准确数出内部格点数 a、边界格点数 b；第三，代入公式，先算除法，再做加减运算；第四，可以用分割或者添补法验算结果。简单格点多边形可以使用割补法；复杂格点多边形使用公式计算更加简便。公式有使用前提，只适用于顶点全部落在格点上的格点多边形。