四川省成都市郫都区第一中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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满分：150分；考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集的概念求解即可.
【详解】集合，，
则．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断.
【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误；
对于B，若，取，此时，则，故B错误；
对于C，若，不等式两边同时乘以，则，
对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确；
对于D，若，取，此时，则，故D错误，
故选：C.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
4. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果.
【详解】
设，则，即，故，
因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，
故原方程共有6个根.
故选：D.
5. 受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表：
若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 时的水深约为
D. 一天中水深低于的时间为4小时
【答案】C
【解析】
【详解】由的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由的值可得，代入计算，即可判断C，求解不等式，即可判断D.
【分析】由数据知，所以，A错误；，故B错误；
由，得，故C正确；
由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误.
故选：C.
6. 已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积的定义可得，从而可得，进而得出，即，求出.
【详解】根据
，
可得，故，
所以，故的周期为24，所以，，
故选：A．
7. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
8. 形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（ ）
①函数的定义域为；
②；
③函数的图象关于直线对称；
④当时，；
⑤方程有四个不同的根.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式分母不为零可求得定义域，知①错误；利用解析式可求得，知②正确；通过可知③错误；分别在和的情况下得到，知④正确；作出与的图象，根据图象交点个数可知⑤正确.
【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误；
对于②，，，②正确；
对于③，，，，
不关于直线对称，③错误；
对于④，当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述：当时，，④正确；
对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的图象如下图所示，
由图象可知：与有四个不同交点，
方程有四个不同的根，⑤正确.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知正实数a，b满足，则下列是真命题的为（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值为2
C. 的最大值为2D. 的最小值为2
【答案】AB
【解析】
【分析】根据基本不等式逐项判断即可得正确的选项.
【详解】对A，，当且仅当时“等号”成立，故A正确；
对B，，
当且仅当时“等号”成立，故B正确；
对C，，
当且仅当时“等号”成立，故C错误；
对D，，
当且仅当时“等号”成立，故D错误.
故选：AB
10. 已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据同角关系可求，根据配凑角的方式即可求解B,根据积化和差即可求解C，根据弦切互化即可求解D.
【详解】因为，，其中，为锐角，故
所以：，故A正确；
因为，
所以
，故B错误；
可得，故C正确；
可得，所以，故D错误．
故选:AC
11. 设函数的定义域为，满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 在上为减函数
C. 为奇函数D. 方程有且仅有6个实数解
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知得到、，进而有，再利用对称性、周期性判断A、B、C，结合区间解析式及对称性和周期性化为函数与的大致图象，数形结合确定零点个数判断D.
【详解】由，则函数为奇函数，
即函数的图象关于点成中心对称，得，
由，则函数为偶函数，
即函数的图象关于直线成轴对称，得，
两式相加可得，则，即，
A，，故A正确；
B，由周期性知，函数在区间与上图象相同，
由函数的图象关于点成中心对称，
则函数在区间与上的单调性相同，，
当时，，
函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误；
C，由，则函数为奇函数，故C正确；
D，由题意，作图如下：
则函数与有且仅有个交点，
所以有且仅有6个实数解，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 方程有两个不相等的负实数根的充要条件是__________.
【答案】
【解析】
【分析】一元二次方程根与系数的关系是，只要保证即可.
【详解】因为方程有两个不相等的负实数根，
且
所以只需，
即，
解得，
方程有两个同号但不相等的实根的一个充要条件是，
故答案为.
【点睛】本题主要考查充要条件的定义以及一元二次方程根与系数之间的关系，属于基础题.
13. 设，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】由，
得，
当且仅当，即时取等号．
14. 已知函数满足：①；②；③函数在上单调递减．写出一个同时具有以上性质①②③的函数：________．（答案不唯一）
【答案】
【解析】
【分析】先从给定的两个等式分别推导出函数图象的对称中心和对称轴，结合三角函数的性质求出周期和初相，再根据单调性确定具体表达式.
【详解】对于①，若，则的图象关于点对称，
对于②，若，则的图象关于直线对称，
设，则，，
所以．
又的图象关于直线对称，
且函数在上单调递减，
则，，
得，．
所以可令（答案不唯一）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知二次函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解；
（2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
设，
因为
，
所以，解得，所以.
【小问2详解】
，.
当时，在上单调递增，；
当时，；
当时，在上单调递减，.
综上，.
16. 已知.
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由诱导公式化简即可；
（2）由诱导公式得出，再由平方关系得出，进而得出.
【详解】（1）

；
（2）是第三象限角，且
，
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用诱导公式以及平方关系化简求值.
17. 设集合，集合．
（1）若，求和
（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）当，所以，再求和即可求出答案.
（2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案.
【小问1详解】
，因为，所以，
所以，．
【小问2详解】
因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，
当时，，得
当时，．
解得 ，
所以实数的取值范围是
18. 已知定义域为的函数满足，且当时，恒成立．
（1）求；
（2）证明：为奇函数；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
法一：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，
先证明：不存在使得，
假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得，
由已知得，
则，这与矛盾，
因此使得，
再由已知得到使得；
令，有，得，
用代替，用代替，有，
即，
即，
整理得，所以，则为奇函数.
法二：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，
先证明：不存在使得，
假设存在，使得，对于这样的，一定，使得，于是，由，得，
由已知得，
则，这与矛盾，
因此使得，
再由已知得到使得；
再由知，，
令，则，
于是，
两式相加得，，即，因此，
即，故为奇函数；
（3）
【解析】
【分析】（1）令，即可求解；
（2）先利用反证法求证不存在使得，法一，赋值法，令，用代替，用代替，法二，构造，则，求证为奇函数即可；
（3）先利用单调性的定义求证在为减函数，再根据，以及的正负性得出.
【小问1详解】
令，则，
因，得，
令，则，
因，则，即，
因，则；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
，
，且，则，
则，
因当时，恒成立，所以，即，
因此函数在为减函数，
因为当时，，由（2）知为奇函数，所以当时，，
因，则，即，
因为， 所以，解得，
故实数的取值范围为.
19. 已知函数．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为.
（3）
【解析】
【分析】（1）通过分类讨论的值即可解出不等式；
（2）通过分类讨论的范围即可解出不等式；
（3）利用分参法，设 ，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
由题意，
当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意;
当, 即 时, 的解集为 ,
，即
故 时, .
综上，.
【小问2详解】
由题意得,
在, 即 ,
当 , 即 时, 解集为 ;
当 , 即 时, ,
即 解集为 ；
当 , 即 时, ,
解集为 .
综上，当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为.
【小问3详解】
由题意，
, 即 ,
恒成立,
∴,
设 , 则
,
, 当且仅当 时取等号,
, 当且仅当 时取等号,
当 时, ,
，
∴的取值范围为.时刻
水深
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0