2027届儋州市高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，正四面体的体积为，底面积为，是高的中点，过的平面与棱、、分别交于、、，设三棱锥的体积为，截面三角形的面积为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）
A．B．
C．D．
3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．3C．D．4
4．设函数，则函数的图像可能为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A．或B．C．D．或
6．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（ ）
A．B．C．D．
7．定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．已知集合，，若AB，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．在中所对的边分别是，若，则（ ）
A．37B．13C．D．
10．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）
A．48B．60C．72D．120
11．已知命题，那么为（ ）
A．B．
C．D．
12．执行程序框图，则输出的数值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设为抛物线的焦点，为上互相不重合的三点，且、、成等差数列，若线段的垂直平分线与轴交于，则的坐标为_______.
14．已知实数 满足，则的最大值为________.
15．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．
16．设函数，若存在实数m，使得关于x的方程有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系x0y中，把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.
18．（12分）如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
19．（12分）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，.
（1）若，求直线AP与平面所成角；
（2）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数m，都有，并证明你的结论.
20．（12分）为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示.
（1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.
（2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：
①从全国各城市中随机抽取6个城市，记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数，求的数学期望；
②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？
附：①参考公式：，其中.
参考数据：
②若，则，.
21．（12分）如图，过点且平行与x轴的直线交椭圆于A、B两点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D，直线AC、BD分别交直线于点E、F，求证：是定值.
22．（10分）已知奇函数的定义域为，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）记函数，若函数有3个零点，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
设，取与重合时的情况，计算出以及的值，利用排除法可得出正确选项.
【详解】
如图所示，利用排除法，取与重合时的情况.
不妨设，延长到，使得．
，，，，则，
由余弦定理得，
，，
又，，
当平面平面时，，，排除B、D选项；
因为，，此时，，
当平面平面时，，，排除C选项.
故选：A.
本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
2、B
【解析】
根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间.
【详解】
解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称，
对满足的，，有，∴.
再根据其图像关于直线对称，可得，.
∴，∴.
将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.
令，求得，
则函数的单调递减区间是，，
故选B.
本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.
3、B
【解析】
由正弦定理及条件可得，
即.
，
∴，
由余弦定理得。
∴.选B。
4、B
【解析】
根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.
【详解】
定义域为：
，函数为偶函数，排除
，排除
故选
本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.
5、D
【解析】
根据正弦定理得到，化简得到答案.
【详解】
由，得，
∴，∴或，∴或．
故选：
本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.
6、D
【解析】
由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.
【详解】
由题意，设每一行的和为
故
因此：
故
故选：D
本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
7、D
【解析】
由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6.
当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集中的整数解之和一定大于6.
当时，，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意.
当时，作出函数和的图象，如图所示.
若，即的整数解只有1，2，3.
只需满足，即，解得，所以.
综上，当时，实数的取值范围是.故选D.
8、D
【解析】
先化简，再根据，且AB求解.
【详解】
因为，
又因为，且AB，
所以.
故选：D
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
9、D
【解析】
直接根据余弦定理求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．
10、A
【解析】
对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
数字出现在第位时，同理也有个
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
故满足条件的不同的五位数的个数是个
故选
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。
11、B
【解析】
利用特称命题的否定分析解答得解.
【详解】
已知命题，，那么是.
故选：．
本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
12、C
【解析】
由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.
【详解】
，，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，不满足条件，
输出.
故选：C
本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、或
【解析】
设出三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可.
【详解】
抛物线的准线方程为：，设，由抛物线的定义可知：，，，因为、、成等差数列，所以有，所以，
因为线段的垂直平分线与轴交于，所以，因此有
，化简整理得：
或.
若，由可知；，这与已知矛盾，故舍去；
若，所以有，因此.
故答案为：或
本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.
14、
【解析】
作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案.
【详解】
画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由得点，
目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率，
当直线过时，直线的斜率取得最大值，此时的最大值为.
故答案为：.

本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题.
15、0或6
【解析】
计算得到圆心，半径，根据得到，利用圆心到直线的距离公式解得答案.
【详解】
，即，圆心，半径.
，故圆心到直线的距离为，即，故或.
故答案为：或.
本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。
16、
【解析】
先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.
【详解】
由题意，当时，，此时，此时函数在单调递减，在单调递增，方程最多2个不相等的实根，舍；
当时，函数图象如下所示：
从左到右方程，有4个不相等的实根，依次为，，，，即，
由图可知，故，且，，
从而，
令，显然，
，要使该式在时有最小值，则对称轴，解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）最小值为，此时
【解析】
（1）由的参数方程消去求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得的直角坐标方程.
（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式，结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.
【详解】
（1）由题意知的参数方程为（为参数）
所以的普通方程为.由得，所以的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，
因为是直线，所以的最小值即为到的距离，
因为．
当且仅当时，取得最小值为，此时的直角坐标为即．
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.
18、（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．
试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.
又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，
平面BCD，，
所以平面.
因为平面，所以 .
又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC平面ABC，
所以AD⊥AC.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
19、（1）；（2）存在， Q为线段中点
【解析】
解法一：（1）作出平面与平面的交线，可证平面，计算，，得出，从而得出的大小；（2）证明平面，故而可得当Q为线段的中点时.
解法二，以为原点，以为建立空间直角坐标系：（1）由，利用空间向量的数量积可求线面角；（2）设上存在一定点Q，设此点的横坐标为，可得，由向量垂直，数量积等于零即可求解.
【详解】
（1）解法一：连接交于，
设与平面的公共点为，连接，
则平面平面，
四边形是正方形，，
平面，平面，
，又，
平面，
为直线AP与平面所成角，
平面，平面，平面平面，
，又为的中点，
，
，，
直线AP与平面所成角为.
（2）四边形正方形，
，
平面，平面，
，又,
平面，又平面，
，
当Q为线段中点时，对于任意的实数，都有.
解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
所以，，，
又由，，则为平面的一个法向量，
设直线AP与平面所成角为，
则，
故当时，直线AP与平面所成角为.
（2）若在上存在一定点Q，设此点的横坐标为，
则，，
依题意，对于任意的实数要使，
等价于，
即，解得，
即当Q为线段中点时，对于任意的实数，都有.
本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的计算，考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.
20、（1）见解析，有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①4.911②100万元.
【解析】
（1）根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量，即可完善列联表.通过计算的观测值，即可结合临界值作出判断.
（2）①先根据所给数据求得样本平均值，根据所给今年3月订单数区间，并由及求得，.结合正态分布曲线性质可求得，再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组，根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润，比较即可得解.
【详解】
（1）对于外卖甲：月订单不低于13万件的城市数量为，
对于外卖乙：月订单不低于13万件的城市数量为.
由以上数据完善列联表如下图，
且的观测值为，
∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.
（2）①样本平均数，
故
=
=，
，
的数学期望，
②由分层抽样知，则100个城市中每月订单数在区间内的有（个），
每月订单数在区间内的有（个），
若不开展营销活动，则一个月的利润为（万元），
若开展营销活动，则一个月的利润为（万元），
这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元.
本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用，完善列联表并计算的观测值作出判断，分层抽样的简单应用，综合性强，属于中档题.
21、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由题意求得的坐标，代入椭圆方程求得，由此求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，可得关于的一元二次方程，设出的坐标，分别求出直线与直线的方程，从而求得两点的纵坐标，利用根与系数关系可化简证得为定值.
【详解】
（1）由已知可得：，
代入椭圆方程得：
椭圆方程为；
（2）设直线CD的方程为，代入，得：
设，，则有，
则AC的方程为，令，得
BD的方程为，令，得
，证毕.
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题．
22、（1）；（2）
【解析】
（1）根据奇函数定义，可知；令则，结合奇函数定义即可求得时的解析式，进而得函数的解析式；
（2）根据零点定义，可得，由函数图像分析可知曲线与直线在第三象限必1个交点，因而需在第一象限有2个交点，将与联立，由判别式及两根之和大于0，即可求得的取值范围.
【详解】
（1）因为函数为奇函数，且，故；
当时，，
，
则；
故.
（2）令，
解得，画出函数关系如下图所示，
要使曲线与直线有3个交点，
则2个交点在第一象限，1个交点在第三象限，联立，
化简可得，
令，即，
解得，
所以实数的取值范围为.
本题考查了根据函数奇偶性求解析式，分段函数图像画法，由函数零点个数求参数的取值范围应用，数形结合的应用，属于中档题.
订单：（单位：万件）

频数
1
2
2
3
订单：（单位：万件）
频数
40
20
20
10
2
业绩突出城市
业绩不突出城市
总计
外卖甲
外卖乙
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.702
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
业绩突出城市
业绩不突出城市
总计
外卖甲
40
60
100
外卖乙
52
48
100
总计
92
108
200