河南省焦作市2027年高考考前模拟数学试题（含答案解析）

这是一份河南省焦作市2027年高考考前模拟数学试题（含答案解析），共19页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，关于函数，有下述三个结论，已知函数等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
A．0.110B．0.112C．D．
2．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（ ）
A．B．f（sin3）＜f（cs3）
C．D．f（2020）＞f（2019）
3．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（ ）
A．或B．C．D．
4．设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若，则的值为( )
A．1B．C．D．
5．关于函数，有下述三个结论：
①函数的一个周期为；
②函数在上单调递增；
③函数的值域为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③
6．已知函数（，）的一个零点是，函数图象的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )
A． B． C．或－D．和－
8．若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为( )
A．B．C．D．
9．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( )
A．B．
C．D．
10．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：），则该几何体的表面积为( )
A． B．
C．D．
11．已知是的共轭复数,则（ ）
A．B．C．D．
12．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是( )
A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；
B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；
C．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；
D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在等差数列（）中，若，，则的值是______.
14．设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则______.
15．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．
16．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且.
（1）求角的值；
（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.
18．（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
表1：一级滤芯更换频数分布表
图2：二级滤芯更换频数条形图

以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；
（3）记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.
19．（12分）在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长.
20．（12分）已知数列是等差数列，前项和为，且，．
（1）求．
（2）设，求数列的前项和．
21．（12分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.
（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并预测该公司年（年份代号记为）的年利润；
（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为级利润年，否则称为级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值，现从年至年这年中随机抽取年，求恰有年为级利润年的概率.
参考公式：，.
22．（10分）设函数，（）.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a、m的值；
（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（3）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据题意知,，代入公式,求出即可.
【详解】
由题意可得,因为,
所以,即.
所以这种射线的吸收系数为.
故选:C
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
2、B
【解析】
根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.
【详解】
由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，
先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，
并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，
选项A，，
所以，选项A错误；
选项B，因为，所以，
所以f（sin3）＜f（﹣cs3），即f（sin3）＜f（cs3），选项B正确；
选项C，，
所以，即，
选项C错误；
选项D，，选项D错误.
故选：B.
本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.
3、C
【解析】
设公差为，则由题意可得，解得，可得.令 ，可得 当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的.
【详解】
解：等差数列中，已知，且，设公差为，
则，解得 ，
.
令 ，可得，故当时，，当时，，
故数列前项和中最小的是.
故选：C.
本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.
4、B
【解析】
设，通过，再利用向量的加减运算可得，结合条件即可得解.
【详解】
设，
则有.
又，
所以，有.
故选B.
本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.
5、C
【解析】
①用周期函数的定义验证.②当时，，，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数的值域等价于函数的值域，而，当时，再求值域.
【详解】
因为，故①错误；
当时，，所以，所以在上单调递增，故②正确；
函数的值域等价于函数的值域，易知，故当时，，故③正确.
故选：C.
本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.
6、B
【解析】
根据函数的一个零点是，得出，再根据是对称轴，得出，求出的最小值与对应的，写出即可求出其单调增区间.
【详解】
依题意得，，即，
解得或（其中，）.①
又，
即（其中）.②
由①②得或，
即或（其中，，），因此的最小值为.
因为，所以（）.
又，所以，所以，
令（），则（）.
因此，当取得最小值时，的单调递增区间是（）.
故选：B
此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.
7、C
【解析】
直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．
【详解】
如图，直线过定点（0，1），
∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，
∴由对称性可知k=±．
故选C．
本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．
8、B
【解析】
由点求得的值，化简解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得的对称轴，由此确定正确选项.
【详解】
由题可知.
所以
令，
得
令，得
故选：B
本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.
9、A
【解析】
由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.
【详解】
根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，
所以 的周期为， 则，
所以，
由正弦函数和正切函数图象可知正确.
故选：A.
本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.
10、C
【解析】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5，底面直径是6，据此可计算出答案.
【详解】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5，底面直径是6，
该几何体的表面积.
故选：C
本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.
11、A
【解析】
先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
【详解】
i，
∴a+bi＝﹣i，
∴a＝0，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣1，
故选：A．
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
12、D
【解析】
根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.
【详解】
对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.
本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、-15
【解析】
是等差数列，则有，可得的值，再由可得，计算即得.
【详解】
数列是等差数列，，又，，
，故.
故答案为：
本题考查等差数列的性质，也可以由已知条件求出和公差，再计算.
14、18
【解析】
先由，可得，再结合等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，.
故答案为：18.
本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前项和公式，属基础题.
15、
【解析】
由题意可知：，且，从而可得值．
【详解】
由题意可知：
∴，即,
∴
故答案为：
本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．
16、
【解析】
由切线的性质，可知，切由直角三角形PAO，PBO，即可设，进而表示，由图像观察可知进而求出x的范围，再用的式子表示，整理后利用换元法与双勾函数求出最小值.
【详解】
由题可知，，设，由切线的性质可知，则
显然，则或（舍去）
因为
令，则，由双勾函数单调性可知其在区间上单调递增，所以
故答案为：
本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) .(2) .
【解析】
（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；
（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意知，∴，
由余弦定理可知，，
又∵，∴.
（2）由正弦定理可知，，即
∴
，
又∵为锐角三角形，∴，即，
则，所以，
综上的取值范围为.
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
18、（1）0.024；（2）分布列见解析，；（3）
【解析】
（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，再由乘法原理可求出概率；
（2）由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，而的可能取值为8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及数学期望；
（3）由，且，可知若，则，或若，则，再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可.
【详解】
（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件，
因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以.
（2）由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意的可能取值为8，9，10，11，12，
从而，
，
.
所以的分布列为
（个）.
或用分数表示也可以为
（个）.
（3）解法一：记表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）
因为，且，
1°若，则，
（元）；
2°若，则，
（元）.
因为，故选择方案：.
解法二：记分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）
1°若，则，
的分布列为
该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为（元）；
2°若，则，
的分布列为
（元）.
因为
所以选择方案：.
此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.
19、（1）；（2）2
【解析】
（1）首先利用对圆C的参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．
【详解】
（1）圆C的普通方程为，又，
所以圆C的极坐标方程为.
（2）设，则由解得，，得；
设，则由解得，，得；
所以
本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.
20、 (1) (2)
【解析】
(1)由数列是等差数列，所以，解得，又由，解得， 即可求得数列的通项公式；
(2)由（1）得，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n项和．
【详解】
(1)由题意，数列是等差数列，所以，又，，
由，得，所以，解得，
所以数列的通项公式为．
(2)由（1）得，
，
，
两式相减得，
，
即．
本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
21、（Ⅰ），该公司年年利润的预测值为亿元；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）求出和的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求得和的值，进而可求得关于的线性回归方程，然后将代入回归直线方程，可得出该公司年年利润的估计值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归直线方程计算出从年至年这年被评为级利润年的年数，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率.
【详解】
（Ⅰ）根据表中数据，计算可得，，，
又，，
，关于的线性回归方程为.
将代入回归方程得（亿元），
该公司年的年利润的预测值为亿元.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利润的估计值分别为、、、、、、、（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有年.
故这年中被评为级利润年的有年，评为级利润年的有年.
记“从年至年这年的年利润中随机抽取年，恰有年为级利润年”的概率为，.
本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.
22、（1），；（2）；（3）不能，证明见解析
【解析】
（1）求出，结合导数的几何意义即可求解；
（2）构造，则原题等价于对任意恒成立，即时，，利用导数求最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由求出的范围，再研究该范围下单调性；
（3）构造并进行求导，研究单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.
【详解】
（1），
，
曲线在点处的切线方程为，
，
解得.
（2）记，
整理得，
由题知，对任意恒成立，
对任意恒成立，即时，，
，解得，
当时，
对任意，，，
，
，即在单调递增，此时，
实数的取值范围为.
（3）关于的方程不可能有三个不同的实根，以下给出证明：
记，，
则关于的方程有三个不同的实根，等价于函数有三个零点，
，
当时，，
记，则，
在单调递增，
，即，
，
在单调递增，至多有一个零点；
当时，
记，
则，
在单调递增，即在单调递增，
至多有一个零点，则至多有两个单调区间，至多有两个零点.
因此，不可能有三个零点.
关于的方程不可能有三个不同的实根.
本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思想，属于难题.
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
年份
年份代号
年利润（单位：亿元）
8
9
10
11
12
0.04
0.16
0.32
0.32
0.16
8
9
10
11
12
1280
1680
0.6
0.4
880
1080
0.84
0.16
800
1000
1200
0.52
0.32
0.16