2027年聊城市高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2027年聊城市高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析），文件包含2对数函数原卷版docx、1指数函数原卷版docx、1指数函数解析版docx、1指数函数解析版pdf、2对数函数解析版docx、2对数函数解析版pdf等6份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知全集，则集合的子集个数为（ ）
A．B．C．D．
4．已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6B．3C．D．
5．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知复数满足（其中为的共轭复数），则的值为( )
A．1B．2C．D．
7．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数，，若总有恒成立.记的最小值为，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
10．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）
A．45B．50C．55D．60
11．若，则实数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为__________.
14．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则__________.
15．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．
16．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，对，不等式恒成立，求的取值范围．
18．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．
（1）求物理原始成绩在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．
（附：若随机变量，则，，）
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.
（1）设直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C交于两点A．B，求AB的长；
（2）设M、N是曲线C上的两点，若，求面积的最大值.
20．（12分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.
（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；
（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.
21．（12分）已知函数（是自然对数的底数，）.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.
22．（10分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，.
（1）证明：平面平面；
（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解.
【详解】
如图，
因为为等腰三角形，，
所以，,
，
又，
，
解得，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.
2、D
【解析】
因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线可解得．
【详解】
因为双曲线分左右支，所以，
根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线方程得：，
即，由得．
故选：．
本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
3、C
【解析】
先求B.再求，求得则子集个数可求
【详解】
由题=, 则集合,故其子集个数为
故选C
此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题
4、B
【解析】
求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.
【详解】
解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，
直线的方程为，
可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为，
则的面积的最小值为.
故选：B.
本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．
5、C
【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得.
【详解】
将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作：
则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为，
由中位线定理可得且，
所以即为与直线所成的角，
，
由余弦定理可得
，
所以直线与直线所成角的余弦值为，
故选：C.
本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.
6、D
【解析】
按照复数的运算法则先求出，再写出，进而求出.
【详解】
，
，
.
故选：D
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
7、B
【解析】
利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.
【详解】
解：，
则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：，
位于第二象限.
故选：B.
本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.
8、D
【解析】
利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.
【详解】
因为，，
故.
又，故.
因为当时，函数是单调递减函数，
所以.
因为为偶函数，故，
所以.
故选：D.
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.
9、C
【解析】
根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,
即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.
【详解】
由题, 总有即恒成立.
设,则的最大值小于等于0.
又,
若则,在上单调递增, 无最大值.
若,则当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增.
故在处取得最大值.
故,化简得.
故,令,可令,
故,当时, ,在递减；
当时, ,在递增.
故在处取得极大值,为.
故的最大值为.
故选：C
本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.
10、D
【解析】
根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数.
【详解】
根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，
∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）.
故选：D.
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题
11、A
【解析】
将化成以 为底的对数，即可判断 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.
【详解】
依题意，由对数函数的性质可得.
又因为，故.
故选:A.
本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.
12、C
【解析】
根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.
【详解】
由双曲线，
则渐近线方程：，
，

连接，则，解得，
所以，解得.
故双曲线方程为.
故选：C
本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先求出总的基本事件数，再求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件数，然后根据古典概型求解．
【详解】
6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件总数共有个，
甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件个数有：个，
所以甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为.
故答案为：
本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
14、
【解析】
根据的展开式中第项与第项的二项式系数相等，得到，再利用组合数公式求解.
【详解】
因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等，
所以，
即 ，
所以，
即 ，
解得.
故答案为：10
本题主要考查二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15、
【解析】
利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为是等比数列，所以数列的公比为1．
又，
所以当时，有．
这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，
故答案为：.
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.
16、（或写成）
【解析】
设与的夹角为，通过，可得，化简整理可求出，从而得到答案.
【详解】
设与的夹角为
可得，
故，将代入可得
得到，
于是与的夹角为.
故答案为：.
本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）分类讨论，，，即可得出结果；
（2）先由题意，将问题转化为即可，再求出，的最小值，解不等式即可得出结果.
【详解】
（1）由得，
若，则，显然不成立；
若，则，，即；
若，则，即，显然成立，
综上所述，的取值范围是．
（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，
当时，，所以；
因为，
所以，解得，结合，
所以的取值范围是．
本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.
18、（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．
【解析】
（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．
【详解】
（Ⅰ）因为物理原始成绩，
所以
．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．
（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．
所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，
所以 ，
，
，
．
所以的分布列为
所以数学期望．
（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．
（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．
19、（1）；（2）1.
【解析】
（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2），，由（1）通过计算得到，即最大值为1.
【详解】
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为，
即；
再将，，代入上式，
得，
故曲线C的极坐标方程为，
显然直线l与曲线C相交的两点中，
必有一个为原点O，不妨设O与A重合，
即.
（2）不妨设，，
则面积为
当，即取时，.
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.
20、（1）28种；（2）分布见解析，.
【解析】
（1）分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组，可得恰好有一名女教师的选派方法数；
（2）X的可能取值为，再求出X的每个取值的概率，可得X的概率分布和数学期望.
【详解】
解：（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为种.
（2）X的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
故X的概率分布为：
所以.
本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差，相对不难，注意运算的准确性.
21、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）在上恒成立，只需，注意到；
（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，
所以切线方程为，即.
（2），.
因为函数在区间上单调递增，所以，且恒成立，
即，
所以，即，又，
故，所以实数的取值范围是.
（3）.
因为函数在区间上有两个极值点，
所以方程在上有两不等实根，即.
令，则，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得且.
又由，所以，
且当和时，单调递增，
当时，单调递减，是极值点，
此时
令，则，
所以在上单调递减，所以.
因为恒成立，所以.
若，取，则，
所以.
令，则，.
当时，；当时，.
所以，
所以在上单调递增，所以，
即存在使得，不合题意.
满足条件的的最小值为-4.
本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.
22、（1）证明见解析；（2）为线段上靠近点的四等分点，且坐标为
【解析】
（1）先通过线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出的坐标从而位置可确定.
【详解】
（1）证明：因为，，，
所以，即.
又因为，，所以，
，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：连接，因为，是的中点，所以.
由（1）知，平面平面，所以平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则平面的一个法向量是，，，.
设，，
，，
代入上式得，，，所以.
设平面的一个法向量为，，，
由，得.
令，得.
因为二面角的平面角的大小为，
所以，即，解得.
所以点为线段上靠近点的四等分点，且坐标为.
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P