河北省张家口市2027年高考冲刺数学模拟试题（含答案解析）

这是一份河北省张家口市2027年高考冲刺数学模拟试题（含答案解析），共3页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，设是等差数列的前n项和，且，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）

A．2014年我国入境游客万人次最少
B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势
C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次
D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差
2．设P＝{y |y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y |y＝2x，x∈R}，则
A．P QB．Q P
C．QD．Q
3． “且”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．设是等差数列的前n项和，且，则( )
A．B．C．1D．2
7．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：
（1）四面体EBCD的体积有最大值和最小值；
（2）存在某个位置，使得；
（3）设二面角的平面角为，则；
（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，若所有点，所构成的平面区域面积为，则（ ）
A．B．C．1D．
12．若实数满足不等式组则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________．
14．若函数，其中且，则______________．
15．已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是____．
16．下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：．
（2）若，求二面角的余弦值．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形且∥，侧面为等边三角形，且平面平面.
（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；
（2）若，且直线与平面所成角为，求的值.
19．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值.
20．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．
21．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点．
（1）证明：点始终在直线上且；
（2）求四边形的面积的最小值．
22．（10分）如图，四边形是边长为3的菱形，平面.
（1）求证：平面；
（2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.
【详解】
A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；
B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；
C．入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确；
D．由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.
故选：D.
本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.
2、C
【解析】
解：因为P ={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q ={y| y=2x，x∈R }={y|y>0},因此选C
3、A
【解析】
画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.
【详解】
如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形，
记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，
显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件，
故选:.
本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.
4、A
【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.
【详解】
水费开支占总开支的百分比为.
故选：A
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
5、A
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.
【详解】
因为，所以是偶函数，排除C和D.
当时，，，
令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.
故选：A
本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.
6、C
【解析】
利用等差数列的性质化简已知条件，求得的值.
【详解】
由于等差数列满足，所以，，.
故选：C
本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.
7、B
【解析】
根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.
【详解】
将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
设，
则当时，，，
即，
要使在区间上单调递减，
则得，得，
即实数的最大值为，
故选：B.
本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.
8、C
【解析】
解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，
∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；
对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；
对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，
直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），
∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；
对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：dP﹣BC，
因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．
故选：C．
点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.
9、D
【解析】
根据演绎推理进行判断．
【详解】
由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．
故选：D．
本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．
10、B
【解析】
由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.
【详解】
函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，
当时，；当时，；当时，.
时，，时，，
当或时，；当时，.
故选：
根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.
11、D
【解析】
依题意，可得，在上单调递增，于是可得在上的值域为，继而可得，解之即可.
【详解】
解：，因为，，
所以，在上单调递增，
则在上的值域为，
因为所有点所构成的平面区域面积为，
所以，
解得，
故选：D.
本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到是关键，考查运算能力，属于中档题．
12、A
【解析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．
【详解】
解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由得，
由得，平移，
易知过点时直线在上截距最小，
所以．
故选：A．
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
如图，是切点，是的中点，因为，所以，又，所以，，又，根据双曲线的定义，有，即，两边平方并化简得，所以，因此.
14、
【解析】
先化简函数的解析式，在求出，从而求得的值.
【详解】
由题意，函数
可化简为，
所以，
所以.
故答案为：0.
本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
15、
【解析】
Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为
故答案为54.
16、1
【解析】
利用流程图，逐次进行运算，直到退出循环，得到输出值.
【详解】
第一次：x＝4，y＝11，
第二次：x＝5，y＝32，
第三次：x＝1，y＝14，此时14＞10×1＋3，输出x，故输出x的值为1．
故答案为：.
本题主要考查程序框图的识别，“还原现场”是求解这类问题的良方，侧重考查逻辑推理的核心素养.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
（1）由已知可证明平面，从而得证面面垂直，再由，得线面垂直，从而得，由直角三角形得结论；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角．
【详解】
（1）证明：连接，，．
，，平面．
平面，平面平面．
，为的中点，．
平面平面，平面．
平面，．
为斜边的中点，，
（2），由（1）可知，为等腰直角三角形，
则．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，记平面的法向量为
由得到，
取，可得，则．
易知平面的法向量为．
记二面角的平面角为，且由图可知为锐角，
则，所以二面角的余弦值为．
本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角．在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避免空间角的作证过程，通过计算求解．
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）分别取的中点为，易得两两垂直，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，易得为平面的法向量，只需求出平面的法向量为，再利用计算即可；
（2）求出，利用计算即可.
【详解】
（1）分别取的中点为，连结.
因为∥，所以∥.
因为，所以.
因为侧面为等边三角形，
所以
又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
所以两两垂直.
以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则，
，.
设平面的法向量为，则，即.
取，则，所以.
又为平面的法向量，设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则
，
所以平面与平面所成的锐二面角的大小为.
（2）由（1）得，平面的法向量为，
所以成.
又直线与平面所成角为，
所以，即，
即，
化简得，所以，符合题意.
本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2）将直线参数方程代入圆的普通方程，可得，，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.
【详解】
（1）直线的参数方程为（为参数），
消去；得
曲线的极坐标方程为.
由，，，
可得，即曲线的直角坐标方程为；
（2）将直线的参数方程（为参数）代入的方程，
可得，，
设，是点对应的参数值，
，，则.
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.
20、（1）曲线：，直线的直角坐标方程；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点到，的距离之积
试题解析：（1）曲线化为普通方程为：，
由，得，
所以直线的直角坐标方程为．
（2）直线的参数方程为（为参数），
代入化简得：，
设两点所对应的参数分别为，则，
．
21、（1）见解析（2）最小值为1．
【解析】
（1）根据抛物线的定义，判断出的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹的方程.设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，由此求得点的坐标.写出直线的方程，联立直线的方程和曲线的方程，根据韦达定理求得点的坐标，并由此判断出始终在直线上，且.
（2）设直线的倾斜角为，求得的表达式，求得的表达式，由此求得四边形的面积的表达式进而求得四边形的面积的最小值．
【详解】
(1)∵动圆过定点，且与直线相切，∴动圆圆心到定点和定直线的距离相等，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，∴轨迹的方程为：，
设，∴直线的方程为：，即：①，同理，直线的方程为：②，
由①②可得：，
直线方程为：，联立可得：，
，∴点始终在直线上且；
（2）设直线的倾斜角为，由（1）可得：，
，
∴四边形的面积为：，当且仅当或，即时取等号，∴四边形的面积的最小值为1.
本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查运算求解能力，属于中档题.
22、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由已知线面垂直得，结合菱形对角线垂直，可证得线面垂直；
（2）由已知知两两互相垂直.以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，由已知线面垂直知与平面所成角为，这样可计算出的长，写出各点坐标，求出平面的法向量，由法向量夹角可得二面角．
【详解】
证明：（1）因为平面，平面，所以.
因为四边形是菱形，所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
解：（2）据题设知，两两互相垂直.以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为与平面所成角为，即，所以
又，所以，
所以
所以
设平面的一个法向量，则令，则.
因为平面，所以为平面的一个法向量，且
所以，
．
所以二面角的正弦值为.
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，考查用向量法求二面角．立体几何中求空间角常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，这样可减少思维量，把问题转化为计算．