2027届贵州省毕节市高考数学三模试卷（含答案解析）

这是一份2027届贵州省毕节市高考数学三模试卷（含答案解析），共3页。试卷主要包含了若复数是纯虚数，则实数的值为，已知向量，且，则等于等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ）
A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度
B．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度
C．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度
D．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度
2．已知集合，将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列，则（ ）
A．1194B．1695C．311D．1095
3．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）
A．P1•P2＝B．P1＝P2＝C．P1+P2＝D．P1＜P2
5．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．若复数是纯虚数，则实数的值为( )
A．或B．C．D．或
8．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．
9．已知向量，且，则等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是
A．B．
C．D．
11．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．
其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
12．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．
14．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．
15．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．
16．抛物线的焦点坐标为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值大小.
18．（12分）表示，中的最大值，如，己知函数，.
（1）设，求函数在上的零点个数；
（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
19．（12分）已知函数的图象在处的切线方程是.
（1）求的值；
（2）若函数，讨论的单调性与极值；
（3）证明：.
20．（12分）在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．
附表及公式：
其中,．
21．（12分）椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点.为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值.
22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为.
（1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，满足为的中点，求.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．
详解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到
再将得到的图象向左平移个单位长度得到
故选B．
点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合和的关系是解决本题的关键．
2、D
【解析】
确定中前35项里两个数列中的项数，数列中第35项为70，这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和．
【详解】
时，，所以数列的前35项和中，有三项3，9，27，有32项，所以．
故选：D．
本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础．解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的，又有多少项是中的．
3、B
【解析】
根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出.
【详解】
为上的奇函数，
，
而函数是上的偶函数，，
，
故为周期函数，且周期为
故选：B
本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.
4、C
【解析】
将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.
【详解】
三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321
方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；
方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；
所以P1+P2＝
故选C.
本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.
5、A
【解析】
对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.
【详解】
因为为纯虚数，所以，得
所以.
故选A项
本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.
6、D
【解析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.
【详解】
设四个支点所在球的小圆的圆心为，球心为，
由题意，球的体积为，即可得球的半径为1，
又由边长为的正方形硬纸，可得圆的半径为，
利用球的性质可得，
又由到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为，
所以球心到底面的距离为.
故选：D.
本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
7、C
【解析】
试题分析：因为复数是纯虚数，所以且，因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.
考点：纯虚数
8、B
【解析】
三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.
【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，
把该几何体补成如下图所示的圆柱，
其体积为，故原几何体的体积为.
故选：B.
本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.
9、D
【解析】
由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．
【详解】
因为，且，
，
则．
故选：．
本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
10、D
【解析】
先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.
【详解】
因为是偶函数，所以关于直线对称；
因此，由得；
又在上单调递减，则在上单调递增；
所以，当即时，由得，所以，
解得；
当即时，由得，所以，
解得；
因此，的解集是.
本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.
11、C
【解析】
利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．
【详解】
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；
④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．
故选：C．
本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
12、C
【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得，构造放缩函数对自变量再研究，可解,
【详解】
令；当时，，不合题意；
当时，，
令，得或，
所以在区间和上单调递减.
因为，且在区间上单调递增，
所以在处取极小值，即最小值为.
若，，则，即.
当时，，当时，则.
设，则.
当时，；当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为.
故答案为：
本题考查不等式恒成立问题.
不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．
14、2
【解析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．
【详解】
二项式的展开式中的通项公式为，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15、
【解析】
利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为是等比数列，所以数列的公比为1．
又，
所以当时，有．
这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，
故答案为：.
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.
16、
【解析】
变换得到，计算焦点得到答案.
【详解】
抛物线的标准方程为，，所以焦点坐标为．
故答案为：
本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；
（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设中点为，连接、，
为等边三角形，
，
，，
，
，即，
，
，
平面，平面，
平面，
为的中位线，
，
平面，平面，
平面，
、为平面内二相交直线，
平面平面，
平面DMN，
平面；
（2）设中点为，连接、
为等边三角形，是等腰三角形，且顶角
，，
、、共线，
，，，，平面
平面.
平面
平面平面，交线为，平面
平面.
设，则
在中，由余弦定理，得：
又，
，
，，
，为中点，
，
建立直角坐标系（如图），则
，，，.
，，
设平面的法向量为，则，
，
取，则，
，
平面的法向量为，
，
二面角为锐角，
二面角的余弦值大小为.
本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.
18、（1）个；（1）存在，.
【解析】
试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（1）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围．
试题解析：（1）设，．．．．．．．．．．．．．1分
令，得递增；令，得递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∴，∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．3分
设，结合与在上图象可知，这两个函数的图象在上有两个交点，即在上零点的个数为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（或由方程在上有两根可得）
（1）假设存在实数，使得对恒成立，
则，对恒成立，
即，对恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
①设，
令，得递增；令，得递减，
∴，
当即时，，∴，∵，∴4．
故当时，对恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
当即时，在上递减，∴．
∵，∴，
故当时，对恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
②若对恒成立，则，∴．．．．．．．．．．．11分
由①及②得，．
故存在实数，使得对恒成立，
且的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
考点：导数应用.
【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
19、（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析.
【解析】
（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可；
（2）先对求导数，根据导数判断和求解即可.
（3）把证明转化为证明，然后证明极小值大于极大值即可.
【详解】
解：（1）函数的定义域为
由已知得，则，解得.
（2）由题意得，则.
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以，单调递减区间为，单调递增区间为，
的极小值为，无极大值.
（3）要证成立，
只需证成立.
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的极大值为，即
由（2）知，时，，且的最小值点与的最大值点不同，所以，即.
所以，.
知识方面，考查建立方程组求未知数，利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明；能力方面，考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；试题难度大.
20、（Ⅰ），；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于列式可解得；
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,从而可得列联表,再计算出,与临界值比较可得．
【详解】
解：(Ⅰ),
．
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,
列联表如下：
因为,
所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”
本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.
21、（1）（2）最大值.
【解析】
（1）根据通径和即可求
（2）设直线方程为，联立椭圆，利用，用含的式子表示出，用换元，
可得，最后用均值不等式求解.
【详解】
解：（1）依题意有，，，所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，联立，得.
所以，.
所以
.
令，则，
所以，因，则，所以，当且仅当，即时取得等号，
即四边形面积的最大值.
考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.
22、（1），；（2）.
【解析】
（1）由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程，由此可求曲线的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的普通方程，整理得，利用韦达定理，根据为的中点，解出即可.
【详解】
（1）由（为参数）消去参数，
可得，即，
已知曲线的普通方程为，
，，
，即，
曲线的极坐标方程为，
直线经过点，且倾斜角为，
直线的参数方程：（为参数，）.
（2）设对应的参数分别为，.
将直线的参数方程代入并整理，
得，
，.
又为的中点，
，
，，
，即，
，
，
，即，
.
本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.
女生
男生
总计
获奖
不获奖
总计
女生
男生
总计
获奖
不获奖
总计