黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附答案）试卷主要包含了、单项选择题，、多项选择题，点A,C,B₁,Ci，、填空题等内容，欢迎下载使用。

数 学 试 题
第 I 卷(选择题 共58分)
一 、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 . 在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求.
1. 已知 a=(2,4),b=(x,1), a⊥b, 则x=( )
A.-2 B D.2
2. 有2位老师和4名学生排成一队照相，老师要求相邻且不排在两端，则不同的排法有( )
A.144 种 B.96 种 C. 72 种 D.48 种
3. 已知m,n 是两条直线，α,β,Y是三个平面，则正确的是(
A. 若allβ,mca ,ncβ, 则m/ln B. 若α⊥β,β⊥γ,则ally
C. 若α⊥y,β/lα, 则β⊥γ D. 若m//n,mllα, 则nlla
4. 某小组有3名男生和2名女生，从中选取2名学生参加演讲比赛，下列事件中互斥而不对立的事件为( )
A. 至少有1名男生和至少有1名女生 B. 恰有1名男生和恰有2名女生
C. 至少有1名男生和全是男生 D. 至少有1名男生和全是女生
5. 已知样本数据x1,x₂,x₃,x4,x5,X6 的平均数为×,方差为s², 若样本数据 ax₁+8,ax₂+8,
…,a x₆+8 的平均数为6x, 方差为4s² , 则x=( )
A.-2 B.2 C.-2 或1 D. 1或2
6. 在正四棱锥P- ABCD 中 ，AB=AP, E 是棱PC 的中点，则异面直线PB 与 DE 所成角的余弦值是
( )
A. B. D.
7. 抛掷2n 枚质地均匀的硬币，恰有n 枚正面朝上的概率为Pn ( 其中n=1,2,3), 则 ( )
A.P₁=P₂=P₃ B.P₃>P₁>P₂ c.P₃>P₂>P₁ D.P₁>P₂>P₃
8. 已 知 0 为 △ABC 的外心，且 A0=λAB+(1-2)AC 若向量BA 在向量BC 上的投影向量为μBC
其中
, 则cs ∠AOC 的取值范围为( )
A.
B.
D.
二 、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 .
9. 已知复数
,
若m,z-i∈ R, 则 ( )
A.z=2-i B . Z 在复平面内对应的点在第四象限
c. z|= √5 D. z+2i 的虚部为3
10. 某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下 的频率分布直方图(同一组的数据用该组区间的中点值代表),则( )
频率
组距
0.0100 0.0075
0.0050
160180200220240260跳远距离(cm)
A.a=0.0175 B. 众数是230
C. 中位数是222 D. 第30百分位数是205
11. 如图，在三棱台 ABC - A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁ 是等腰梯形， AA₁=A₁C₁=1,∠A₁AC=60°
面 ACC₁A 一平 面ABC,∠ACB=90°,BC=2√3,E
为 A₁B¹ 的 中 点 ，点 D 在 AC 上，且
则 ( )
A. AC₁ 一平面BCC₁B₁
B. 直线BE 与平面ACC₁ A 所成角小于45°
C. 平面BDE 将该三棱台分成两个几何体，则体积较小几何体的体积为
D. 四 点A,C,B₁,Ci 在同一球面上，则该球的表面积为7π
第Ⅱ卷(非选择题共92分)
三 、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 .
12. 已知圆台上下底面半径分别为1和2,母线与下底面所成角为60°,则圆台侧面积为_ _
_
13. 某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中 至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为 ·
14. 在 △ABC 中 ， , ∠BAC 的平分线交BC 于 点N,M 为 BC 的 中 点 . 若 AN=4,
BC=6MN, 则 AM=
四 、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 . (本小题满分13分)
为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基 计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题
作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是
,答对第二题的概率分别是
(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
16 . (本小题满分15分)
某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一 次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有m 人，按年龄分
成5组，其中第一组(20,25) , 第 二 组(25,30) ,第三组[30,35],,第四组(35,40) ,第五组[40,45],
到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
频率
组距 0.07
0.05 0.04
0.02
45年龄/岁
(1)根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.
( i) 若有甲(年龄38),乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再 随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii) 若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和 第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分
别为42和1,据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差.
17. (本小题满分15分)
如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD,E,F,G 分别是PD,
AB,AC 的中点.
(1)证明：平面EFG// 平面PBC;
(2)若PA=AD=2AB=2, 作 EM⊥PC 交PC 于点M.
(i) 证明：PC⊥AM;
(ii) 求直线EG 与平面AEM 所成角的正弦值.
18. (本小题满分17分)
在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c. 已知
(1)求角B 的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形，当a=6 时，求△ABC 面积的取值范围.
19. (本小题满分17分)
如图，在三棱锥A-BCD 中，△ABD 和△BCD 都是等腰三角形，且∠ ADB=120°,BC⊥BD,
BD=4.
(1)若AD⊥BC.
(i) 求证：平面ABD ⊥ 平面 BCD;
(ii) 求平面 BCD 与平面ACD 夹角的余弦值.
(2)求三棱锥A-BCD 外接球的半径的最小值.