三明市2026-2027学年高考仿真卷数学试卷（含答案解析）

这是一份三明市2026-2027学年高考仿真卷数学试卷（含答案解析），文件包含2对数函数原卷版docx、1指数函数原卷版docx、1指数函数解析版docx、1指数函数解析版pdf、2对数函数解析版docx、2对数函数解析版pdf等6份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则( )
A．B．
C．D．
3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6B．3C．D．
5．已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．若不垂直于，且，则不垂直于
6．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数，其中，，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
8．在棱长为a的正方体中，E、F、M分别是AB、AD、的中点，又P、Q分别在线段、上，且，设平面平面，则下列结论中不成立的是（ ）
A．平面B．
C．当时，平面D．当m变化时，直线l的位置不变
9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为( )
A．B．C．D．
11．已知集合A，B=,则A∩B=
A．B．C．D．
12．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是
A．[－5，0)B．(－5，0)C．[－3，0)D．(－3，0)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．能说明“在数列中，若对于任意的，，则为递增数列”为假命题的一个等差数列是______.（写出数列的通项公式）
14．已知数列满足，则________．
15．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．
16．如果复数满足，那么______（为虚数单位）.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知矩阵，.
求矩阵；
求矩阵的特征值.
18．（12分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；
(2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.
19．（12分）设为实数,已知函数,．
（1）当时,求函数的单调区间：
（2）设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;
（3）若函数（,）有两个相异的零点,求的取值范围．
20．（12分）已知椭圆的左焦点坐标为，，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.
21．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线为参数）与圆的位置关系．
22．（10分）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据空余部分体积相等列出等式即可求解.
【详解】
在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以.
故选：B
本题考查圆柱的体积，属于基础题.
2、B
【解析】
先由得或，再计算即可.
【详解】
由得或，
，,
又，.
故选：B
本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.
3、B
【解析】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．
【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：
则该四棱锥的体积为.
故选：B.
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．
4、B
【解析】
求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.
【详解】
解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，
直线的方程为，
可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为，
则的面积的最小值为.
故选：B.
本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．
5、C
【解析】
因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线也成立，故不正确；答案C中的直线可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能垂直于直线，故不正确．应选答案C．
6、B
【解析】
设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.
【详解】
设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，
由题意可知，直线与直线垂直，，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.
7、D
【解析】
试题分析：由,得,则，故选D.
考点：1、复数的运算；2、复数的模.
8、C
【解析】
根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.
【详解】
因为,所以,因为E、F分别是AB、AD的中点,所以,所以,因为面面,所以.选项A、D显然成立；
因为,平面,所以平面,因为平面,所以,所以B项成立；
易知平面MEF,平面MPQ,而直线与不垂直,所以C项不成立.
故选：C
本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.
9、B
【解析】
根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积．
【详解】
解：分析题意可知，如下图所示，
该几何体为一个正方体中的三棱锥，
最大面的表面边长为的等边三角形，
故其面积为，
故选B．
本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题．
10、B
【解析】
由圆过原点，知中有一点与原点重合，作出图形，由，，得，从而直线倾斜角为，写出点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得点坐标，从而得三角形面积．
【详解】
由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图，
由于，，∴，∴，，
∴点坐标为，代入抛物线方程得，，
∴，．
故选：B.
本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．
11、A
【解析】
先解A、B集合，再取交集。
【详解】
,所以B集合与A集合的交集为，故选A
一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。
12、C
【解析】
求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.
【详解】
由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．
令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，
则结合图象可知，解得a∈[－3，0)，
故选C.
本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、答案不唯一，如
【解析】
根据等差数列的性质可得到满足条件的数列.
【详解】
由题意知，不妨设，
则，
很明显为递减数列，说明原命题是假命题.
所以，答案不唯一，符合条件即可.
本题考查对等差数列的概念和性质的理解，关键是假设出一个递减的数列，还需检验是否满足命题中的条件，属基础题.
14、
【解析】
项和转化可得，讨论是否满足，分段表示即得解
【详解】
当时，由已知，可得，
∵，①
故，②
由①-②得，
∴．
显然当时不满足上式，
∴
故答案为：
本题考查了利用求，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.
15、2 0.2
【解析】
分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列，根据期望和方差公式计算得解.
【详解】
设a，b∈{1，2，1，4，5}，则p（ξ1＝a），其ξ1分布列为：
E（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．
D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．
ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分别为：1.4，2.3，4.2，5.6，
P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．
E（ξ2）＝．
∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．
故答案为：2，0.2．
此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.
16、
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解.
【详解】
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的求法，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、；，.
【解析】
由题意，可得，利用矩阵的知识求解即可.
矩阵的特征多项式为，令，求出矩阵的特征值.
【详解】
设矩阵，则，
所以，解得，，，，
所以矩阵；
矩阵的特征多项式为，
令，解得，，
即矩阵的两个特征值为，.
本题考查矩阵的知识点，属于常考题.
18、 (1) 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线;(2)8.
【解析】
试题分析：（1）将曲线的极坐标方程为两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）由直线经过点，可得的值，再将直线的参数方程代入曲线的标准方程，由直线参数方程的几何意义可得直线被曲线截得的线段的长.
试题解析：（1）由可得，即，
∴ 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线.
（2）将代入，得，∴ ，
∵ ，∴ ，∴直线的参数方程为 (为参数).
将直线的参数方程代入得，
由直线参数方程的几何意义可知，
.
19、（1）函数单调减区间为;单调增区间为．（2）（3）
【解析】
（1）据导数和函数单调性的关系即可求出;
（2）分离参数,可得对任意的及任意的恒成立,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出的范围;
（3）先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围
【详解】
解：（1）当时,因为,当时,;
当时,．所以函数单调减区间为;单调增区间为．
（2）由,得,由于,
所以对任意的及任意的恒成立,
由于,所以,所以对任意的恒成立,
设,,
则,所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以．
（3）由,得,其中．
①若时,则,所以函数在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不合题意;
②若时,令,得．
由第（2）小题,知：当时,,所以,所以,所以当时,函数的值域为．
所以,存在,使得,即, ①
且当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减．因为函数有两个零点,,
所以．②
设,,则,所以函数在单调递增,由于,所以当时,．所以,②式中的,
又由①式,得．
由第（1）小题可知,当时,函数在上单调递减,所以,
即．
当时,
（ⅰ）由于,所以得,又因为,且函数在上单调递减,函数的图象在上不间断,所以函数在上恰有一个零点;
（ⅱ）由于,令,
设,,
由于时,,,所以设,即．
由①式,得,当时,,且,同理可得函数在上也恰有一个零点．
综上,．
本题考查含参数的导数的单调性,利用导数求不等式恒成立问题,以及考查函数零点问题,考查学生的计算能力,是综合性较强的题.
20、（1）（2）直线过定点
【解析】
（1），再由，解方程组即可；
（2）设，，由，得，由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可.
【详解】
（1）由题意知：，又，且
解得，，
∴椭圆方程为，
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，
由，得.
则，（*）
由，
得，
整理可得
（*）代入得，
整理可得，
又
，
∴，
即，
∴直线过点
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，
∴，
由，得，
所以
∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点
综上所述，直线过定点.
本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题，在处理直线与椭圆的位置关系的大题时，一般要利用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.
21、直线与圆C相切．
【解析】
首先把直线和圆转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系．
【详解】
直线为参数），转换为直角坐标方程为．
圆转换为直角坐标方程为，转换为标准形式为，
所以圆心到直线，的距离．
直线与圆C相切．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
22、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）令，，利用可求得数列的通项公式，由此可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法求得，进而可得出结论.
【详解】
（1）令，，
当时，；
当时，，则，故；
（2），
.
本题考查利用求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
ξ1
1
2
1
4
5
P





ξ2
1.4
2.3
4.2
5.6
P