贵州省黔西南布依族苗族自治州2027年高考数学考前最后一卷预测卷（含答案解析）

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1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是圆心为坐标原点，半径为1的圆上的任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交圆于点，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
2．将函数向左平移个单位，得到的图象，则满足（ ）
A．图象关于点对称，在区间上为增函数
B．函数最大值为2，图象关于点对称
C．图象关于直线对称，在上的最小值为1
D．最小正周期为，在有两个根
3．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．B．6C．4D．5
4．已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则（ ）
A．B．2C．D．
5．如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线的斜率为
A．1B．C．D．
7． 若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
8．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．已知双曲线的焦距为，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点，若线段的中点在圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
11．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )
A．7B．15C．31D．63
12．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示的流程图中，输出的值为______.
14．已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.
15．已知实数 满足，则的最大值为________.
16．（5分）已知，且，则的值是____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线C:x24py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.
（1）求点G的轨迹方程；
（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.
18．（12分）如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点.
（1）求证： 平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）已知数列是等差数列，前项和为，且，．
（1）求．
（2）设，求数列的前项和．
20．（12分）已知函数
（1）若，求证：
（2）若，恒有，求实数的取值范围.
21．（12分）已知曲线的参数方程为 为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；
（2）若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.
22．（10分）已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
设射线OA与x轴正向所成的角为，由三角函数的定义得，，，利用辅助角公式计算即可.
【详解】
设射线OA与x轴正向所成的角为，由已知，，
，所以
，
当时，取得等号.
故选：C.
本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.
2、C
【解析】
由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.
【详解】
函数，
则，
将向左平移个单位，
可得，
由正弦函数的性质可知，的对称中心满足，解得，所以A、B选项中的对称中心错误；
对于C，的对称轴满足，解得，所以图象关于直线对称；当时，，由正弦函数性质可知，所以在上的最小值为1，所以C正确；
对于D，最小正周期为，当，，由正弦函数的图象与性质可知，时仅有一个解为，所以D错误；
综上可知，正确的为C，
故选：C.
本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.
3、D
【解析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算．
【详解】
由题意
．
故选：D．
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．
4、C
【解析】
把代入，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．
【详解】
∵，
∴，
∵为纯虚数，
∴，解得．
故选C．
本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．
5、B
【解析】
为所求的二面角的平面角，由得出，求出在内的轨迹，根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值
【详解】
，，，
，同理
为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角
，又
，
在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系
则，设
，整理可得：
在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆
平面平面，，
为二面角的平面角，
当与圆相切时，最大，取得最小值
此时
故选
本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．
6、C
【解析】
根据抛物线定义，可得，，
又，所以，所以，
设，则，则，
所以，所以直线的斜率．故选C．
7、D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
8、B
【解析】
通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.
【详解】
“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，
利用列举法，可得下表，
可知需要的次数为4次.
故选：B.
本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.
9、C
【解析】
设线段的中点为，判断出点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.
【详解】
设线段的中点为，由于直线的斜率是，而圆，所以.由于是线段的中点，所以，而，根据双曲线的定义可知，即，即.
故选：C
本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
10、D
【解析】
先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.
【详解】
由题得函数的定义域为.
因为，
所以为上的偶函数，
因为函数都是在上单调递减.
所以函数在上单调递减.
因为，
所以，且，
解得.
故选：D
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11、B
【解析】
试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；
⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.
考点：程序框图.
12、D
【解析】
设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.
【详解】
设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.
故选:D.
本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】
根据流程图依次运行直到，结束循环，输出n，得出结果.
【详解】
由题：，
，
，结束循环，
输出.
故答案为：4
此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.
14、
【解析】
设点为，由抛物线定义知，，求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为，
由抛物线定义知，，解得，
不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1，
又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得，
点F到双曲线的渐近线的距离.
故答案为：
本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15、
【解析】
作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案.
【详解】
画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由得点，
目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率，
当直线过时，直线的斜率取得最大值，此时的最大值为.
故答案为：.

本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题.
16、
【解析】
由于，且，则，得，则．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）当G点横坐标为整数时，S不是整数．
【解析】
（1）先求解导数，得出切线方程，联立方程得出交点G的轨迹方程；
（2）先求解弦长，再分别求解点到直线的距离，表示出四边形的面积，结合点G的横坐标为整数进行判断.
【详解】
（1）设，则，
抛物线C的方程可化为，则，
所以曲线C在点A处的切线方程为，
在点B处的切线方程为，
因为两切线均过点G，所以，
所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为，
又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为；
（2）设点G(，)，由（1）可知，直线AB的方程为，
即，
将直线AB的方程与抛物线联立，，整理得，
所以，，解得，
因为直线AB的斜率，所以，
且，
线段AB的中点为M，
所以直线EM的方程为：，
所以E点坐标为(0，)，
直线AB的方程整理得，
则G到AB的距离，
则E到AB的距离，
所以，
设，因为p是质数，且为整数，所以或，
当时，，是无理数，不符题意，
当时，，
因为当时，，即是无理数，所以不符题意，
当时，是无理数，不符题意，
综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的切线问题通常借助导数来求解，四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题，表示出面积的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
18、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，，则且为的中点，
又∵为的中点，∴，
又平面，平面，
故平面．
（2）由平面，得，．
以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，
，，．
取平面的一个法向量为，
由，得：
，令，得
同理可得平面的一个法向量为
∵平面平面，∴
解得，得，又，
设直线与平面所成角为，则
.
所以，直线与平面所成角的正弦值是．
19、 (1) (2)
【解析】
(1)由数列是等差数列，所以，解得，又由，解得， 即可求得数列的通项公式；
(2)由（1）得，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n项和．
【详解】
(1)由题意，数列是等差数列，所以，又，，
由，得，所以，解得，
所以数列的通项公式为．
(2)由（1）得，
，
，
两式相减得，
，
即．
本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
20、（1）见解析；（2）（﹣∞，0]
【解析】
（1）利用导数求x＜0时，f（x）的极大值为，即证（2）等价于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函数g(x)的最小值得解.
【详解】
（1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．
由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在（﹣∞，﹣）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，
∴f（x）的极大值为，
∴当x＜0时，f（x）≤
（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，
令g（x）＝，x＞0，则g′（x），
令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，
且x→0+时，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，
∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，
∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，
∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，
令，
令
所以=1，,
∴g（x0）
∴实数k的取值范围是（﹣∞，0]．
本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21、（1），表示圆心为，半径为的圆；（2）
【解析】
（1）根据参数得到直角坐标系方程，再转化为极坐标方程得到答案.
（2）直线方程为，计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.
【详解】
（1），即，化简得到：.
即，表示圆心为，半径为的圆.
（2），即，圆心到直线的距离为.
故曲线上的点到直线的最大距离为.
本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）首先对函数求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围；
（2）首先求出的值，再根据求出实数a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为是，
，
若有两个极值点，则方程一定有两个不等的正根，
设为和，且，
所以解得，
此时，
当时，，
当时，，
当时，，
故是极大值点，是极小值点，
故实数a的取值范围是；
（2）由（1）知，，，
则，
，
，
由，得，即，
令，考虑到，
所以可化为，
而，
所以在上为增函数，
由，得，
故实数a的取值范围是.
本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.
原始状态
第1次“向后转”
第2次“向后转”
第3次“向后转”
第4次“向后转”
∧∧∧∧
∧∨∨∨
∨∨∧∧
∧∧∧∨
∨∨∨∨