2027届浙江省丽水市高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析）

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1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养优于乙B．乙的数据分析素养优于数学建模素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数学运算最强
2．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数（）的部分图象如图所示.则（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，，分别为，的中点，为上的任一点，实数，满足，设、、、的面积分别为、、、，记（），则取到最大值时，的值为（ ）
A．－1B．1C．D．
6．已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点，其横坐标分别为，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（ ）
A．36B．72C．D．
9．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知非零向量满足，若夹角的余弦值为，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．
11．已知集合，，则中元素的个数为( )
A．3B．2C．1D．0
12．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的焦距为2c，过C外一点P(c,2c)作线段PF1，PF2分别交椭圆C于点A、B，若|PA|＝|AF1|，则_____.
14．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．
15．在中，已知，，则A的值是______.
16．在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且，若，则的正切值为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线：与抛物线切于点，直线：过定点Q，且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为，那么是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．（12分）已知.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求证：对于，恒成立；
（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.
19．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
20．（12分）已知函数
（1）若，不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围.
21．（12分）已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为．
（1）求线段长的最小值；
（2）求点的轨迹方程．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据所给的雷达图逐个选项分析即可.
【详解】
对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，
故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；
对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，
故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；
对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为
，
乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确；
对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；
故选：D
本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.
2、C
【解析】
程序在运行过程中各变量值变化如下表：
故退出循环的条件应为k>5?
本题选择C选项.
点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．
3、B
【解析】
图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
【详解】
，故奇函数，四个图像均符合。
当时，，，排除C、D
当时，，，排除A。
故选B。
图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。
4、C
【解析】
由图象可知,可解得,利用三角恒等变换化简解析式可得,令,即可求得.
【详解】
依题意，，即,
解得；因为
所以，当时，.
故选:C.
本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.
5、D
【解析】
根据三角形中位线的性质，可得到的距离等于△的边上高的一半，从而得到，由此结合基本不等式求最值，得到当取到最大值时，为的中点，再由平行四边形法则得出，根据平面向量基本定理可求得，从而可求得结果.
【详解】
如图所示：
因为是△的中位线，
所以到的距离等于△的边上高的一半，
所以，
由此可得，
当且仅当时，即为的中点时，等号成立，
所以，
由平行四边形法则可得，，
将以上两式相加可得，
所以，
又已知，
根据平面向量基本定理可得，
从而.
故选：D
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.
6、A
【解析】
画出函数的图像，函数对称轴方程为，由图可得与关于对称，即得解.
【详解】
函数的图像如图，
对称轴方程为，
，
又，
由图可得与关于对称，
故选：A
本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
7、D
【解析】
利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项．
【详解】
已知，赋值法讨论的情况：
（1）当时，令，，则，，排除B、C选项；
（2）当时，令，，则，排除A选项.
故选：D.
比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题．
8、A
【解析】
根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
等比数列满足，，所以，又，所以，由等差数列的性质可得.
故选：A
本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.
9、C
【解析】
利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.
【详解】
.
当时，；
当时，由，
可得，
两式相减，可得，故，
因为也适合上式，所以.
依题意，，
故.
故选：C.
本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
10、D
【解析】
根据向量垂直则数量积为零，结合以及夹角的余弦值，即可求得参数值.
【详解】
依题意，得，即.
将代入可得，，
解得（舍去）.
故选：D.
本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.
11、C
【解析】
集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.
【详解】
由题可知：集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，
联立与，
可得，整理得，
即，
当时，，不满足题意；
故方程组有唯一的解.
故.
故选：C.
本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.
12、B
【解析】
先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．
【详解】
双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，
∴kl，
∴直线l的方程为y（x﹣c），
与y＝±x联立，可得y或y，
∵，
∴2•，
∴ab，
∴c＝2b，
∴e．
故选B．
本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据条件可得判断OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，从而得到点A为椭圆上顶点，则有b＝c，解出B的坐标即可得到比值.
【详解】
因为|PA|＝|AF1|，所以点A是线段PF1的中点，
又因为点O为线段F1F2的中点，所以OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，
因为点P（c，2c），所以PF2⊥x轴，则|PF2|＝2c，
所以OA⊥x轴，则点A为椭圆上顶点，
所以|OA|＝b，
则2b＝2c，所以b＝c，ac，
设B（c，m）（m＞0），则，解得mc，
所以|BF2|c，
则.
故答案为：2.
本题考查椭圆的基本性质，考查直线位置关系的判断，方程思想，属于中档题.
14、丙
【解析】
若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．
考点：反证法在推理中的应用.
15、
【解析】
根据正弦定理，由可得，由可得，将代入求解即得.
【详解】
，，即，
，，则，
，，，则.
故答案为：
本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基础题.
16、3
【解析】
在直角三角形中设，，，利用两角差的正切公式求解.
【详解】
设，，
则
，
故.
故答案为：3
此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（1，2）；（2）存在，
【解析】
（1）由直线恒过点点及抛物线C上的点到点Q的距离与到准线的距离之和的最小值为，求出抛物线的方程，再由直线与抛物线相切，即可求得切点的坐标；
（2）直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线PA，PB的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数使得斜率之和为定值.
【详解】
（1）由题意，直线变为2x+1-m(2y+1)=0，所以定点Q的坐标为
抛物线的焦点坐标，
由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为，
可得，解得或（舍去），
故抛物线C的方程为
又由消去y得，
因为直线与抛物线C相切，所以，解得，
此时，所以点P坐标为（1，2）
（2）设存在满足条件的实数，点，
联立，消去x得，
则，
依题意，可得，解得m