2027年广东省佛山市高考冲刺模拟数学试题（含答案解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，，分别为，的中点，为上的任一点，实数，满足，设、、、的面积分别为、、、，记（），则取到最大值时，的值为（ ）
A．－1B．1C．D．
2．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象的一条对称轴是，则的最小值为
A．B．C．D．
3．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）
附：若，则，.
A．0.6826B．0.8413C．0.8185D．0.9544
4．已知正项数列满足：，设，当最小时，的值为( )
A．B．C．D．
5．点在所在的平面内，，，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（ ）
A．B．0C．1D．
7．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．集合，，则( )
A．B．C．D．
9．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为( )
A．2020B．20l9C．2018D．2017
11．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示，在边长为4的正方形纸片中，与相交于.剪去，将剩余部分沿，折叠，使、重合，则以、、、为顶点的四面体的外接球的体积为________.
14．如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为___________.
15．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.
16．如图,在梯形中，∥，分别是的中点，若，则的值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，且数列前项和为，求的取值范围．
18．（12分）已知函数，其中．
（1）讨论函数的零点个数；
（2）求证：．
19．（12分）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且.
（1）已知_______________，计算的面积；
请①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.
（2）求的最大值.
20．（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．
21．（12分）已知数列满足,，数列满足.
（Ⅰ）求证数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
22．（10分）已知函数．
(Ⅰ)求函数的极值；
(Ⅱ)若,且,求证：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据三角形中位线的性质，可得到的距离等于△的边上高的一半，从而得到，由此结合基本不等式求最值，得到当取到最大值时，为的中点，再由平行四边形法则得出，根据平面向量基本定理可求得，从而可求得结果.
【详解】
如图所示：
因为是△的中位线，
所以到的距离等于△的边上高的一半，
所以，
由此可得，
当且仅当时，即为的中点时，等号成立，
所以，
由平行四边形法则可得，，
将以上两式相加可得，
所以，
又已知，
根据平面向量基本定理可得，
从而.
故选：D
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.
2、C
【解析】
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数的图象的一条对称轴是，所以，即，所以，又，所以的最小值为．故选C．
3、C
【解析】
根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.
【详解】
由题意，，，则，，
所以，.
故果实直径在内的概率为0.8185.
故选：C
本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.
4、B
【解析】
由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由递推公式求出.
【详解】
由得，
即，
，当且仅当时取得最小值，
此时.
故选：B
本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.
5、D
【解析】
确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.
【详解】
由可知，点为外心，
则，，又，
所以①
因为，②
联立方程①②可得，，，因为，
所以，即．
故选：
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
6、A
【解析】
先将函数解析式化简为，结合题意可求得切点及其范围，根据导数几何意义，即可求得的值.
【详解】
函数
即
直线与函数图象恰有四个公共点，结合图象知直线与函数相切于，，
因为，
故，
所以.
故选：A.
本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.
7、C
【解析】
设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.
【详解】
设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为，以12：00点为开始算起，则有，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，
所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：
.
故选：C
本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.
8、A
【解析】
解一元二次不等式化简集合A，再根据对数的真数大于零化简集合B，求交集运算即可.
【详解】
由可得，所以，由可得,所以,所以，故选A．
本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.
9、B
【解析】
化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.
【详解】
对应的点的坐标为在第二象限
故选：B.
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
10、B
【解析】
根据题意计算，，，计算，，，得到答案.
【详解】
是等差数列的前项和，若，
故，，，，故，
当时，，，，
，
当时，，故前项和最大.
故选：.
本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
11、A
【解析】
列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】
金、木、水、火、土任取两类，共有：
金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，
其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，
所以2类元素相生的概率为，故选A.
本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
12、D
【解析】
由题意画出图形，找出△PAB外接圆的圆心及三棱锥P﹣BCD的外接球心O，通过求解三角形求出三棱锥P﹣BCD的外接球的半径，则答案可求.
【详解】
如图；设AB的中点为D；
∵PA，PB，AB＝4，
∴△PAB为直角三角形，且斜边为AB，故其外接圆半径为：rAB＝AD＝2；
设外接球球心为O；
∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC，
∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC.
∴O在CD上；
故有：AO2＝OD2+AD2⇒R2＝（R）2+r2⇒R；
∴球O的表面积为：4πR2＝4π.
故选：D.
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.
【详解】
由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示
，，故正方体体对角线长为，
所以外接球半径为，其体积为.
故答案为：.
本题考查三棱锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中，是一道中档题.
14、1
【解析】
建系，设，表示出点坐标，则，根据的范围得出答案．
【详解】
解：以为原点建立平面坐标系如图所示：则，，，，
设，则，，
，，，
，
，
显然当取得最大值4时，取得最小值1．
故答案为：1．
本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题．
15、40
【解析】
设等比数列的公比为，根据，可得，因为，根据均值不等式，即可求得答案.
【详解】
设等比数列的公比为，
，
，
等比数列的各项为正数，
，
，当且仅当，
即时，取得最小值.
故答案为：.
本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
16、
【解析】
建系，设设，由可得，进一步得到的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.
【详解】
以A为坐标原点，AD为x轴建立如图所示的直角坐标系，设，则
，
所以，，由，
得，即，又，所以
，故,,
所以.
故答案为：2
本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）由，可求，然后由时，可得，根据等比数列的通项可求
（2）由，而，利用裂项相消法可求.
【详解】
（1）当时，，解得，
当时，①
②
②①得，即，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）
∴，
∴，
，
.
本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
18、（1）时，有一个零点；当且时，有两个零点；（2）见解析
【解析】
（1）利用的导函数，求得的最大值的表达式，对进行分类讨论，由此判断出的零点的个数.
（2）由，得到和，构造函数，利用导数证得，即有，从而证得，即.
【详解】
（1），
∴当时，，当时，在上递增，在上递减，.
令在上递减，在上递增，，当且仅当时取等号．
①时，有一个零点；
②时，，此时有两个零点；
③时，，令在上递增，，此时有两个零点；
综上:时，有一个零点;当且时，有两个零点;
（2）由（1）可知：，
令在上递增，．
本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19、（1）见解析（2）1
【解析】
（1） 选②，③．可得，结合，求得．即可；若选①，②．由可得由，求得．即可；若选①，③，可得，又，可得，即可；
（2）化简，根据角的范围求最值即可．
【详解】
（1）若选②，③．
，
，
，
，
又，
．
的面积．
若选①，②．由可得，
，
，
又，
．
的面积．
若选①，③
，
，
又，
，可得，
的面积．
（2）
，
当时，有最大值1．
本题考查了正余弦定理，三角三角恒等变形，考查了计算能力，属于中档题．
20、矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为
【解析】
先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量.
【详解】
由题意，矩阵的特征多项式为，
令，解得，，
将代入二元一次方程组，解得，
所以矩阵属于特征值的一个特征向量为；
同理，矩阵属于特征值的一个特征向量为v
本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列
（Ⅱ）数列是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前项和.
【详解】
解：（Ⅰ）当时，，故.
当时，，
则 ，
，
数列是首项为，公比为的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，
，
.
（Ⅰ）证明数列是等比数列可利用定义法 得出
（Ⅱ）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
22、 (Ⅰ)极大值为：，无极小值；(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数的极值；(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明，即证,令，根据函数的单调性证明即可．
【详解】
(Ⅰ) 的定义域为且
令，得；令，得
在上单调递增，在上单调递减
函数的极大值为，无极小值
(Ⅱ)，
，即
由(Ⅰ)知在上单调递增，在上单调递减
且，则
要证，即证，即证，即证
即证
由于，即，即证
令
则
恒成立 在递增
在恒成立
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题．