2027届德阳市高考临考冲刺数学试卷（含答案解析）

这是一份2027届德阳市高考临考冲刺数学试卷（含答案解析），共16页。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若实数满足不等式组则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
2．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．复数满足 (为虚数单位),则的值是( )
A．B．C．D．
5．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）
A．且
B．且
C．且
D．且
6．设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．2C．3D．
8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：）
A．1624B．1024C．1198D．1560
9．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( )
A．B．C．D．
10．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
11．已知正四面体外接球的体积为，则这个四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（ ）
A．B．C．1D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过且斜率为的直线交抛物线于两点，为的焦点若的面积等于的面积的2倍，则的值为___________.
14．过直线上一动点向圆引两条切线MA，MB，切点为A，B，若，则四边形MACB的最小面积的概率为________．
15．已知向量，且 ，则实数的值是__________．
16．已知非零向量的夹角为，且，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在区间上的最小值为，求m的值.
18．（12分）已知函数.
（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；
（Ⅱ）求函数的定义域和值域.
19．（12分）某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的占地都呈正方形，它们的面积分别为13公顷和8公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积为公顷和公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为公顷和公顷.
（1）设，用关于的函数表示，并求在区间上的最大值的近似值（精确到0.001公顷）；
（2）如果，并且，试分别求出、、、的值.
20．（12分）如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.
（1）证明：平面；
（2）若,求二面角的余弦值.
21．（12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
22．（10分）已知.
（1）解不等式；
（2）若均为正数，且，求的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．
【详解】
解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由得，
由得，平移，
易知过点时直线在上截距最小，
所以．
故选：A．
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
2、B
【解析】
因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.
【详解】
因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为.
故选：B
本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.
3、C
【解析】
可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系.
【详解】
解：因为，即，又，
设，根据条件，，；
若，，且，则：；
在上是减函数；
；
；
在上是增函数；
所以，
故选：C
考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题.
4、C
【解析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【详解】
由得：
本题正确选项：
本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
5、A
【解析】
试题分析：由题意得，，
∴，，
∵，∴，∴，
∴若：，，∴，
若：，，∴，
若：，，∴，
综上可知，同理可知，故选A.
考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.
6、C
【解析】
如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，，，，根据勾股定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：切点为，连接，作轴于，
，故，
在中，，故，故，，
根据勾股定理：，解得.
故选：.
本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
7、A
【解析】
由奇函数定义求出和．
【详解】
因为是定义在上的奇函数，.又当时，，.
故选：A．
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
8、B
【解析】
根据高阶等差数列的定义，求得等差数列的通项公式和前项和，利用累加法求得数列的通项公式，进而求得.
【详解】
依题意
：1，4，8，14，23，36，54，……
两两作差得
：3，4，6，9，13，18，……
两两作差得
：1，2，3，4，5，……
设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为.
易，，进而得，所以，则，所以，所以.
故选：B
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
9、C
【解析】
据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案．
【详解】
根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示：
的圆及内部的平面区域，面积为，
集合，，表示的平面区域即为图中的，，
根据几何概率的计算公式可得，
故选：C．
本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．
10、B
【解析】
由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解
【详解】
双曲线的一条渐近线与直线垂直．
∴双曲线的渐近线方程为．
，得．
则离心率．
故选：B
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
11、B
【解析】
设正四面体ABCD的外接球的半径R，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积．
【详解】
将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，
设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则，得．因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有，∴ ．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD的棱长为，因此，这个正四面体的表面积为．
故选：B．
本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．
12、A
【解析】
根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.
【详解】
由复数的除法运算化简可得
，
因为是纯虚数，所以，
∴，
故选：A.
本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】
联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.
【详解】
如图，设，由，则，
由可得，由，则，
所以，得.
故答案为：2
此题考查了抛物线的性质，属于中档题.
14、.
【解析】
先求圆的半径, 四边形的最小面积,转化为的最小值为，求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率．
【详解】
由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积，若四边形的最小面积，所以的最小值为，而，即的最小值，此时最小为圆心到直线的距离，此时，因为，所以，所以的概率为．
本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.
15、
【解析】
∵=（1，2），=（x，1），
则=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4），
=2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3），
∵∴3（1+2x）﹣4（2﹣x）=1，解得：x=．
点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得，然后利用向量共线的坐标表示列式求解x的值．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=1，∥⇔a1b2﹣a2b1=1．
16、1
【解析】
由已知条件得出,可得，解之可得答案.
【详解】
向量的夹角为,且,,可得:,
可得, 解得，
故答案为:1.
本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析 （2）
【解析】
（1）先求导，再对m分类讨论，求出的单调性；（2）对m分三种情况讨论求函数在区间上的最小值即得解.
【详解】
（1）
若，当时，；
当时.，
所以在上单调递增，在上单调递减
若.在R上单调递增
若，当时，；
当时.，
所以在上单调递增，在上单调递减
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则.则不合题意
当时，在上单调递减，在上单调递增.
则，即
又因为单调递增，且，故
综上，
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）函数的定义域为，值域为
【解析】
（1）由为第二象限角及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出及的值，再代入中即可得到结果.
（2）函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数，根据的范围，即可得到函数值域.
【详解】
解：（1）因为是第二象限角，且，
所以.
所以，
所以.
（2）函数的定义域为.
化简，得
，
因为，且，，
所以，
所以.
所以函数的值域为.
（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）
本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.
19、（1），最大值公顷；（2）17、25、5、5.
【解析】
（1）由余弦定理求出三角形ABC的边长BC，进而可以求出，，由面积公式求出 ，，即可求出，并求出最值；（2）由（1）知，，，即可求出、，再算出，代入（1）中表达式求出，。
【详解】
（1）由余弦定理得，，
所以，，同理可得
又 ，
所以，
故在区间上的最大值为，近似值为。
（2）由（1）知，， ，所以，进而，
由知，，，
故、、、的值分别是17、25、5、5。
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函数平方关系的应用，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力。
20、（1）见解析（2）
【解析】
（1）连结BM，推导出BC⊥BB1，AA1⊥BC，从而AA1⊥MC，进而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推导出四边形AMNP是平行四边形，从而MN∥AP，由此能证明MN∥平面ABC．
（2）推导出△ABA1是等腰直角三角形，设AB，则AA1＝2a，BM＝AM＝a，推导出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M为坐标原点，MA1，MB，MC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．
【详解】
（1）如图1，在三棱柱中，连结，因为是矩形，
所以，因为，所以，
又因为，，所以平面，
所以，又因为，所以是中点，
取中点，连结，，因为是的中点，则且，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（图1） （图2）
（2）因为，所以是等腰直角三角形，设，
则，.在中，，所以.
在中，，所以，
由（1）知，则，，如图2，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，.
所以，则，，
设平面的法向量为，
则即
取得.故平面的一个法向量为，
因为平面的一个法向量为，
则.
因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
本题考查线面平行的证明，考查了利用空间向量法求解二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据菱形性质可知，结合可得，进而可证明，即，即可由线面垂直的判定定理证明平面；
（2）结合（1）可证明两两互相垂直.即以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设，连接，如下图所示：
∵侧面为菱形，
∴，且为及的中点，
又，则为直角三角形，
，
又，
，即，
而为平面内的两条相交直线，
平面.
(2)
平面，
平面，
，即，
从而两两互相垂直.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系
，
为等边三角形，
，
，
，
设平面的法向量为，则，即，
∴可取，
设平面的法向量为，则.
同理可取
，
由图示可知二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为.
本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，属于中档题.
22、（1）；（2）
【解析】
（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解.
（2）利用柯西不等式可求的最小值.
【详解】
（1），
由得或或，
解得.
（2），
所以，
由柯西不等式得：
所以，
即 （当且仅当时取“=”）.
所以的最小值为.
本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.