[2026届]广西壮族自治区河池市高三下学期模拟预测数学试卷-含解析

这是一份[2026届]广西壮族自治区河池市高三下学期模拟预测数学试卷-含解析，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
3. 若复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
4. 记等差数列的前n项和为,,,则（ ）
A. 120B. 130C. 140D. 150
5. 设向量，，则（ ）
A. “”是“”的必要条件B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件D. “”是“”的充分条件
6. 甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（ ）
A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种
7. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A. B.
C. D.
8. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周长为6B. 的最小值为1
C. 面积的最大值为D. 椭圆C的离心率为
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量，则
B. 已知随机变量，满足，若，则，
C. 这组数据：，，，，，，的第70百分位数为6
D. 离散型随机变量服从两点分布，且，则
11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）

A. 存在点Q，使四点共面
B. 不存在点Q，使平面
C. 当Q为中点时，过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积为
D. 经过四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若，则______．
13. 如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，且，则该棱台的体积为__________．
14. 已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 不透明的盒子中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球．
（1）求取出的2个小球上的数字不同的概率；
（2）记取出的2个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望．
16. 已知函数，设锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，，求b，c的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的取值范围．
17. 如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．

（1）求证：平面；
（2）已知与平面所成角的大小为，求．
18. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求的取值范围．
19. 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为．

（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求直线的斜率；
（3）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值．
数学
（考试时间120分钟 满分150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：识别出集合表示的是奇数集，然后再找出同时属于两个集合的元素即可.
解答过程：因为，集合表示奇数集，即找出同时属于两个集合的元素，
也就是在内的奇数，所以.
故选：A
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：函数的最小正周期是.
3. 若复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：通过复数的除法运算求出复数,再根据复数的模的计算公式求出.
解答过程：复数z满足，
得,
.
故选：B
4. 记等差数列的前n项和为,,,则（ ）
A. 120B. 130C. 140D. 150
答案：D
解析：
思路：根据等差数列下标和的性质与等差数列前项求和公式计算即可.
解答过程：
故选：D.
5. 设向量，，则（ ）
A. “”是“”的必要条件B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件D. “”是“”的充分条件
答案：D
解析：
思路：由向量平行、垂直的坐标表示求得，再结合充分、必要条件的概念逐个判断即可.
解答过程：若，则解得：或，
若，则解得：或，
所以“”是“”的不必要条件，
“”是“”的不必要条件，
“”是“”的不充分条件，
“”是“”的充分条件，
故选：D
6. 甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（ ）
A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种
答案：B
解析：
思路：分乙站第一个位置，甲站第四个位置，和甲站第二个位置，乙站第五个位置，两类情况求解即可.
解答过程：从左向右看，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，有两种情况：
乙站第一个位置，甲站第四个位置，有种，
甲站第二个位置，乙站第五个位置，有种，
共有种，
故选：B
7. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：利用函数在上的值排除B, 利用奇偶性排除A, 利用函数在上的单调性排除D
解答过程：对于A，，定义域为，
又，所以为偶函数，故A错误；
对于B，当时，
易知，，所以，不满足，故B错误；
对于D，当时，，
由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；
检验选项C，满足图中性质。
故选：C
8. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
答案：D
解析：
思路：先根据抛物线方程求出焦点和点的坐标，进而得到圆的方程,然后联立圆的方程与抛物线方程求出交点的坐标,最后根据三角形面积公式求出的面积.
解答过程：抛物线的焦点为,准线与轴交于点,
所以以为圆心，为半径的圆的方程为，
圆与抛物线在第一象限的交点为，设，如图，作出符合题意的图形，
由，得，因为点在第一象限，
所以，即，显然，所以为直角三角形，
所以的面积为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周长为6B. 的最小值为1
C. 面积的最大值为D. 椭圆C的离心率为
答案：ACD
解析：
思路：根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性.
解答过程：如图：
依题意，，
所以的周长为，A选项正确；
若为椭圆上任意点，则，即，
当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，B选项错误；
当为椭圆短轴顶点时，的面积最大，为，C选项正确；
椭圆的离心率为，D选项正确.
故选：ACD
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量，则
B. 已知随机变量，满足，若，则，
C. 这组数据：，，，，，，的第70百分位数为6
D. 离散型随机变量服从两点分布，且，则
答案：ABD
解析：
思路：对于A：根据正态分布的对称性分析判断；对于B：根据二项分布的期望和方差公式以及期望和方差的性质运算求解；对于C：根据百分位数的定义分析判断；对于D：根据概率和为1运算求解.
解答过程：对于选项A：因为随机变量，且，
所以，故A正确；
对于选项B：因为，则，，
又因为，即，
所以，，故B正确；
对于选项C：将数据按升序排列可得，，，，，，12，
因为，所以这组数据的第70百分位数为7，故C错误；
对于选项D：由题意可得：，，
因为，解得，故D正确.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）

A. 存在点Q，使四点共面
B. 不存在点Q，使平面
C. 当Q为中点时，过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积为
D. 经过四点的球的表面积为
答案：ACD
解析：
思路：当与重合时，说明判断A；当为的中点时，证明平面判断B；作出截面图形即可判断C；利用割补法求得经过四点的球的半径，即可求得球的表面积判断D.
解答过程：对于A，当与重合时，连接，由，
则四边形为平行四边形，，又，故，
因此四点共面，A正确；

对于B，当为的中点时，，而四边形为平行四边形，则，
故，平面，平面，则平面，B错误；
对于C，当Q为中点时，取的中点，连接，此时过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面为正六边形，故其面积为，C正确；

对于D，设分别为的中点，则为长宽高分别为2，2，1的长方体，
经过四点的球即为长方体的外接球，

因此该外接球的直径满足：，
所以经过四点的球的表面积为，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若，则______．
答案：1
解析：
思路：根据指对互化，以及对数换底公式和运算公式，即可求解.
解答过程：由，得，，
所以.
故答案为：1
13. 如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，且，则该棱台的体积为__________．
答案：##
解析：
思路：根据给定条件，结合正四棱台的结构特征求出该正四棱台的高，再求出其体积.
解答过程：在正四棱台中，连接，取中点，连接，
由，得四边形为平行四边形，
则，而，于是，
则，由正四棱台的结构特征知平面平面，
平面，平面平面，得平面，
所以该棱台的体积.
14. 已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则__________．
答案：4050
解析：
思路：根据给定条件，利用复合函数求导法则求导，进而求出函数值的和.
解答过程：由，求导得，
则，即当时，，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 不透明的盒子中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球．
（1）求取出的2个小球上的数字不同的概率；
（2）记取出的2个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望．
答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：
思路：（1）考虑所有可能的小球数字组合，一共有6种情况，再分别计算各自的取法数目，从而得到总的满足条件的取法数目，最终除以总取法数目，即可得到所求概率；
（2）对所有X可能取值分情况列举对应的取法数目，得到每种情况的概率，从而得到分布列，最后根据数学期望的定义即可计算出数学期望.
（1）总取法数目，考虑全部的取出的2个小球上的数字不同的情况，
2个小球上的数字可能是或或或或或,
分别有1，2，1，2，1，2种情况，
故所求概率.
（2）如果取出的2个小球上的数字包含0，此时取出的2个小球上的数字之积为0，
总的情况数有种；
如果取出的2个小球上的数字为，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有2种；
如果取出的2个小球上的数字为， 此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；
如果取出的2个小球上的数字为，此时取出的2个小球上的数字之积为2，总的情况数有2种；
如果取出的2个小球上的数字为，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；
而总的情况有种，
故，，，
，，
所以分布列为
数学期望.
16. 已知函数，设锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，，求b，c的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的取值范围．
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）将代入中求出的值，再根据得出，利用余弦定理求值即可；
（2）将化简，再通过平移规律得到，根据（1）得到，进而求出的取值范围.
（1）由题，
所以，
因为，所以，所以，所以，
因为，所以，即，
又，所以，即，所以，；
（2），
将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
由（1）可知，所以，
在锐角中，，解得
所以，，
因为，所以，
所以，所以，
所以的取值范围为.
17. 如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．

（1）求证：平面；
（2）已知与平面所成角的大小为，求．
答案：（1）因为，，所以，
又因为，则，所以，翻折后，
又因为，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）解析：
思路：(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直；
(2)建系设参，借助平面法向量与线面角公式列式，求解线段长度.
（1）略
（2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知，
所以，则，
设平面的法向量，则，
令，则，
因为在线段上，所以设，则，
有，
因为与平面所成角的大小为，所以，
所以，则，即.

18. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求的取值范围．
答案：（1）
（2）当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解析：
思路：（1）将代入解析式，计算出，由直线的点斜式方程可求时的切线方程；
（2）计算出并因式分解，根据和进行分类讨论，由此可分析出单调性；
（3）当时，直接分析即可；当时，先根据计算出的初步范围，然后再证明在定义域上有两个零点，从而求解出的取值范围.
（1）当时，，所以，
所以，
所以切线方程为，即.
（2）因为，所以，
当时，显然，故在上单调递减，
当时，令，解得，
若，则，故在上单调递减，
若，则，故在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，在上单调递减，此时不可能有两个零点，
当时，由（2）可知，
若有两个零点，则一定有，
令，则，所以在上单调递增，
因为，所以若，则有，
下面证明：时，有两个零点；
因为，
由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点，
当时，由的单调性可知，所以，
所以，所以，所以，
又因为，
令，所以，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以，
故当时，，
由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点，
所以有两个零点，
综上所述，若有两个零点，则的取值范围是.
19. 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为．

（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求直线的斜率；
（3）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值．
答案：（1）
（2） （3）
证明：当为偶数时，取连续3个反射点，，，
则直线的方程为，与双曲线交于点，
联立，消去得，
由韦达定理得，两式相除得，
可得，故，
将代入直线的方程，得，
所以双曲线与直线的另一个交点为，
同理，双曲线与直线的另一个交点为，
故，
即，
所以当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值；
解析：
思路：（1）根据渐近线方程及点在双曲线上列式计算求参得出双曲线方程；
（2）根据题意求出点的坐标，再根据斜率公式即可得解；
（3）当为偶数时，取连续3个反射点，求出直线的方程，联立方程，利用韦达定理可求出，再代入直线的方程，求出，同理求出的坐标，再根据斜率公式化简整理即可得出结论；
（1）因为在双曲线上，
联立，解得，
则双曲线C的标准方程为；
（2）因为，，
联立，解得或（舍去），则，
已知，则；
（3）略
0
2
0.4
0.2
0.1
0.2
0.1