广西河池市2025-2026学年高二下学期阶段性测试 数学试卷

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单选题
54
1． A2  C2  （）
21B． 23C． 32D． 26
2．小明有 4 件不同的上衣、5 条不同的裤子、2 双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有
（）
A．11 种B．22 种C．24 种D．40 种
3 12
．甲乙两人投篮投中的概率分别为 2 ， 3 ，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投
中的概率是（）
A
． 1
2
1
3
1
4
3
4
若随机变量 X 满足 X ~ B6, p ，且 E  X   4 ，则 p  （）
A． 1
3
B． 1
4
C． 2
3
D． 3
4
已知 6 名学生中有 4 名男生，从中选出 3 名代表，则选出的代表中有 2 名男生的概率为（ ）
A． 1
5
B． 2
5
C． 3
5
D． 4
5
工厂制造某种机器零件的尺寸 X  N 100, 0.01 ，任取 10000 个零件时，尺寸在99.8, 99.9 内的个数约为
（ ）（附：若 X  N μ,σ2  ，则 P μσ X  μσ  0.6826 ， P μ 2σ X  μ 2σ  0.9544 ，
P μ 3σ X  μ 3σ  0.9974 ）
A．2718B．1359C．430D．215
从 5 人中选出 4 人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 5 人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ）
A．48 种B．72 种C．96 种D．120 种
某演讲比赛结束后，2 名男同学、3 名女同学和 2 位老师站成一排拍照留念，则 2 位老师相邻，且 3 名女同学不相邻的站法有（ ）
A．264 种B．288 种C．312 种D．336 种
多选题
已知离散型随机变量 X ， Y 满足Y  3X 1，其中 X 的分布列如下表所示，则（）
X
1
3
6
P
1 2
1
6
a
A． E  X   3
B． E Y   9
C． D  X   5
D． D Y   45
1 n
x
已知 2x  

n  6
的展开式中各二项式系数之和为 64，则（ ）
常数项为 160
含 x2 项的系数为 240D．二项式系数最大的项为第 3 项 11．有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为70% ，乙组的合格率为90% ．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70% ， 30% ．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件 A1 ， A2 分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件 B 表示选取的该人测试合格，则（）
A． P  A1B  0.49 B． P  A2 B  0.21
C． P  B  0.76
P  A1 B  0.6
填空题
曲线 y  xex 在点 x  0 处的切线方程为．
从 10 名学生中随机选出 4 人，其中甲学生的被选中的概率为．
(1 3x)(x  2y)5 的展开式中 x4 y2 的系数为．（用数字作答）
解答题
15．（1）计算A2  C8 C9 的值；
7109
nnn1
（2）若C2  C3  C4 ，求n 的值．
一个箱子中装有除颜色外其他都相同的 2 个红球，2 个黑球，5 个绿球．
若从箱子中任取两个球，求这两个球颜色不同的概率；
若从箱子中任取 3 个球，记取出的黑球的个数为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望．
已知函数为 f  x  x3  3x2  9x  2 ．
求 f  x ；
求 f  x 的单调区间；
求 f  x 在区间4, 2上的最值．
在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从 4 道“圆锥曲线”和 3 道“函数与导数”共 7 道不同的试题中依次抽取 2 道进行作答，抽出的题目不再放回.
求选手甲第 1 次抽到“圆锥曲线”试题且第 2 次抽到“函数与导数”试题的概率；
求选手甲第 2 次抽到“函数与导数”试题的概率；
求选手甲第 2 次抽到“函数与导数”试题的条件下，第 1 次抽到“圆锥曲线”试题的概率. 19．甲、乙两选手进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，那么采用 3局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对乙更有利？
1．D
【详解】A2  C2  5 4  4  3  20  6  26 .
参考答案
54
2．D
2 1
【详解】第一步选上衣有 4 种选法，第二步选裤子有 5 种选法，第三步选鞋子有 2 种选法，所以共有
4  5 2  40 种选法.
3．A
12
【详解】因为甲乙两人投篮投中的概率分别为 2 ， 3 ，
又因为两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，
则只有一个人投中的概率是 1  1  1  2  1 .
2 3232
4．C
【详解】随机变量 X 满足 X  B 6, p ，则 E  X   6 p  4 ，则 p  2 .
3
5．C
【详解】选择三名代表的可能性有C3  20 种，选出的代表中有 2 名男生的可能性为C2 C1  12 ，
642
所以 P  12  3 .
205
6．B
【详解】由 X ~N 100, 0.01 ，得μ 100,σ 0.1，则 P 99.8  X  99.9  P μ 2σ X  μσ

 1 P μ 2σ X  μ 2σ  P μσ X  μσ  1 0.9544  0.6826  0.1359 ，
22
所以任取 10000 个零件时，尺寸在99.8, 99.9 内的个数约为10000  0.1359  1359 ．
7．B
3
4
【详解】先从除甲、乙两人之外的 3 人中选 1 人去沈阳游览，共有C1 种，再从剩余 4 人中选 3 人到其他三个城市游览，共有A3 种，
3 4
所以不同的选择方案共有C1A3  72 种．
故选：B 8．B
2 3
【详解】将 2 名老师作为一个元素和 2 名男男同学共 3 个元素全排列，共有A2A3 种方法，
再让 3 名女同学插空，有A3 种方法，所以满足条件的站法有A2A3A3  288 种.
42 3 4
ACD
【详解】由离散型随机变量分布列性质，得 1  1  a  1，解得
26
对于 A，由题意得 E  X   1 1  3 1  6  1  3 ，所以 A 正确；
263
对于 B，由期望性质得 E aX  b  aE  X   b ， Y  3X 1，可得 E Y   3E  X  1  3 3 1  8  9 ，所以 B 错误；
a  1 ， 3
对于 C， D  X   (1 3)2  1  (3  3)2  1  (6  3)2  1  5 ，所以 C 正确；
263
对于 D，由方差性质得 D aX  b  a2 D  X  ， D Y   32 D  X   9  5  45 ，所以 D 正确.
AC
1 n
【详解】对于 A，由二项式 2x  
x

的展开式中各二项式系数之和为 64，
可得2n  64 ，解得n  6 ，故 A 正确；
对于 B，二项展开式的通项公式为T Cr 2x
6r 
r
1 r
  Cr  26r  1
 x62r ，
r 16
x 6

6
令6  2r  0 ，可得r  3 ，所以展开式的常数项为C3  23 13  160 ，故 B 错误；
6
对于 C，令6  2r  2 ，解得r  2 ，所以含 x2 项的系数为C2  24 12  240 ，故 C 正确；
对于 D，二项式系数最大的项为第 6 1  4 项，故 D 错误.
2
AC
【详解】由题意可得： P( A1 )  0.7 ， P( A2 )  0.3 ， P(B | A1 )  0.7 ， P(B | A2 )  0.9 .
对于 A，根据乘法公式， P( A1B)  P(B | A1 )  P( A1 )  0.7  0.7  0.49 ，故 A 正确.
对于 B，根据乘法公式， P( A2 B)  P(B | A2 )  P( A2 )  0.9  0.3  0.27  0.21，故 B 错误.
对于 C，根据全概率公式， P(B)  P( A1B)  P( A2 B)  0.49  0.27  0.76 ，故 C 正确.
对于 D，根据条件概率公式， P( A | B)  P( A1B)  0.49  0.645  0.6 ，故 D 错误.

1P(B)0.76
y  x
【详解】因为 f  x  xex ，所以 f 0  0 ， f  x   x 1ex ，则 f 0  0 1e0  1，
即切点为0, 0 ，切线的斜率k  1 ，
所以切线方程为 y  0  1 x  0 ，即 y  x .
2 /0.4
5
【详解】从 10 名学生中随机选出 4 名学生有C4
 10  9  8 7  210 种方法， 4  3 2 1
10
其中“甲学生被选中”有C3  9  8 7  84 种方法，
93 2 1
所以甲学生被选中的概率是 84  2 .
2105
120
【详解】由二项式(x  2 y)5 的展开式的通项为T (2)r Cr  x5r yr , r  0,1, 2,L, 5 ，
r 15
5
其中含 x4 y2 项的系数为 0，含 x3 y2 项的系数为(2)2 C2  40 ，所以(1 3x)(x  2y)5 的展开式中 x4 y2 的系数为3 40  120 ．
15．（1）87；（2）6
7
【详解】（1） A2  7  6  42 ，
C8  C2  10  9  45, C9  1 ，
101029
故原式 42  45  87 ；
nnn1
（2）等式C2  C3  C4 ，
n n 1 n n 1n  2n 1 n n 1n  2
整理可得
23 24  3 2
计算可得12  4 n  2  n 1n  2 ，
整理可得n2  5n  6  0 ，可得n  6, n  1
所以n  6 .
16．(1) 2
3
(2)分布列为：
（舍去），
X
0
1
2
P
5
12
1
2
1
12
数学期望为 2
3
C1 C1  C1 C1  C1 C1
4 10 102
【详解】（1） p  222525  ；
C
9
2363
（2） X 的可能取值为0 、1、2 ，
C0 C3355
P  X  0  27 ，
C
9
38412
C1 C2421
P  X  1  27  ，
C
9
3842
C2 C171
P  X  2  27 ，
C
9
38412
则 X 的分布列为：
则 E  X   0  5 1 1  2  1  2 .
122123
17．(1) f  x  3x2  6x  9
单调递增区间为∞, 1 、3, ∞ ，单调递减区间为1, 3
最大值为7 ，最小值为74
【详解】（1） f  x  3x2  2  3x  9  3x2  6x  9 ；
由 f  x  3x2  6x  9  3 x 1 x  3 ，
则当 x ∞, 1 3, ∞ 时， f  x  0 ，当 x 1, 3 时， f  x  0 ， 故 f  x 的单调递增区间为∞, 1 、3, ∞ ，单调递减区间为1, 3 ；
由 f  x 的单调递增区间为∞, 1 、3, ∞ ，单调递减区间为1, 3 ，
X
0
1
2
P
5
12
1
2
1
12
则当 x 4, 2 时， f  x 在4, 1 上单调递增，在1, 2 上单调递减，又 f 1  13  312  9 1  2  7 ，
f 4  43  342  9 4  2  74 ，
f 2  23  3 22  9  2  2  20 ，
故 f  x 在区间4, 2上的最大值为7 ，最小值为74 .
18．(1) 2
7
(2) 3
7
(3) 2
3
【详解】（1）记“选手甲第 1 次抽到“圆锥曲线”试题”为事件 A ，“选手甲第 2 次抽到“函数与导数”试题”为事件 B ，
C1 C1
4  32
法一： P  AB  4 3  .
A
7
27  67

法二：由概率乘法公式可得 P  AB  P  A P B A  4  3  2 .
767
  
由全概率公式可得 P  B  P  A P B∣A  P A P B∣A  4  3  3  2  3 .
7 6767
2
由条件概率公式可得 P  A B  P  AB  7  2 .
19．3 局 2 胜制对乙更有利
P  B33
7
【详解】采用 3 局 2 胜制，乙最终获胜有两种可能的比分 2∶0 或 2∶1，前者是前两局乙连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第 3 局乙胜，
12
因为每局比赛的结果是独立的，乙最终获胜的概率为 P  0.42  C1  0.42  0.6  0.352 ．类似地，采用 5 局 3 胜制，乙最终获胜有 3 种比分 3∶0，3∶1 或 3∶2，
234
因为每局比赛的结果是独立的，所以乙最终获胜的概率为 P  0.43  C2  0.43  0.6  C2  0.43  0.62  0.31744 ．