2025--2026学年辽宁大连佰圣高级中学高二下学期5月期中数学试卷-含解析

这是一份2025--2026学年辽宁大连佰圣高级中学高二下学期5月期中数学试卷-含解析，共23页。试卷主要包含了 随机变量的分布列是，2B， 下列说法正确的是，05， 在等比数列中，，公比为q，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
1. 随机变量的分布列是
则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：
且回归直线方程是，则（ ）
A. 6.2B. 6.3C. 6.4D. 6.5
3. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ）
附:，
A. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
C. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件
D. 若随机变量，满足，则
5. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”．已知等差数列的首项，公差，且是“H数列”，则数列的前9项的和为（ ）
A. B. C. D.
8. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（ ）
A. B. 是偶数
C. D.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在等比数列中，，公比为q，则（ ）
A. q＝±2B. ＝±12
C. 是公比为4的等比数列D. 是公比为2的等比数列
10. 一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以，和表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（ ）
A. ；B. ；
C. 事件与事件相互独立；D. ，，是两两互斥的事件．
11. 甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸相应位置上
12. 已知等比数列的前项和为，且，，则___________.
13. 下列说法中正确的有______（填正确说法的序号）．
①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；
②已知随机变量，且，则；
③若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
④若事件A，B满足，，，则有．
14. 已知首项为2的数列的前n和为，且，若数列满足，则数列中最大项的值为______．
四､解答题：本大题共5小题，其中15题13分，16､17题每题15分，18､19题每题17分，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，若，，
（1）求
（2）当取最大值时，求的值
16. 某大学组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
（1）从这9天的数据中任选2天的数据，以X表示2天中普及人数不少于200人的天数，求X的分布列和数学期望；
（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程.
参考数据：，，.附：对于一组数据（，），（，），……，（，），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
18. 设正项数列的前n项和为，且满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，对任意，恒成立，求实数的取值范围．
19. 已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止.
（1）经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望.
（2）记次操作后游戏终止的概率为.
(i)求关于的表达式;
(ii)求的最大值.
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
1. 随机变量的分布列是
则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据概率之和为1即可求解.
解答过程：由表可得，故,
故选：C
2. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：
且回归直线方程是，则（ ）
A. 6.2B. 6.3C. 6.4D. 6.5
答案：D
解析：
思路：求出样本中心点，再利用回归直线过样本中心点求解.
解答过程：由数据表，得，
依题意，回归直线过点，则,
所以.
故选：D
3. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ）
附:，
A. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
答案：B
解析：
思路：根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断.
解答过程：依题意可得列联表如下：
所以，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关，
即有的把握认为是否是篮球迷与性别有关，
又，所以没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关.
故选：B.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
C. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件
D. 若随机变量，满足，则
答案：B
解析：
思路：A选项，根据百分位数的定义进行计算；B选项，，推出结论；C选项，由于事件A，B对立是事件A，B互斥的特殊情况，故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件；D选项，，D错误.
解答过程：A选项，，故从小到大选取第8个和第9个数的平均数作为第80百分位数，即，A错误；
B选项，，故可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确；
C选项，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥，
故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，C错误；
D选项，若随机变量，满足，则，D错误.
故选：B
5. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：根据等差数列前n项和可知，
故.
6. 已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项.
解答过程：已知，
时，，是斜率为的一次函数，单调递增，
，函数为开口向下的二次函数，
对正整数，递增，即相邻的项满足：，
代入得：，解得：，
故要使时数列递增，需，
同时分段点处需满足，
即，
综上取值范围是.
故选：C
7. 设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”．已知等差数列的首项，公差，且是“H数列”，则数列的前9项的和为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：首先根据等差数列的通项公式和前项和公式，结合“H数列”的定义求出公差，进而得到数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出前9项的和.
解答过程：已知等差数列的首项，公差，
则，，
是“H数列”， 对任意正整数，总存在正整数，使得，
，
整理得，
因为为正整数，所以必须是整数，
，所以，
所以，
，
设数列的前项的和为，
.
故选：A.
8. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（ ）
A. B. 是偶数
C. D.
答案：D
解析：
思路：由题意可得，结合该递推关系对选项逐项计算判断即可得.
解答过程：由已知得数列满足递推关系，，
对选项A：
，故A错误；
对选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，
，不能被3整除，且为奇数，
所以也为奇数，故B错误；
对选项C：若选项C正确，又，则，
同理，依次类推，
可得，显然错误，故C错误；
对选项D：，
所以，故D正确.
故选：D.
方法提示：关键点点睛：斐波那契数列问题的解决关键是熟练掌握其递推公式，，从而得解.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在等比数列中，，公比为q，则（ ）
A. q＝±2B. ＝±12
C. 是公比为4的等比数列D. 是公比为2的等比数列
答案：AC
解析：
解答过程：对于A，，则，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C，由得，所以数列是公比为4的等比数列，故C正确；
对于D，当时，，所以数列是公比为4的等比数列，故D错误.
10. 一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以，和表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（ ）
A. ；B. ；
C. 事件与事件相互独立；D. ，，是两两互斥的事件．
答案：ABD
解析：
思路：有条件概率的定义可得B正确；利用全概率公式进行计算，可得A正确；有相互独立事件的判定方法可得C错误；有互斥事件的定义易得D正确.
解答过程：因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，
则,
乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品,
则,
则
，故A，B正确；
因为,
又，，
则，则两事件不相互独立，
故C错误；
根据互斥事件的定义可知，，，是两两互斥的事件，
故D正确，
故选：ABD.
11. 甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：通过分析单次操作中不同事件的概率，结合条件概率、全概率公式推导各选项；对于递推型概率，构造等比数列求解通项公式.
解答过程：初始时，甲盒有1黑2红，乙盒有1黑2红.
选项A：一次操作后，甲盒恰有1黑球（事件）的情况：
从甲取红且从乙取红，或从甲取黑且从乙取黑.
甲取红的概率为，乙取红的概率为；甲取黑的概率为，乙取黑的概率为.
故，A正确.
选项B：表示“第二次操作后甲盒有1黑球的前提下，
第一次操作后甲盒有0黑球”的概率.
第一次操作后甲盒有0黑球（）：甲取黑、乙取红，概率.
第二次操作后甲盒有1黑球（）的情况：若发生，甲盒0黑3红，乙盒2黑1红，
此时从甲取红、乙取黑的概率为，故.
若发生，甲盒1黑2红，乙盒1黑2红，此时（同）.
若发生，甲盒2黑1红，乙盒0黑3红，此时（甲取黑、乙取红的概率为）.
由全概率公式：.
由条件概率公式：，B错误.
选项C：表示“第一次操作后甲盒有0黑球，或第二次操作后甲盒有1黑球”的概率.
由概率的加法公式：.
其中.
代入得：，C正确.
选项D：递推关系：.
整理为：.
初始值，故.
因此，即，D正确.
故选：ACD
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸相应位置上
12. 已知等比数列的前项和为，且，，则___________.
答案：32
解析：
思路：先根据等比数列的通项公式与前项和公式求和，再求即可.
解答过程：首先，等比数列的公比不是1，这是因为若，则，所以.
由.
由.
所以.
故答案为：32
13. 下列说法中正确的有______（填正确说法的序号）．
①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；
②已知随机变量，且，则；
③若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
④若事件A，B满足，，，则有．
答案：①②④
解析：
思路：对于①，利用方差的性质求解判断，对于②，根据正态分布的性质计算，
对于③，根据相关系数的性质判断，对于④，利用独立事件和条件概率公式求解判断.
解答过程：由于，所以数据，，…，的方差为16，
故标准差为4，因此①正确；
根据正态分布，，故，即，
故.3，因此②正确；
线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故③错误；
由于等价于“事件A与事件B相互独立，即，
故必有，因此④正确.
故答案为：①②④
14. 已知首项为2的数列的前n和为，且，若数列满足，则数列中最大项的值为______．
答案：381
解析：
思路：利用可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，再次进行构造可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即，从而得到的通项公式，根据二次函数的性质可得结果.
解答过程：因为，，
当时，，
当时，，
两式相减，整理可得，
则数列是以为首项，2为公比的等比数列，
可得，即，
可知数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，即，
可得，
又因为二次函数开口向下，对称轴为，
所以当时，最大，最大值为381.
故答案为：381.
方法提示：方法点睛：本题主要考查了通过数列的递推式求数列的通项公式以及求数列的最大项，解决此题最大的难点在于两次构造，常见的形式有：公式法、利用等式、累加法和累乘法、可以用构造法（构造等差、等比数列）等．
四､解答题：本大题共5小题，其中15题13分，16､17题每题15分，18､19题每题17分，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，若，，
（1）求
（2）当取最大值时，求的值
答案：（1）
（2）或
解析：
思路：（1）将已知条件用等差数列的首项和公差表示，解方程组得到首项和公差，从而求得数列的通项公式；
（2）利用等差数列的前n项和公式结合二次函数的性质，即可判断出取最大值时的值.
（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，所以.
（2），
所以当取最大值时，或.
16. 某大学组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
（1）从这9天的数据中任选2天的数据，以X表示2天中普及人数不少于200人的天数，求X的分布列和数学期望；
（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程.
参考数据：，，.附：对于一组数据（，），（，），……，（，），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
答案：（1）分布列见解析，
（2）解析：
思路：（1）利用超几何分布与数学期望公式即可得解；
（2）去掉第天数据后，结合的计算公式进行转化整理求得其值，从而得解.
（1）普及人数不少于200人的天数为4天，则X的所有可能取值为0，1，2，
又，
，
.
故X的分布列为：
.
（2）去掉第天的数据可得统计表如下：
设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为，
所以，，，；
去掉第5天数据后，.
所以，，
所以剩下的数据求得的回归直线方程为：.
17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
答案：（1）

（2）（3）的分布列为：
期望为解析：
思路：（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）依据，利用正态分布的对称性计算即可；
（3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意知，即，
所以．
（3）由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
所以.
18. 设正项数列的前n项和为，且满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，对任意，恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据题意，由与的关系，结合等差数列的定义，即可得到结果；
（2）根据题意，由裂项相消法可得，然后转化为，令，则即可.
（1）因为，所以，，
两式相减可得，，即，，
又数列的各项为正数，所以，，
且，，解得，所以上式也成立，
即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以
（2）由（1）可知，，则，
所以
，
所以，
由可得，
即，
令，则即可，
当时，，
当时，由，
当时，，所以，
当时，，即，所以，
所以为中的最大值，且，所以，
即的取值范围为.
方法提示：关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，对进行裂项，从而得解.
19. 已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止.
（1）经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望.
（2）记次操作后游戏终止的概率为.
(i)求关于的表达式;
(ii)求的最大值.
答案：（1）的分布列为
的数学期望
（2）(i) ；(ii)
解析：
思路：（1）先确定每个随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式计算期望即可；
（2）(i)先求出初始项，再分两种情形推导时的递推关系，通过构造等比数列即可求出；
(ii)先作差得到的表达式，通过解不等式判断的增减性，得出是的最大值并计算具体数值即可.
（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，
且，
，
，
所以的分布列为
的数学期望.
（2）（i）由题意知：，
当时，第次操作后游戏终止分两种情形：
①第1次摸出的是黑球，则还需次摸球游戏才能终止，则；
②第1次摸出的是红球，则剩下次摸球中，最后1次摸出红球，中间次摸出的都是黑球，则，
所以，
即当时，.
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
(ii)当时，，
令，得，
两边同时乘以得：，所以，即，
当时上述不等式成立，故，
当时，，
因为是减函数，所以当时，，故，
所以最大，即的最大值为.
1
2
3
P
0
1
2
3
4
2.5
4.0
4.3
4.2
男生
女生
篮球迷
30
15
非篮球迷
45
10
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
时间x（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310
1
2
3
P
0
1
2
3
4
2.5
4.0
4.3
4.2
男生
女生
篮球迷
30
15
非篮球迷
45
10
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
男生
女生
合计
篮球迷
30
15
45
非篮球迷
45
10
55
合计
75
25
100
时间x（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310
0
1
2
时间天
1
2
3
4
6
7
8
9
每天普及的人数
80
98
129
150
190
258
292
310
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
0
1
2