安徽省六安第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷含解析（word版）

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1．D
【难度】0.9
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率
【详解】因为随机事件A与B互斥，且，，
所以.
2．C
【难度】0.92
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【详解】，所以
3．A
【难度】0.85
【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示
【分析】根据得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到，最后代入计算即可.
【详解】因为，故G为CD的中点，如图，
由平行四边形法则可得，
所以.
故选：A.
4．A
【难度】0.85
【知识点】计算古典概型问题的概率
【分析】先求出样本空间的样本数和恰好2人都是男生的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解.
【详解】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人是男生，
记这3人为，其余2人为，
从5人中选取人有：，共有10种情况，
恰好2人都是男生有，共3种情况，
所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率为.
故选：A.
5．A
【难度】0.85
【知识点】空间向量基底概念及辨析
【分析】依次判断各选项的向量，与，不共面即可.
【详解】对于A，假设，即，显然与矛盾，故，，不共面，可以构成基底，满足.
对于B，由于，，，共面，不满足；
对于C，由于，，，共面，不满足；
对于D，零向量与任意向量共面，故基底向量不能是零向量，不满足；
故能与，构成空间的一个基底的只有．
故选：A
6．B
【难度】0.65
【知识点】线面关系有关命题的判断、空间位置关系的向量证明
【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题.
【详解】A：连接，则，直线平面，
又平面，且平面，且，
所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确；

B：连接；由正方体的性质可知，
又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确；
C：以为原点，建立如图空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则
所以，不存在实数使，
故直线与直线不平行，故本选项不正确；

D：因为，，
所以，所以直线与平面内的直线不垂直，
所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确.
7．D
【难度】0.66
【知识点】根据条形统计图解决实际问题、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
【分析】根据饼状图和条形图提供的数据逐一分析判断选项．
【详解】由饼图可知，高一人数比高二人数多选项正确；
由条形图可知，成绩前200名中高一人数为人，B选项正确；
成绩前100名的学生中，高一人数为人，
故高三人数不超过人，C选项正确；
成绩第101名到第名的学生中，高一人数为人，
故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D选项错误，
故选：D
8．C
【难度】0.4
【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式
【详解】由两两相互独立得到，
设，
则
，解得，
又考虑，
解得，综上得．
【点睛】利用概率的非负性和事件并集的概率上限，结合独立性条件逐步缩小范围.
9．BC
【难度】0.75
【知识点】各数据同时加减同一数对方差的影响、各数据同时乘除同一数对方差的影响、计算几个数的中位数
【分析】根据中位数的定义， 平均数和方差的运算公式和性质逐一判断即可.
【详解】A：因为数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30是从小到大排列，且一共有个，
所以该组数据的中位数是，因此本选项说法不正确；
B：因为一组样本数据的方差，
所以该组数据的平均数为，且这组数据一共有个，所以这组样本数据的总和为，因此本选项说法正确；
C：因为样本数据的方差为8，
所以数据的方差为，因此本选项说法正确；
D：因为一个样本容量为8的样本，
所以设这8个数据为，
因为该样本的平均数是5，方差为2，
所以，
，
现样本中又加入一个新数据5，
此时样本的平均数为，
方差为，
所以样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变小，因此本选项说法不正确.
10．ACD
【难度】0.65
【知识点】确定所给事件的对立关系、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系
【分析】根据对立事件、互斥事件、独立事件的定义，结合古典概型运算公式逐一判断即可.
【详解】设2个白球为，，2个黑球为，，
则样本空间为：
，共12个基本事件.
事件，共4个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共8个基本事件，
A：因为，，所以事件A与D互为对立，所以本选项说法正确；
B：因为，所以事件B与C不互斥，因此本选项说法不正确；
C：因为，，，
则，所以事件A与B相互独立，因此本选项说法正确；
D：因为，所以本选项说法正确.
11．ABD
【难度】0.28
【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、球的截面的性质及计算
【详解】对于A，由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
则球的表面积为，圆柱的表面积为，所以球与圆柱的表面积之比为，故A正确；
对于B，矩形所在截面如图所示，过点作于点，则由题可得，
设点到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，
则，，所以平面截得球的截面面积最小值为，故B正确；
对于C，由题可知四面体的体积等于，点E到平面的距离，
又，所以，故C错误；
对于D，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，
设P在底面的投影为，则，，，
，设，则，，
所以，
所以.故D正确.
12．1
【难度】0.85
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【详解】因为，
所以.
13．
【难度】0.85
【知识点】多面体与球体内切外接问题
【分析】首先利用正三棱锥和球的关系，利用勾股定理的应用求出外接球的半径，进一步利用体积公式的应用求出球的体积．
【详解】解：设正四面体，棱长为1，
如图所示：
设外接球的球心为，半径为，
所以，
由于，
所以，
在中，利用勾股定理：，
即：，解得，
所以．
故答案为：．
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
14．①②④
【难度】0.65
【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式
【分析】利用概率的性质结合已知即可推出①正确；再利用和事件的概率公式，即可得出判断．
【详解】对于①，，
，
又，所以，
故，①正确；
对于②③④，，结合，
可得，而，
所以，②正确，③错误，④正确．
15．(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、已知数量积求模
【分析】（1）由几何体结构结合向量运算法则直接进行运算即可；
（2）由（1），两边平方，结合向量的数量积运算即可求解.
【详解】（1）由题可得，向量；
（2）因为，两边平方得，
.
所以.
16．(1)
(2)
【难度】0.72
【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用
【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件得出，进而利用余弦定理求解；
（2）结合已知条件求出，利用的范围求出，进而求出边上的高．
【详解】（1）设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，
已知，则，
由余弦定理得．
（2）由（1）知，若，则，
因为，且，
故，
故边上的高为．
17．(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、求二面角
【分析】（1）连接，则由等腰三角形的性质可得，再由圆的性质结合三角形中位线定理得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论，
（2）由（1）可得为二面角的平面角，可证得，然后在中求解即可
【详解】（1）证明：连接，则，
因为点D为AC的中点，所以，
因为为的直径，所以，所以，
因为为的中点，D为AC的中点，
所以‖，，所以，
因为，平面，
所以平面，

（2）由（1）知，，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，
所以，
因为，，，
所以，所以，
所以在中，,
所以二面角的正弦值为
18．(1)
(2)
(3)．
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求出；
（2）找出排名前的同学的成绩所在区间，通过比例计算该区间内的具体偏移量，最终求解最低入围成绩；
（3）先拆分事件，再分步计算子事件概率，最后合并子事件概率求解．
【详解】（1）频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，
，解得.
（2）的频率为，的频率和为，
故排名前的同学的成绩位于内，且设为，则，解得，
进入决赛的同学成绩应不低于分．
（3）甲乙两人共计答对三道题目的情况有：
甲对一道题，乙对两道题，或甲对两道题，乙对一道题，
设甲对一道题，乙对两道题为事件，甲对两道题，乙对一道题为事件，
，，
两人各道题答对与否互不影响，则．
甲、乙两人共计答对三道题目的概率为．
19．(1)
(2)（i）；（ii）
【难度】0.56
【知识点】柱体体积的有关计算、求组合体的体积、组合体截面的形状
【分析】（1）利用圆柱体的体积公式进行求解；
（2）（i）截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形，求出边长，得到面积；
（ii）构造出一个截面，满足题干条件，求解八分之一“牟合方盖”的体积转化为求解，再代入求值即可.
【详解】（1）因为正方体的棱长为，
所以四分之一圆柱体的体积为．
（2）（i）如图：截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形．

因为，所以，而正方体的棱长为，
因此，
所以，因此正方形的面积为，
即该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积为．
（ii）由（i）得用平行于八分之一“牟合方盖”底面，
且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截八分之一“牟合方盖”，
所得截面的面积为．
所得截面如图所示：

正方体的棱长为为底面的中心，
把正方体去掉正四棱锥后剩下的部分的底面与
“牟合方盖”底面放到同一平面上，
则八分之一“牟合方盖”与所得几何体都夹在平面与平面之间，
则用平行于八分之一“牟合方盖”底面，且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截所得几何体，
截面为图中的阴影部分，且面积为，
因此八分之一“牟合方盖”的体积为，
所以当时，八分之一“牟合方盖”的体积为．题号
难度系数
详细知识点
1
0.9
利用互斥事件的概率公式求概率
2
0.92
复数的除法运算；求复数的模
3
0.85
空间向量的加减运算；空间向量加减运算的几何表示
4
0.85
计算古典概型问题的概率
5
0.85
空间向量基底概念及辨析
6
0.65
线面关系有关命题的判断；空间位置关系的向量证明
7
0.66
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；根据条形统计图解决实际问题；由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；频率分布直方图的实际应用
8
0.4
独立事件的乘法公式；互斥事件的概率加法公式
9
0.75
各数据同时加减同一数对方差的影响；各数据同时乘除同一数对方差的影响；计算几个数的中位数
10
0.65
独立事件的判断；计算古典概型问题的概率；判断所给事件是否是互斥关系；确定所给事件的对立关系
11
0.28
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；球的截面的性质及计算；圆柱表面积的有关计算
12
0.85
空间向量垂直的坐标表示
13
0.85
多面体与球体内切外接问题
14
0.65
概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；利用对立事件的概率公式求概率
15
0.85
已知数量积求模；用基底表示向量；用定义求向量的数量积
16
0.72
余弦定理边角互化的应用；正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形
17
0.65
求二面角；证明线面垂直
18
0.65
独立事件的乘法公式；总体百分位数的估计；由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
19
0.56
柱体体积的有关计算；组合体截面的形状；求组合体的体积
序号
知识点
对应题号
1
计数原理与概率统计
1,4,7,8,9,10,14,18
2
复数
2
3
空间向量与立体几何
3,5,6,11,12,13,17,19
4
平面向量
15
5
三角函数与解三角形
16