2025--2026学年江苏省南京市七校联合体高一下学期5月学情调研数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省南京市七校联合体高一下学期5月学情调研数学试题-含解析试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ）
A. 2πB. 4πC. 2D. 1
4. 下列结论中不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D.
5. 小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ）
A. 40米B. 米C. 米D. 60米
6. 在中，，，，则（ ）
A. 16B. C. 9D.
7. 已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 复数的模为B. 复数的虚部为
C. 若，则D.
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则是锐角三角形
11. 已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ）
A. 的面积的最大值为B. 当P为BC中点时，
C. 若的面积为面积的，则D. 若，则的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．
12. 已知向量，，满足，则_____.
13. 在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________．
14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.
四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设复数，，其中为虚数单位．
（1）若是纯虚数，求．
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
16. 的三边长度分别为：，，，
（1）求：的值
（2）若，，点在线段上，且
（ⅰ）试用，的适当形式表示
（ⅱ）求
17. （1）已知，，求的值；
（2）已知角，，且，，求和的值．
18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．
（1）求，
（2）若，且的面积为，求的周长；
（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．
19. 我们把山平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，，分别为，正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．
（1）已知向量的“广义坐标”为．求的模；
（2）以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”．
（3）如图3，在“广义坐标系”中，点，分别在射线、射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值．
数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由向量减法与加法的三角形法则可得.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用两角和的正弦公式求得正确答案.
解答过程：.
3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ）
A. 2πB. 4πC. 2D. 1
答案：A
解析：
解答过程：设外接圆的半径为，
因为，，由正弦定理，，
解得，故外接圆的周长为.
4. 下列结论中不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D.
答案：B
解析：
思路：根据向量共线判断A，根据特例判断B，根据数量积的运算判断CD.
解答过程：对A，当中至少有一个为零向量时，成立，
当都为非零向量时，由知或，
所以a⋅b=abcsa,b=±ab，综上，A正确；
对B，若为零向量时，满足，，
但是不一定成立，故B错误；
对C，a+b⋅a−b=a2−b2=a2−b2=0 ，
所以，即，故C正确；
对D，因为a→+b→2−a→+b→2=a→2+b→2+2a→⋅b→−a→2+b→2+2a→b→
=2a→⋅b→−2a→b→=2a→b→csa→,b→−1≤0 ，
所以a+b2≤a+b2，所以，故D正确.
5. 小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ）
A. 40米B. 米C. 米D. 60米
答案：C
解析：
思路：根据题意，作出图形，利用正弦定理和余弦定理计算即可得.
解答过程：如下图：由题可得、、，，，
，即，
故，则，则，
故.
故选：C.
6. 在中，，，，则（ ）
A. 16B. C. 9D.
答案：A
解析：
思路：方法一：建立平面直角坐标系，再根据平面向量数量积的坐标运算公式即可求解；方法二：根据平面向量线性运算及数量积的运算律即可求解．
解答过程：方法一：坐标法．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，则，，．
，，
则．

方法二：利用向量关系．
．
由于，，
所以．
7. 已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案
解答过程：以A为原点，、所在的直线分别为轴建立
如图所示的平面直角坐标系，则，，，
，所以，
设，故，
因为，所以，
则，，
所以，
因为，其对称轴为，取得最小值，
当，取得最大值，所以
8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由正弦定理及两角和的正弦公式得出，再根据三角形中线的向量表示及平面向量数量积的运算律得出，由三角形面积公式即可求解．
解答过程：由已知条件，化简得．
由正弦定理得，，
又，所以，
所以，由于为锐角三角形，所以．
边上的中线长为，
设边上的中线长为，则，
所以
，
所以，
所以S△ABC=12acsinB=12×15×32=1534．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 复数的模为B. 复数的虚部为
C. 若，则D.
答案：ABD
解析：
解答过程：A：复数的模，正确.
B：复数的虚部为，正确.
C：复数不能比较大小，错误.
D：设则，，正确.
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则是锐角三角形
答案：ACD
解析：
解答过程：三角形中，大角对大边，若，则，由正弦定理，
则，即，故A正确；
由正弦定理，
已知，则，
由余弦定理，说明是锐角，无法确定是否是锐角，
故三角形不一定是锐角三角形，故B错误；
已知，，，则，
，
，，
可能是大于的锐角或钝角，即符合条件的有两个，C正确；
，
，由大角对大边可知为最大角，
要证是锐角三角形，只需证，
由三角形的性质知，
，
，令，则，，
，
即，
，
，故是锐角三角形，故D正确．
11. 已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ）
A. 的面积的最大值为B. 当P为BC中点时，
C. 若的面积为面积的，则D. 若，则的最小值为
答案：ABC
解析：
思路：根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算律及三角形面积公式即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由三点共线即可判断C；由平面向量数量积的运算律即可判断D．
解答过程：对于A，由已知条件，得，
由，得，
平方得，得，csA=2bc．
，
由，得，则，
所以，故A正确．
对于B，当为中点时，，
则，故B正确．
对于C，由在上，设且，则与面积比等于，
由得，故C正确．
对于D，若，则，结合，得，为等边三角形．
,，
则
，
当时，取得最小值，故D错误．
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．
12. 已知向量，，满足，则_____.
答案：
解析：
解答过程：，，
因为，所以，解得，
因此.
13. 在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________．
答案：##
解析：
解答过程：因为复数，，，所对应的点分别是，，，
所以，，，
即，，，
所以
由，所以，
解得，因此.
14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若a=3bsinC ，则的最大值等于__________.
答案：
解析：
思路：利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可.
解答过程：因为a=3bsinC ，由正弦定理可得：，
又，，则
因为
，
当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为.
四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设复数，，其中为虚数单位．
（1）若是纯虚数，求．
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）对进行分母实数化，根据是纯虚数构造方程组求出，进而求出复数，再求出；
（2）求出复数，根据其在复平面内对应的点位于第四象限构造不等式组求解．
（1），
若为纯虚数，则2−m=02m+1≠0，解得，
故，
．
（2），
已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，
则4−m2>02m−2