2027届长治市高考考前模拟数学试题（含答案解析）

这是一份2027届长治市高考考前模拟数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知等差数列的前n项和为，，则，已知函数且，则实数的取值范围是，已知复数满足，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．在中，为边上的中点，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．B．C．D．
4．“是函数在区间内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A．若,,则B．若，,则
C．若,,则D．若,,则
6．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．已知等差数列的前n项和为，，则
A．3B．4C．5D．6
8．已知函数且，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
9．已知复数满足，(为虚数单位)，则( )
A．B．C．D．3
10．已知向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为120°，则＝（ ）
A．B．C．D．
11．已知集合，则=
A．B．C．D．
12．复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．
14．在中，点在边上，且，设，，则________（用，表示）
15．已知正方形边长为，空间中的动点满足，，则三棱锥体积的最大值是______.
16．在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为，若过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．
（1）当时，求的单调区间．
（2）设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率时切线的方程．
（3）已知分别在，处取得极值，求证：．
18．（12分）已知，函数.
（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；
（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.
19．（12分）已知.
（Ⅰ） 若，求不等式的解集；
（Ⅱ），，，求实数的取值范围.
20．（12分）已知双曲线及直线.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且，求实数k的值.
21．（12分）设函数，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.
22．（10分）已知函数，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）判断函数的零点个数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.
【详解】
由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.
考查集合并集运算，属于简单题.
2、A
【解析】
由为边上的中点，表示出，然后用向量模的计算公式求模.
【详解】
解：为边上的中点，
，
故选：A
在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.
3、B
【解析】
二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B
【考点定位】本题考查二项式定理的应用．
4、C
【解析】
，令解得
当，的图像如下图
当，的图像如下图
由上两图可知，是充要条件
【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.
5、C
【解析】
在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．
【详解】
设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：
在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；
在B中，若，，则或，故B错误；
在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；
在D中，若，，则与平行或，故D错误．
故选C．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
6、A
【解析】
化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】
由题意，复数z满足，可得，
所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限
故选：A.
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
7、C
【解析】
方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C．
方法二：因为，所以，则.故选C．
8、B
【解析】
构造函数，判断出的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，由解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，而，所以在定义域上为增函数，且.由得，即，所以.
故选：B
本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.
9、A
【解析】
，故，故选A.
10、D
【解析】
先计算，然后将进行平方，，可得结果.
【详解】
由题意可得：
∴
∴则.
故选：D.
本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。
11、C
【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
12、C
【解析】
利用复数模与除法运算即可得到结果.
【详解】
解: ，
故选：C
本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
因为sin α∈[－1，1]，
所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．
答案：
14、
【解析】
结合图形及向量的线性运算将转化为用向量表示，即可得到结果．
【详解】
在中，因为，
所以，又因为，
所以．
故答案为：
本题主要考查三角形中向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件向基底转化．
15、
【解析】
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，设点，根据题中条件得出，进而可求出的最大值，由此能求出三棱锥体积的最大值.
【详解】
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，设点，
空间中的动点满足，，
所以，整理得，
，
当，时，取最大值，
所以，三棱锥的体积为.
因此，三棱锥体积的最大值为.
故答案为：.
本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16、
【解析】
利用即可建立关于的方程.
【详解】
设双曲线右焦点为，过右焦点且与轴垂直的直线与两条渐近线分别交于两点，
则，，由已知，，即，
所以，离心率.
故答案为：
本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立的方程或不等式，是一道容易题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2），；（3）证明见解析．
【解析】
（1）由的正负可确定的单调区间；
（2）利用基本不等式可求得时，取得最小值，由导数的几何意义可知，从而求得，求得切点坐标后，可得到切线方程；
（3）由极值点的定义可知是的两个不等正根，由判别式大于零得到的取值范围，同时得到韦达定理的形式；化简为，结合的范围可证得结论.
【详解】
（1）由题意得：的定义域为，
当时，，
，
当和时，；当时，，
的单调递增区间为，；单调递减区间为.
（2），所以（当且仅当，即时取等号），
切线的斜率存在最小值，，解得：，
，即切点为，
从而切线方程，即：．
（3），
分别在，处取得极值，
，是方程，即的两个不等正根．
则，解得：，且，．
，
，，
即不等式成立．
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.
18、（1）（2）见解析
【解析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；
（2）不妨设，，，
利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；
【详解】
解：（1）∵
∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立，
∴在上恒成立.设，
∵函数在上单调递增，∴，
∴，∴实数的取值范围为.
（2）不妨设，，，
则，
∴.
∵，∴，
又，令，∴，
∴在上为减函数，∴，
∴，即，
∴在上是减函数，∴，即，
∴，
∴当时，.
∵，∴.
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）利用零点分段讨论法把函数改写成分段函数的形式,分三种情况分别解不等式,然后取并集即可；
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,结合题意,只需即可,解不等式即可求解.
【详解】
（Ⅰ）当时， ，
，或，或
，或
所以不等式的解集为；
（Ⅱ）因为
，又
（当时等号成立），
依题意，，，有，
则，解之得，
故实数的取值范围是.
本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值；考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.
20、（1）；（2）或.
【解析】
（1）联立直线方程与双曲线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；
（2）设，由（1）可得关系，再由直线l过点，可得，进而建立关于的方程，求解即可.
【详解】
（1）双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得，
，
解得且.
双曲线C与直线l有两个不同交点时，
k的取值范围是.
（2）设交点，直线l与y轴交于点，
，.
，即，
整理得，解得或
或.又，
或时，的面积为.
本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）依题意在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由参变分类可得，令，利用导数研究的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；
（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：，即：，只需证：，设，即证：，再分别证明，即可；
【详解】
解：（Ⅰ）由题意可知，，
在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，
由可得，，令，
则，令，
可得，当时，，
所以在上单调递减，且
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以是的极大值也是最大值，又当，当大于0趋向与0，
要使在有两个根，则，
所以的取值范围为；
（Ⅱ）由题解得，，要证成立，
只需证：
即：，
只需证：
设，即证：
要证，只需证：
令，则
在上为增函数
，即成立；
要证，只需证明：
令，则
在上为减函数，，即成立
成立，所以成立.
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题;
22、（1）（2）答案见解析（3）答案见解析
【解析】
（1）设曲线在点，处的切线的斜率为，可求得，，利用直线的点斜式方程即可求得答案；
（2）由（Ⅰ）知，，分时，，三类讨论，即可求得各种情况下的的单调区间为；
（3）分与两类讨论，即可判断函数的零点个数．
【详解】
（1），
，
设曲线在点，处的切线的斜率为，
则，
又，
曲线在点，处的切线方程为：，即；
（2）由（1）知，，
故当时，，所以在上单调递增；
当时，，；，，；
的递减区间为，递增区间为，；
当时，同理可得的递增区间为，递减区间为，；
综上所述，时，单调递增为，无递减区间；
当时，的递减区间为，递增区间为，；
当时，的递增区间为，递减区间为，；
（3）当时，恒成立，所以无零点；
当时，由，得：，只有一个零点．
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与推理、运算能力，属于中档题．