2027年四川省内江市高考仿真卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2027年四川省内江市高考仿真卷数学试卷（含答案解析），共19页。试卷主要包含了在等差数列中，若，则，已知等差数列的前n项和为，，则，已知满足，，,则在上的投影为等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
3．已知复数，其中，，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．在直角中，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．在等差数列中，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．10
8．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为：．假设蚂蚁窝在点，一只蚂蚁从点出发，需要在，上分别任意选择一点留下信息，然后再返回点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）
A．B．C．D．
9．已知等差数列的前n项和为，，则
A．3B．4C．5D．6
10．已知满足，，,则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．2
11．复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
12．在函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数，若在上的最大值为，则________.
14．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，若，，则双曲线的离心率为__________.
15．点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是____
16．若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（），不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）若，，，且，求的最大值.
18．（12分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.
已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.
（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；
（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；
（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.
参考数据：.
19．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：
（1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数.
（2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.
①求每层应抽取的人数；
②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.
20．（12分）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的定义域为,求实数 的取值范围．
21．（12分）已知函数.
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值．
22．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，
（Ⅰ）证明；AC⊥BP；
（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由半圆面积之比，可求出两个直角边 的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出.
【详解】
解：由题意知 ，以 为直径的半圆面积，
以 为直径的半圆面积，则，即.
由 ，得 ，所以.
故选:D.
本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.
2、B
【解析】
设，代入双曲线方程相减可得到直线的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到的等式，求出离心率．
【详解】
，
设，则，
两式相减得，
∴，．
故选：B．
本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．
3、D
【解析】
试题分析：由,得,则，故选D.
考点：1、复数的运算；2、复数的模.
4、A
【解析】
根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.
【详解】
当时，，
由在递增，
所以在递增
又是增函数，
所以在递增，故排除B、C
当时，若，则
所以在递减，而是增函数
所以在递减，所以A正确，D错误
故选：A
本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.
5、C
【解析】
在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．
【详解】
在直角中，，，，，
，
若，则
故选C.
本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
6、C
【解析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.
【详解】
若，根据线面平行的性质定理，可得；
若，根据线面平行的判定定理，可得.
故选：C.
本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.
7、C
【解析】
将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，
则由，，得解得，，
所以．故选C．
本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.
8、C
【解析】
将四面体沿着劈开，展开后最短路径就是的边，在中，利用余弦定理即可求解.
【详解】
将四面体沿着劈开，展开后如下图所示：
最短路径就是的边．
易求得，
由，知
，
由余弦定理知
其中，
∴
故选：C
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
9、C
【解析】
方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C．
方法二：因为，所以，则.故选C．
10、A
【解析】
根据向量投影的定义，即可求解.
【详解】
在上的投影为.
故选:A
本题考查向量的投影，属于基础题.
11、D
【解析】
直接相乘，得，由共轭复数的性质即可得结果
【详解】
∵
∴其共轭复数为.
故选：D
熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.
12、A
【解析】
逐一考查所给的函数：
，该函数为偶函数，周期 ；
将函数 图象x轴下方的图象向上翻折即可得到 的图象，该函数的周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.
本题选择A选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出函数的导数，由在上，可得在上单调递增，则函数最大值为，即可求出参数的值.
【详解】
解：定义域为
，
在上单调递增，
故在上的最大值为
故答案为：
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.
14、
【解析】
设，由双曲线的定义得出：，由得为等腰三角形，设，根据，可求出，得出，再结合焦点三角形，利用余弦定理：求出和的关系，即可得出离心率.
【详解】
解：设，
由双曲线的定义得出：
，
，
由图可知：，
又，
即，
则，
为等腰三角形，
，
设，
，则，
，
即，解得：，
则，
，解得：，
，解得：，
，
在中，由余弦定理得：
，
即：，
解得： ，即.
故答案为：.
本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.
15、
【解析】
设是中点，根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点，由此求得，结合几何概型求得点取自三角形的概率.
【详解】
设是中点，因为，所以，所以三点共线且点是线段靠近的三等分点，
故，所以此点取自内的概率是．
故答案为：
本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.
16、，
【解析】
根据是偶函数和的图象关于点对称，即可求出满足条件的和.
【详解】
由是偶函数及，可取，
则，
由的图象关于点对称，得，，
即，，可取.
故，的一组值可以分别是，.
故答案为：，.
本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）32
【解析】
利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于的方程,求出的值即可;
由知可得,，利用三个正数的基本不等式,构造和是定值即可求出的最大值.
【详解】
（1）∵，
，
所以不等式的解集为,
即为不等式的解集为，
∴的解集为,
即不等式的解集为，
化简可得,不等式的解集为，
所以,即.
（2）∵，∴.
又∵，，，
∴
，
当且仅当,等号成立,
即，，时，等号成立，
∴的最大值为32.
本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式的灵活运用;其中利用构造出和为定值即为定值是求解本题的关键;基本不等式取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点;
属于中档题.
18、（1）289200元；（2）能够获批；（3）应选择等额本金还款方式
【解析】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；
（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；
（3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.
【详解】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，
表示数列的前项和，则，，
则，
故小张该笔贷款的总利息为元.
（2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，
则，
所以，
即，
因为，
所以小张该笔贷款能够获批.
（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为：
，
因为，
所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.
本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.
19、（1），，，中位数；（2）①三层中抽取的人数分别为2，5，13；②
【解析】
（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得，得到，，再结合中位数的计算方法，即可求解.
（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；
②由①知，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，可得，所以，.
设一周课外读书时间的中位数为小时，
则，解得，
即一周课外读书时间的中位数约为小时.
（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，
又因为，，的频数分别为20，50，130，
所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13.
②由①知，在，两层中共抽取7人，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，
若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，共有21种，
其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，，共有10种.
设事件为“这2人不在同一层”，
由古典概型的概率计算公式，可得概率为.
本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
20、 (1) (2)
【解析】
（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数的定义域为R，只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案．
【详解】
（1）不等式
或或，
解得或，即x>0,
所以原不等式的解集为．
（2）要使函数的定义域为R，
只要的最小值大于0即可，
又，
当且仅当时取等，只需最小值，即．
所以实数a的取值范围是．
本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．
21、（1）；（2）见解析
【解析】
将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期
根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值
【详解】
（Ⅰ）由题意得
原式
的最小正周期为.
（Ⅱ），
.
当，即时，；
当，即时， .
综上，得时，取得最小值为0；
当时，取得最大值为.
本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算正确，属于基础题
22、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．
【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;
(II)以为原点建立坐标系，求出平面的法向量，通过计算与的夹角得出与平面所成角．
【详解】
（I）证明：取AC的中点M，连接PM，BM，
∵AB＝BC，PA＝PC，
∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，
∴AC⊥平面PBM，
∵BP⊂平面PBM，
∴AC⊥BP．
（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，
∴∠ABC＝120°，
∵AB＝BC＝1，∴AC，BM，∴AC⊥CD，
又AC⊥BM，∴BM∥CD．
∵PA＝PC，CM，∴PM，
∵PB，∴cs∠BMP，∴∠PMB＝120°，
以M为原点，以MB，MC的方向为x轴，y轴的正方向，
以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz，如图所示：
则A（0，，0），C（0，，0），P（，0，），D（﹣1，，0），
∴（﹣1，，0），（0，，0），（，，），
设平面ACP的法向量为（x，y，z），则，即，
令x得（，0，1），
∴cs，，
∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cs，|．
本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理使用,难度一般.
一周课外读书时间/
合计
频数
4
6
10
12
14
24
46
34
频率
0.02
0.03
0.05
0.06
0.07
0.12
0.25
0.17
1